精品解析：山东省济南市莱芜区（五四学制）2024—2025学年下学期期中考试七年级数学试题　

秘密★启用前 2024—2025学年度第二学期期中考试七年级 数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上题所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 锄禾日当午 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 2. 若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个黑球，这些小球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若能用完全平方公式分解因式，则k的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 5或 D. 或7 7. 在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀．通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在左右，则盒子中白球的个数可能是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 8. 教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（ ） A. B. 2 C. 10 D. 12 10. 关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 分解因式∶________． 12. 小明在如图所示正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在黑色区域的概率是__________． 13. 若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为________． 14. 在方程组中，若，则k的取值范围是__________． 15. 按如图的程序进行运算，规定：当程序运行到“结果是否大于487”为一次运算，若运算进行3次才停止，则x的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 解不等式组，并将解集表示在数轴上． 18. 一只口袋里放着2个红球、8个黑球，这些球除颜色外形状大小完全相同． （1）搅匀袋中的球后，从袋中任意取出一个球，取出黑球的概率为多少？ （2）如果往原来的袋中放进若干个红球，再取出相同数量的黑球，从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到，求放入多少个红球？ 19. 甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，又各自推出优惠方式：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分打八折；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折，设该顾客累计购物元． （1）请用含的代数式分别表示顾客去甲、乙商场购物实际应支付的费用； （2）请你帮该顾客设计方案，选择哪一家商场购买更划算． 20. 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； （3）请你用换元法对多项式进行因式分解． 21. 为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请根据以上信息，完成下列问题： （1） ， ，并将条形统计图补充完整： （2）根据七年级的报名情况，试问全校3000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？ （3）根据活动需要，从“跳绳”小组二男二女四名同学中随机选取两人参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率． 22. 若是的三边，且满足关系式，是不等式组的最大整数解，求的周长． 23. 2025年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计48万元；4辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计132万元． （1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． （2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1380万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利万元，销售1辆B型新能源汽车可获利万元，若汽车全部销售完毕，那么购买并销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润多少？ 24. 【活动回顾】 七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，一次函数（）的图象经过点，则不等式的解集是___________． （2）如图2，两条直线交点坐标是，则不等式的解集是___________． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求的面积； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是___________． 25. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为的小正方形纸片（类）、长为宽为的长方形纸片（类）以及边长为的大正方形纸片（类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得_______________． （2）根据图2：若，，求的值． 知识迁移】 类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割（如图4），得到三个长方体①、②、③（如图5）．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为____________，长方体③的体积为____________（结果不需要化简）．则因式分解_______________． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解：； （5）应用：已知，，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 秘密★启用前 2024—2025学年度第二学期期中考试七年级 数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上题所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 锄禾日当午 C. 举头望明月 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的可能性，正确理解不可能事件的含义是解题的关键．不可能事件是不可能发生的事件．根据不可能事件的含义，结合具体问题情境判断即可． 【详解】解：A、“手可摘星辰”意为伸手可以摘到星星，由于星星位于地球大气层之外，距离极远，现实中绝对无法通过“手摘”实现，因此为不可能事件； B、“锄禾日当午”描述农民正午在田间劳作，属于日常农事活动，是随机事件； C、“举头望明月”指抬头看月亮，这是人类常见的自然行为，可能发生，是随机事件； D、“鱼戏莲叶东”描述鱼在莲叶东侧游动，鱼的位置具有随机性，可能发生，属于随机事件； 故选A． 2. 若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； B、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； C、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； D、若，则，原说法正确，故符合题意， 故选：D． 3. 下列属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种操作叫因式分解． 根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、右边为，并非乘积形式，而是两项相减，不符合因式分解要求，不符合题意； B、左边提取公因式，得到，是乘积形式且分解正确，属于因式分解，符合题意； C、等式为乘法分配律的展开过程，属于整式乘法，而非因式分解，不符合题意； D、右边，与左边不相等，分解错误，不符合题意； 故选：B． 4. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个黑球，这些小球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了求概率．根据概率公式，用红球的数量除以袋中球的总数即可求解． 【详解】解：根据题意得：摸出的小球是红球的概率为． 故选：D 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集在数轴上表示，解题关键是正确求解不等式． 先求出一元一次不等式的解，再将不等式的解集在数轴上表示． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故选：B． 6. 若能用完全平方公式分解因式，则k的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 5或 D. 或7 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构，将原式与展开式对比，确定中间项系数，进而解方程求出的值 【详解】解：原多项式为，若能用完全平方公式分解， ∴其形式应为，展开后为， ∴， 当时，解得，即； 当时，解得，即； 因此，的值为或， 故选：C 7. 在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀．通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在左右，则盒子中白球的个数可能是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． 用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可． 【详解】解：由题意可得： 盒子中白球的个数可能是：， 故选：B． 8. 教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了 实际问题抽象出一元一次不等式，设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 9. 已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（ ） A. B. 2 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 10. 关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及求不等式组的整数解，掌握不等式组的解集遵循的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”，是解本题的关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，求其整数解，进而即可求出满足的条件． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组恰好有2个整数解， 不等式组的整数解为：3，4， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 小明在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在黑色区域的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，先求出阴影部分的面积，再求出大正方形的面积，最后根据阴影部分的面积与总面积的比，即可得出答案． 【详解】解：∵阴影部分的面积个小正方形的面积， 大正方形的面积个小正方形的面积， ∴阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在黑色区域的概率是． 故答案为：． 13. 若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】首先提公因式ab，再利用完全平方公式进行分解，分解后再代入a+b＝2，ab＝3求值即可． 【详解】解：a3b+2a²b²+ab3 =ab（a²+2ab+b²） =ab（a+b）² a+b=2，ab=3 ∴原式=ab（a+b）2 =3×22 =3×4 =12 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 14. 在方程组中，若，则k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法和不等式的解法，首先解出二元一次方程组中x，y关于k的式子，然后代入，即可解得k的取值范围． 【详解】解： 得： 即：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 按如图的程序进行运算，规定：当程序运行到“结果是否大于487”为一次运算，若运算进行3次才停止，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过程序列表达式，以及一元一次不等式组的应用，根据图示列出每一次运算的算式：第一次：，第二次：，第三次：，再题意可得：第一次和第二次的算式都小于等于487，只有第三次的算式大于487，列出不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 第三次：， 由题意可得不等式组， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴表示即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， 数轴表示如下： ∴原不等式组的解集为． 18. 一只口袋里放着2个红球、8个黑球，这些球除颜色外形状大小完全相同． （1）搅匀袋中的球后，从袋中任意取出一个球，取出黑球的概率为多少？ （2）如果往原来的袋中放进若干个红球，再取出相同数量的黑球，从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到，求放入多少个红球？ 【答案】（1） （2）放入3个红球 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． （1）根据概率公式求解即可； （2）设放入x个红球，根据从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到列出关于x的方程，解之即可得出答案． 【小问1详解】 解：从袋中任意摸出一个球有种等可能结果，其中是黑球的有8种结果， 所以从袋中任意取出一个球是黑球的概率为； 【小问2详解】 解：设放入了x个红球， 根据题意，得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 答：放入3个红球． 19. 甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，又各自推出优惠方式：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分打八折；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折，设该顾客累计购物元． （1）请用含的代数式分别表示顾客去甲、乙商场购物实际应支付的费用； （2）请你帮该顾客设计方案，选择哪一家商场购买更划算． 【答案】（1）； （2）购物小于300元时，去乙商场合算；购物等于300元时，甲、乙商场费用相同；购物大于300元时，去甲商场合算 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是读懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等式关系式即可求解．注意此题分类讨论的数学思想． （1）据甲、乙的优惠政策进行解答即可； （2）根据（1）中表示出在甲乙两商场的花费，分情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：在甲商场购物所付的费用为； 在乙商场购物所付的费用为． 【小问2详解】 解：①当时，，解得， ②当时，，解得， ③当时，，解得， ∴购物小于300元时，去乙商场合算；购物等于300元时，甲、乙商场费用相同；购物大于300元时，去甲商场合算． 20. 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； （3）请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据利用完全平方公式分解因式即可得； （2）括号里面可以再次用完全平方公式进行因式分解； （3）设，利用换元法和完全平方公式分解因式即可得． 