专题2.6 函数与方程（八类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题2.6 函数与方程 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 13 【课程标准】 13 【考情分析】 13 【2026考向预测】 13 三、知识点•逐点夯实 13 知识点一、函数的零点 13 知识点二、方程的根和函数零点的关系 13 知识点三、零点存在性定理 14 知识点四、二分法 14 知识点五、二分法求函数零点近似值的步骤 14 四、重点难点•分类突破 14 考点1 求函数的零点或零点所在区间 14 考点2 求方程根的个数与函数零点的存在性问题 16 考点3 利用函数的零点求参数的取值范围 20 考点4 嵌套函数（自我嵌套）的零点问题 23 考点5 嵌套函数（与二次函数嵌套）的零点问题 28 考点6 唯一零点问题 32 考点7 分段函数的零点问题 36 考点8 等高线问题 39 五、必考题型•分层训练 43 A、基础保分 43 B、综合提升 55 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 3．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【知识点】函数对称性的应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、判断零点所在的区间 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据极值求参数 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 7．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数图象及性质 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 8．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 9．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）、理解函数的零点与方程的解的联系. （2）、理解函数零点存在定理，并能简单应用. （3）、了解用二分法求方程的近似解． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年天津卷，第7题,5分 求零点所在区间 一般 2024年新I卷，第7题,5分 求函数零点或方程根的个数 一般 2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 一般 2024年新Ⅱ卷，第9题,6分 求函数零点或方程根的个数 较难 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 判断零点所在的区间 较难 2023年新I卷，第15题,5分 根据函数零点的个数 求参数范围 较难 2024年新I卷，第7题,5分 求函数零点或方程根的个数 一般 【2026考向预测】 从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注． 三、知识点•逐点夯实 考点一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 考点二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 考点三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 考点四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 考点五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【常用结论】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 四、重点难点•分类突破 考点一 求函数的零点或零点所在区间（二分法） 例1．（2025·陕西·一模）函数的零点所在的大致区间的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用二分法求近似解的条件、零点存在性定理的应用 【分析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点. 【详解】函数 ,在x>0上单调递增， ， 函数f（x）零点所在的大致区间是； 故选B 【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若 确定零点所在的区间. 例2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求函数的零点 【分析】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【详解】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 【变式训练1】（2015·辽宁朝阳·一模） 方程的解所在的区间为 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二分法求方程近似解的过程、零点存在性定理的应用 【详解】试题分析：因为方程的解就是函数的零点， 又因为 所以函数在区间内有零点， 又因为函数为定义域上的单调函数，所以函数的唯一零点在区间内， 所以方程的解所在的区间为 故选B. 考点：1、函数的零点与方程的根；2、对数函数. 【变式训练2】函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求函数的零点 【分析】根据零点的定义即可求解. 【详解】令，得，则． 故选：A 考点二 求方程根的个数与函数零点的存在性问题 例3．（2025·陕西安康·模拟预测）函数在上的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二倍角的余弦公式、求函数零点或方程根的个数、余弦函数图象的应用 【分析】先求出零点满足，再结合特殊值及角的范围求解零点个数. 【详解】函数零点满足 所以或舍， 在上的值为， 所以函数在上的零点个数为6个. 故选：C. 例4．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：D. 例5．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式训练3】．（2025·河北·模拟预测）函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、简单复合函数的导数、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】分析函数的性质，再按分段并结合导数及零点存在性定理推理判断. 【详解】令函数，，则定义域为， ，是奇函数， 当时，； 由为奇函数可得当时，， 而函数是偶函数，且当时，， 则函数与的图象在时无交点； 当时，令，求导得， 函数在上单调递增，又， ，因此在上只有一个零点， 所以函数与的图象交点只有一个. 故选：B 【变式训练4】．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知函数和的零点分别为，则 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点 【分析】由反函数的性质、函数零点与方程的关系即可求解. 【详解】令， 则函数和的图象与函数交点的横坐标分别为，又易得和的图象关于对称， 设和与的交点坐标分别为， 可知交点坐标也关于直线对称，所以，即. 故答案为：2. 【变式训练5】（2025·安徽·三模）已知函数，若对任意，有，则正整数的最小值为（参考值：）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、零点存在性定理的应用 【分析】由题意分析得，进而得，根据导数得出函数的单调性后，分，讨论即可求解. 【详解】由，知都不为零， 所以在和上都没有零点． 由于，故在上有零点， 二者结合，可知，而在和上分别取固定的符号，且符号相反． 所以，得，故， 则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 当时，对任意，恒成立； 当时，需满足，即，解得， 所以正整数的最小值为2． 故选：B． 考点三 利用函数的零点求参数的取值范围 例6．已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据分段函数，分段判断函数的零点，以及零点个数，即可求正数的取值范围. 【详解】当时，，得成立， 因为函数恰有两个零点， 所以时，有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求， 当时，只需满足，解得：. 故选：C 例7．（2024高三上·天津和平·月考）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、零点存在性定理的应用、函数与方程的综合应用 【分析】根据给定条件，讨论当时，，当且时，，确定函数零点只可能在且的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解. 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 当时，，当时，， 此时函数无零点； 当时，， 当时，若，则，于是， 若，函数的图象对称轴，此函数在上单调递增， ，， 即当且时，，函数无零点； 于是只有当且时，函数才有零点， 当，即时，， 当时，函数， 当时，， 当时，函数取得最小值， 而当时，， 显然当，即时，函数有两个零点， 要函数恰有4个零点，必有， 当时，函数的图象对称轴， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 显然， 而， 因此函数在、上各有一个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键. 【变式训练6】．函数在上存在零点，则整数t的值为 ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】得到的单调性，结合零点存在性定理及特殊值求出答案. 【详解】在R上单调递增，由零点存在性定理可知， ， 由于， 故整数. 故答案为：1 【变式训练7】．（2024·河南·二模）已知函数（），若在上有零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】将条件转化为在上有解，令、并利用导数研究它们在上的单调性和最值，注意最值对应的自变量，结合即可求m的范围. 【详解】若，则， 令且，则，故上，上， 所以在上递增，在上递减，故； 令且，则，故上，上， 所以在上递减，在上递增，故； 要使在上有零点，只需，可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：将问题转化为求、在上的单调性及最值，根据能成立求参数范围. 考点四 嵌套函数（自我嵌套）的零点问题 例8．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】第一步换元，分两大类：当时，，或当时，，解得或即可得解. 【详解】设，则， 情形一：当时，，解得或， 因为，故不可能有， 从而只能是有唯一的解， 这就要求， 当时，，解得， 当时，，解得，这与矛盾， 此时满足题意的的取值范围是； 情形二：当时，，解得， 这就要求， 由于，故只能是，解得， 这就要求， 此时满足题意的的取值范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 例9．已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数的图象，令，则，再分和两种情况讨论，结合图象即可得出答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，则， 当时，由，得或， 即或， 若方程只有一个解， 则，解得， 若方程只有一个解， 则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即， 令，解得， 要使方程只有一个解， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【变式训练8】．（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】⑴ 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有8个零点，所以要有3个解， 即，解得， 故选：D. 【变式训练9】．（2024·浙江宁波·二模）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】的对称轴为，分类讨论当时和当时，分别作出函数的图象，借助图象判断根的个数，或列出恰有三个根的条件即可求解. 