【小问1详解】 解：， 则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法， 故选：C． 【小问2详解】 解：原式 ， 故答案为：； 【小问3详解】 设 ． 【点睛】本题考查了因式分解——换元法和完全平方公式法，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 21. 为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请根据以上信息，完成下列问题： （1） ， ，并将条形统计图补充完整： （2）根据七年级的报名情况，试问全校3000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？ （3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率． 【答案】（1）25，108，图见解析 （2）900人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体． （1）先利用参加踢毽活动小组的人数它所占的百分比得到调查的总人数，再计算m的值和n的值，然后补全条形统计图； （2）利用样本估计总体，用2000乘以样本中参加足球活动小组的百分比即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女两名同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：调查的总人数（人）， 所以，即， 参加跳绳活动小组的人数（人）， 所以，即， 如图， 故答案为：25，108； 【小问2详解】 解：（人）， 所以全校3000人中，大约有900人报名参加足球活动小组； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能结果数，其中一男一女两名同学的结果数为8， 所以恰好选中一男一女两名同学的概率． 22. 若是的三边，且满足关系式，是不等式组的最大整数解，求的周长． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数性质，一元一次不等式组的整数解，根据非负数的性质得到a、b的值；再由不等式组得出c的值，进而得出三角形的周长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． ∵由不等式组的解得， ∵是不等式组的最大整数解， ∴． ∴的周长为：． 23. 2025年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计48万元；4辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计132万元． （1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． （2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1380万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利万元，销售1辆B型新能源汽车可获利万元，若汽车全部销售完毕，那么购买并销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A型新能源汽车每辆进价24万元，B型新能源汽车每辆进价12万元 （2）当销售A型新能源汽车15辆时获利最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意累出方程组，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设型新能源汽车每辆进价万元，型新能源汽车每辆进价万元，根据1辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计48万元；4辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计132万元建立方程组求解即可； （2）设购买A型新能源汽车辆，则购买B型新能源汽车辆．根据总费用不超过1380万元列出不等式求出m的取值范围，设所获得利润为万元，则，据此利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设型新能源汽车每辆进价万元，型新能源汽车每辆进价万元， 根据题意得：， 解得：， 答：A型新能源汽车每辆进价24万元，B型新能源汽车每辆进价12万元； 小问2详解】 解：设购买A型新能源汽车辆，则购买B型新能源汽车辆． 根据题意得：， 解得， 设所获得利润为万元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，即当销售A型新能源汽车15辆时获利最大，最大利润为： 万元． 答：当销售A型新能源汽车15辆时获利最大，最大利润为万元． 24. 【活动回顾】 七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 （1）如图1，一次函数（）的图象经过点，则不等式的解集是___________． （2）如图2，两条直线交点坐标是，则不等式的解集是___________． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求的面积； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是___________． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数和一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①首先求出，然后联立求出，当时求出，进而求解即可； ②通过观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数（）的图象经过点，， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案：； （2）解：两条直线的交点坐标是， 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是； （3）解：①将代入得， 解得 ∴ 联立方程组， 解得， ∴， 当时， 解得 ∴ ∴ ∴的面积； ②由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为． 25. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为的小正方形纸片（类）、长为宽为的长方形纸片（类）以及边长为的大正方形纸片（类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得_______________． （2）根据图2：若，，求的值． 【知识迁移】 类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式． （3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割（如图4），得到三个长方体①、②、③（如图5）．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为____________，长方体③的体积为____________（结果不需要化简）．则因式分解_______________． 【拓展延伸】 （4）尝试因式分解：； （5）应用：已知，，求出的值． 【答案】（1）； （2）12；（3）；；；（4）；（5） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的几何应用、列代数式，根据题中给出的信息，结合数形结合思想是解答的关键． （1）直接根据长方形的长和宽、结合长方形的面积公式求解即可； （2）根据图2正方形的面积，得到恒等式，即可计算求值； （3）结合图5，可知长方体②的体积，长方体③的体积，则； （4）由（3）可知：； （5）将变形为，再代入计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由图2得：， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）长方体②的体积， 长方体③的体积， 则， 故答案为：；；； （4）由（3）可知： ； （5）∵ ， ∵， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$