【详解】由题意知，的对称轴为， 当即时，的图象如图1，此时令，可得， 观察图象可解得或，即方程有两个根，则此时只有两个零点，不合题意；    当即时，的图象如图2，此时令，可得或， 因为和均为的根， 所以要使函数恰有三个零点则需满足只有一个根，且,当时，． 当时，的对称轴为， 则，解得， 故．    综上，的取值范围为． 故选：A. 考点五 嵌套函数（与二次函数的嵌套）的零点问题 例10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用 【分析】作出函数的图像，令得解得或，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意作出函数的图像， 由，令，有， 即，化简得， 解得或，若方程有且仅有5个不同实数根， 所以或，解得或， 即，所以， 故答案为：. 例11．（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】令，可得或，分，求导判断的单调性及极值，进而可得，的解的个数，进而可得的零点个数. 【详解】令，则，所以， 解得，解得或， 当时，，求导得， 令，则，解得， 若时，，若，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 当时，在上单调递增，且， 所以有3个解，有2个解， 所以的零点个数为5个. 故选：D. 【变式训练10】．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数与方程的综合应用 【分析】令，作出函数函数的大致的图象，结合图象得出关于x的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解. 【详解】由题意，作出函数的大致图象，如图． 令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根； 当时，关于的方程无实数根； 当或时，关于的方程只有1个实数根． 因为关于的方程有3个不同实数根， 所以关于的方程的一个根在内， 另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内． 当为方程的根时，，且方程的另一根为． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 当为方程的根时，有，则或． 当时，方程的另一个根为，不符合题意； 当时，方程的另一个根为，不符合题意． 所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内． 令， 则即解得． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B. 【变式训练11】．（2025·湖南长沙·二模）已知函数，方程（）有两个不等实根，则下列选项正确的是（    ） A．2是的极大值点 B．函数无零点 C．a的取值范围是 D．，，使 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数图象及性质、函数极值点的辨析、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】先利用导数求出的单调性，结合特殊点函数值，画出的图象，对于A，2是的极小值点，故A错误；B选项，点在直线下方，而点在直线上方，则函数必有零点；C选项，求出或，有1个实数根，故需有1个非零实根，则由图可得或，求出答案；D选项，求出．，故，，使. 【详解】当时，，则， 当时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 且，； 当时，，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且，，且恒成立，画出函数的图象如下： 对于A，由图可得2是的极小值点，故A错误； 对于B，因为时，，即点在直线下方， 而点在直线上方，则函数必有零点，故B错误； 对于C，方程（）等价于或， 由图可得有1个实数根， ∴方程（）有两个不等实根， 等价于有1个非零实根，则由图可得或， 解得或，故C错误； 对于D，由图可得，当时． ∵，故，故结合图象可得时，， 故，，使，故D正确； 故选：D． 考点六 唯一零点问题 例12．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】将问题转化成两图象的交点问题，利用导数分析单调性数形结合求解. 【详解】由题意可得在上有唯一解，即， 令，则，则， 令，则， 则， 当时，的，开口向上，恒大于零， 所以为递增函数，为递减函数， 因为，所以在上无解； 当时，必须成立，若，会出现图象的情况， 即在上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且）， 所以图象只能为，只需交点横坐标小于1即可，所以令可得， 又，所以的范围为. 故选：B 例13．（24-25高三上·海南海口·月考）已知函数有唯一零点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先求得，从而得函数具有对称性，再由函数的对称性得到唯一零点的值，从而建立方程解出参数的值. 【详解】因为， 所以 所以，故函数关于直线对称， 故由函数存在唯一零点得零点只在处取得即， 所以，解得. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于分析出函数的对称性，通过对称函数的零点成对出现而得出，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点. 【变式训练12】．已知是定义在上周期为2的函数，当时，.若关于x的函数有唯一零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用 【分析】由题意，作出函数的图象，然后将问题转化为函数与函数的图象仅有一个交点，分和两种情况分析求解即可． 【详解】解：由是定义在上周期为2的函数，当，时，， 作出函数的图象如图所示， 因为函数有唯一零点，即方程有唯一的根， 所函数与函数的图象仅有一个交点， 当，即时，由图象可知，符合题意； 当，即时，函数的图象恒过定点， 要使得函数与函数的图象仅有一个交点， 则有，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 故选：．    【变式训练13】．已知函数有唯一零点，则 ，的解集为 ． 【答案】 1 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据函数特征可知将看成整体，即，再利用换元法根据函数奇偶性和单调性即可求得参数的值，进而解出不等式. 【详解】令，则，所以为偶函数； 又函数有唯一零点，由对称性可知，解得； 易知函数的图象关于对称，且在上单调递增，， 则不等式即为，由对称性可得. 故答案为：1， 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将看成是由和合成的函数，且两个函数都关于对称，再利用换元法判断出函数奇偶性和单调性即可求解. 考点七 分段函数的零点问题 例14．（2025高三下·内蒙·期中）已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用、函数图象的应用 【分析】利用函数零点的意义，将问题转化为曲线与曲线有三个交点，作出函数图象，数形结合求解. 【详解】令，得， 依题意，曲线与曲线有三个交点，如图， 当时，曲线与曲线只有一个交点，不符合题意； 当时，若使得曲线与曲线有三个交点， 则，解得，所以实数a的取值范围为. 故选：B 例15．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得. 【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根． 当时，，令，可得； 当时，，令，可得． 在同一坐标系下，作出函数，和的图象， 如图所示， 由函数，可得，可得时，，， 故函数在处的切线方程为， 又由函数，可得，可得时，， 故函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足， 所以实数的取值范围为． 故选：C. 【变式训练14】．已知函数若方程恰有5个实数根，则k的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】利用导数探讨函数的性质，作出的部分图象，数形结合求出的范围. 【详解】令，求导得，当时，；当时， 函数在上单调递增，在上单调递减，的极大值为， 依题意，，作出的部分图象，如图， 观察图象知，当和时，取得极大值，当时，取得极小值0， 当时，恒成立，当时，直线与曲线有5个公共点， 所以k的取值范围是. 故答案为： 【变式训练15】．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用、求幂函数的值域 【分析】根据幂函数、对数函数的性质，讨论、、结合已知零点个数确定参数范围即可. 【详解】由在上单调递增，且值域为， 对于， 当，则，而，此时最多有两个零点； 当时，则，此时的大致图象如下， 由在上单调递增，且，结合上图， 当，即时，，恰有三个零点， 当，即时，，恰有三个零点； 当时，在上单调递增，此时函数最多有两个零点，不符题意； 综上，. 故答案为： 考点八 等高线问题 例16．（2025·河南·二模）已知函数若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、函数图象的应用 【分析】首先画出的图象，不妨令，数形结合可知且，即可求出的取值范围. 【详解】因为，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且； 当时，所以在上单调递增，且， 所以的图象如下所示： 又，且，不妨令， 结合图象可知且，即， 所以，即的取值范围为. 故选：A 例17．（2024·全国·模拟预测）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有5个实数根，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】根据平移求得的解析式，画出和的大致图象，由对称性求得，，，，，之间的关系，进而得解. 【详解】由题意知， 画出的图象以及的图象（如图所示）， 与的图象在上有5个交点， 这5个交点的横坐标即为方程在上的5个实数根，，，，， 易知，，关于对称，，关于对称， ，关于对称，，关于对称， 所以，，，， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式训练16】．（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】作出的图象，根据图象确四个根间的关系，从而得到，且，再利用函数的单调性即可求出结果. 【详解】因为，所以，其图象如图所示， 又有四个实数根，由图知，得到，即，且， 由，得到或，所以， 所以， 令，，易知在区间上单调递增，所以， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【变式训练17】．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数图象的应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用 【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 五、分层训练 1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点、指数幂的运算 【分析】令，解出即可. 【详解】因为， 令，解得， 即函数的零点为1. 故选：B. 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（    ） A．2 B． C．-2 D．2或-1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求函数的零点 【分析】由题意令可得关于的方程，进而求解. 【详解】由题意令，因为，所以，即. 故选：A. 3．（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】先判断函数的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】设函数， 因为函数和都是增函数， 所以函数在上单调递增； 又，， 因此，所取的第一个区间可以是， 故选：B. 4．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解(精确到0.1)为（    ） (参考数据：，，) A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二分法求函数零点的过程 【解析】根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意得 因为函数在上连续，所以函数在上有零点， 故选：C 5．已知函数，若，则方程在的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】将整理，得到，设，则有，因在单调递增，可得，即，从而将问题转化为方程在的根的个数问题，结合和在上单调递增即可判断方程的根的情况即可. 【详解】由， 可得． 设，则方程在的根的个数等于方程在上的根的个数． 因为函数与函数都为增函数， 所以函数在单调递增． 则可推得，即方程， 依题即判断方程在的根的个数． 由于时，， 令，因为函数，在都单调递增， 所以函数在单调递增， 所以，即当时，方程在只有1个根． 所以方程在的根的个数为1， 即方程在的根的个数为1． 故选：B. 6．（2025·全国·模拟预测）已知关于x的不等式的解集中只有1个整数，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据零点所在的区间求参数范围、函数图象的应用 【分析】由题可得不等式仅有1个整数解，利用数形结合可得，即求. 【详解】由题可知， 所以不等式，即只有一个整数解， 令，不等式仅有1个整数解， 令，，则函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方， ∵，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增，因为直线恒过点， 作出函数与直线的大致图象， 由图象可知，这个点，可得，即． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化为函数与直线的交点的位置问题，然后利用数形结合解决. 7．（2025·吉林长春·模拟预测）（多选题）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上有个零点 D．的值域为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求函数零点或方程根的个数、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据三角函数的周期性、对称性等可判断AB选项，再根据零点定义解方程可判断C选项，利用导数得出函数单调性可求得其值域，可得D正确. 【详解】A选项：由已知的最小正周期为，的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为，A选项错误； B选项：由已知， 则， 所以函数关于点中心对称，B选项正确； C选项：令， 则或，又，则或， 即函数在共有个零点，C选项错误； D选项：由，则， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以的最小值为，最大值为， 即函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为，D选项正确； 故选：BD. 8．（多选题）已知函数.则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．，的值域为 C．当时，有2个不相等的实数根，则 D．若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】对于A，将代入，得，再将代入，即可得的值；对于B，画出的图象，即可得到的值域；对于C，当时，，有一个零点，从而只需，即可得到的范围；对于D，只需且 ，即可解得，即可判断. 【详解】对于A，，即，则，得，故A正确； 对于B，，图象如图，由图可知的值域为，故B错误； 对于C，当时，有2个不相等的实数根，当时，，因为，所以此时有一个零点；当时，，所以，解得，故C正确； 对于D，，则在上单调递减， 首先当时，单调递减，则；当时，单调递减成立；还需，解得，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）函数与函数图象有且仅有一个交点，则实数可能取值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】令，根据题意，转化为直线与的图象只有一个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令， 因为与函数图象有且仅有一个交点， 即直线与函数的图象只有一个交点， 当时，，则，所以在上单调递减； 当时，，则， 所以，当时，；当时，， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，极大值为 ， 画出函数的图象，如图所示， 又因为，所以或时，即或时， 直线与函数的图象只有一个交点， 所以实数的取值范围为，结合选项，选项A、B正确. 故选：AB. 10．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点 【分析】令，得解出即可求解. 【详解】令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5. 11．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求函数的零点、正弦函数图象的应用 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，   时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. 12．（2024高三·全国·月考）函数的零点个数为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求函数的零点、函数与方程的综合应用 【分析】由可得或，对于的零点个数，考虑将其转化成两函数，的交点个数,通过作图即得. 【详解】令，得或． 设，，在平面直角坐标系中先画出的图象， 保留轴上方的部分图象并把轴下方的图象向上翻折即得的图象， 再作出的图象，如图所示，由图可知两者共有3个交点. 综上所述，函数共有4个零点． 故答案为：4.    13．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、由导数求函数的最值（不含参）、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】设函数的零点为，则，则点在直线上，然后将问题转化为点到直线的距离的最值问题，构造函数，利用导数求解可得. 【详解】设函数的零点为，则，则点在直线上. 因为表示与的距离，所以则的最小值即为原点到直线的距离的最小值平方，即， 令， 令，当时，单调递增， 当时，单调递减，所以当时，， 所以的最小值为. 故答案为： 14．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【解析】判断函数的单调性，结合零点所在的区间，根据零点存在性定理，列出不等式，求解即可. 【详解】由题意，函数是定义域上的单调递增函数， 又由函数在区间上存在零点， 则满足，即，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数零点所在区间，求参数的范围，属基础题. 15．（2025·江苏盐城·三模）设函数，若关于的方程的解的个数是 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用 【分析】求出或2，分别求出和时的解，得到答案. 【详解】或2， 当时，若，则，无解， 若，，故或，解得或， 当时，若，则，解得， 若，，故或，解得或， 所以方程的解的个数有5个. 故答案为：5 16．（2025·北京朝阳·一模）已知函数是上的奇函数，当时，则 ；若存在，使得，则c的一个取值为 ． 【答案】 4（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数的奇偶性可求得的值；先求得，函数的单调性，进而可得的单调性，进而可求得的取值范围. 【详解】因为函数是上的奇函数，且时，， 所以. 当时，由，可得， 令，即，解得， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以时，，， 由为函数是上的奇函数，可得时，，又， 由，可得或， 所以的取值范围为. 故答案为：；4（答案不唯一）. 17．若函数有唯一零点，则实数的值 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【解析】由函数有唯一零点，转化为有唯一实数解，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】由题意，函数有唯一零点， 即方程有唯一实数解， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得最小值，最小值为， 要使得函数有唯一零点，则. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力． 18．（2024·山东泰安·三模）已知函数，当时，函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】求出的导数，设，利用导数可得在区间上单调递减，从而可判断出的单调性，根据的变化情况和取值可求出. 【详解】由得，等价于函数的图象与函数的图象有唯一的公共点，当时，， 设，，则， 因为，，所以，所以在区间上单调递减， 因为，， 所以存在唯一的，使得， 且当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，，函数的图象与函数的图象有唯一的公共点， 所以，所以的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的零点问题，解题的关键是两次求出的导数，通过导数判断出函数的变化情况，进而分析可得. 19．（2025·河北保定·二模）已知函数记函数的个零点为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求函数的零点、零点存在性定理的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，则，时，求出的零点；时，利用零点存在定理得存在零点；时，利用导数研究其单调性，进而得在上无零点，则有两个零点，从而求出函数的零点，即可得解． 【详解】由题可知， 令，则， 当时，，此时有唯一的零点； 当时，， 当时，单调递减，且， 所以存在，使得； 当时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 所以在上无零点， 所以在其定义域上有两个零点． 当时，因为，所以由，得，解得； 当时，由，得，或， 所以函数共有3个零点，分别为， 所以． 故选：A． 20．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用 【分析】首先解得或，再根据函数的图象，利用数形结合，即可求解. 【详解】由得，解得或， 画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，） 故选：D. 21．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先利用同构将函数进行化简，在利用单调性与交点个数转化成切线处理问题. 【详解】令f(x)=0，得 即 令 则 (1-e)t-1=0， 令 则 令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增； 令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1. 当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点. 令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意. 当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切. 如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为 如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上 故选：D. 22．（2025·江苏扬州·三模）（多选题）著名数学家笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了方程，该方程表示的曲线C就是优美的“笛卡尔叶形线”（如图），它具有非常完美的对称性，则下列说法正确的是（   ） A．曲线C过点 B．曲线C关于对称 C．若，曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为3 D．若，曲线C上任一点均满足 【答案】ABD 【难度】0.15 【知识点】零点存在性定理的应用、由方程研究曲线的性质 【分析】将点代入方程可判断A；在方程中，把x，y互换方程不变，可判断B；从形上看曲线上有点的纵坐标大于3，从数上看取，则，记，利用零点存在定理可得在上必有一根可判断C；设，代入曲线方程，结合判别式可判断D. 【详解】对于A，将点代入方程得， 点满足方程，故曲线C过该点，故A正确； 对于B，在方程中，把x，y互换方程不变，即当在曲线C上时， 它关于的对称点也在曲线C上，故曲线C关于对称，故B正确； 对于C，当，由A，B知曲线过点且关于对称， 从形上看曲线上有点的纵坐标大于3（如下图1），从数上看取， 则，记，， ，图像连续不间断， 故在上必有一根，故曲线上有点的纵坐标的最大值大于3，故C错误； 对于D，设，则，代入曲线方程得， 即，当，即时，代入得，矛盾； 当即时， ， 可得，又，故，如图2从形上看曲线C夹在渐近 线和切线之间，故D正确. 故选：ABD. 23．（2023·北京海淀·三模）已知，给出以下命题： ①当时，存在，有两个不同的零点 ②当时，存在，有三个不同的零点 ③当时，对任意的，的图象关于直线对称 ④当时，对任意的，有且只有两个零点 其中所有正确的命题序号是 . 【答案】①②③ 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、零点存在性定理的应用 【分析】当，时，利用导数可求得在时的单调性，确定，利用导数可求得，可确定时在上有唯一零点；代回时验证，结合零点存在定理可确定在定义域内共有两个不同零点，知①正确；当，时，易知为在上的唯一零点；当时，利用导数求得单调性，取，结合零点存在定理可说明在定义域内共有三个不同零点，知②正确；根据解析式验证知，知③正确；当时，结合导数可知时，有且仅有两个零点；当时，利用导数可求得单调性，通过反例时，有三个不同零点可知④错误. 【详解】对于①，当时，，则定义域为； 当时，，， 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ，即当时，，则在上有唯一零点； 当，时，，， 在上单调递减， ，，，使得， 在有唯一零点； 则当，时，有两个不同的零点，①正确； 对于②，当时，，则定义域为； 当时，，； 当时，，，， 在上单调递减；又，在上有唯一零点； 当时，，； 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 不妨取，； 在上单调递增，在上单调递减； 又，， ，，使得， 即在上存在两个不同零点和； 则当，时，有三个不同的零点，②正确； 对于③，当时，， ， 对于任意的，的图象关于直线对称，③正确； 对于④，当时，，则定义域为； 当时，若，，； 则恒成立，在上单调递增， 又，在上有唯一零点； 若，，； 则恒成立，在上单调递减， 又，在上有唯一零点； 当时，有且仅有两个零点； 当时，若，，； 令，解得：（舍）或， 当时，；当时，； 不妨取，则在上单调递减，在上单调递增， ； 又， ，使得，又，恒成立， 当时，有三个不同的零点，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：本题重点考查了利用导数研究函数零点个数的问题；解题关键是能够通过分类讨论的方式，结合变量的范围讨论函数在区间内的单调性，结合零点存在定理确定函数在区间内的零点个数，从而得到结论. 24．（2025·湖北襄阳·模拟预测）设函数的零点为，若表示不超过的最大整数，则称为函数的“和谐整点”.现已知函数的“和谐整点”为，若，为的前项和，则 . 【答案】507 【难度】0.15 【知识点】分组（并项）法求和、函数新定义、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据零点以及换元可得，判断在上的单调性，进而根据零点存在性定理可得，进而根据求和公式求解. 【详解】依题意可得， 也即，， 令，则，则有， 令，则函数在上递增， 因为， ， 所以，使得， 当，时，，则， 当，时，，则， 当，时，， 所以， 故答案为:507. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 函数与方程 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 13 【课程标准】 13 【考情分析】 13 【2026考向预测】 13 三、知识点•逐点夯实 13 知识点一、函数的零点 13 知识点二、方程的根和函数零点的关系 13 知识点三、零点存在性定理 14 知识点四、二分法 14 知识点五、二分法求函数零点近似值的步骤 14 四、重点难点•分类突破 14 考点1 求函数的零点或零点所在区间 14 考点2 求方程根的个数与函数零点的存在性问题 16 考点3 利用函数的零点求参数的取值范围 20 考点4 嵌套函数（自我嵌套）的零点问题 23 考点5 嵌套函数（与二次函数嵌套）的零点问题 28 考点6 唯一零点问题 32 考点7 分段函数的零点问题 36 考点8 等高线问题 39 五、必考题型•分层训练 43 A、基础保分 43 B、综合提升 55 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 8．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 9．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）、理解函数的零点与方程的解的联系. （2）、理解函数零点存在定理，并能简单应用. （3）、了解用二分法求方程的近似解． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年天津卷，第7题,5分 求零点所在区间 一般 2024年新I卷，第7题,5分 求函数零点或方程根的个数 一般 2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 根据函数零点的个数求参数范围 一般 2024年新Ⅱ卷，第9题,6分 求函数零点或方程根的个数 较难 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 判断零点所在的区间 较难 2023年新I卷，第15题,5分 根据函数零点的个数 求参数范围 较难 2024年新I卷，第7题,5分 求函数零点或方程根的个数 一般 【2026考向预测】 从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注． 三、知识点•逐点夯实 考点一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 考点二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 考点三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 考点四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 考点五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【常用结论】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 四、重点难点•分类突破 考点一 求函数的零点或零点所在区间（二分法） 例1．（2025·陕西·一模）函数的零点所在的大致区间的（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【变式训练1】（2015·辽宁朝阳·一模） 方程的解所在的区间为 A． B． C． D． 【变式训练2】函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 考点二 求方程根的个数与函数零点的存在性问题 例3．（2025·陕西安康·模拟预测）函数在上的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 例4．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（2025·河北·模拟预测）函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练4】．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知函数和的零点分别为，则 . 【变式训练5】（2025·安徽·三模）已知函数，若对任意，有，则正整数的最小值为（参考值：）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点三 利用函数的零点求参数的取值范围 例6．已知函数，若恰有两个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7．（2024高三上·天津和平·月考）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 ． 【变式训练6】．函数在上存在零点，则整数t的值为 ． 【变式训练7】．（2024·河南·二模）已知函数（），若在上有零点，则实数的取值范围为 ． 考点四 嵌套函数（自我嵌套）的零点问题 例8．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 例9．已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 . 【变式训练8】．（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9】．（2024·浙江宁波·二模）设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点五 嵌套函数（与二次函数的嵌套）的零点问题 例10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 例11．（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练10】．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11】．（2025·湖南长沙·二模）已知函数，方程（）有两个不等实根，则下列选项正确的是（    ） A．2是的极大值点 B．函数无零点 C．a的取值范围是 D．，，使 考点六 唯一零点问题 例12．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例13．（24-25高三上·海南海口·月考）已知函数有唯一零点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练12】．已知是定义在上周期为2的函数，当时，.若关于x的函数有唯一零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13】．已知函数有唯一零点，则 ，的解集为 ． 考点七 分段函数的零点问题 例14．（2025高三下·内蒙·期中）已知函数若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例15．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练14】．已知函数若方程恰有5个实数根，则k的取值范围是 . 【变式训练15】．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 考点八 等高线问题 例16．（2025·河南·二模）已知函数若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例17．（2024·全国·模拟预测）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有5个实数根，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练16】．（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围 ． 【变式训练17】．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 五、分层训练 1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（    ） A．2 B． C．-2 D．2或-1 3．（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 4．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解(精确到0.1)为（    ） (参考数据：，，) A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 5．已知函数，若，则方程在的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025·全国·模拟预测）已知关于x的不等式的解集中只有1个整数，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 7．（2025·吉林长春·模拟预测）（多选题）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上有个零点 D．的值域为 8．（多选题）已知函数.则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．，的值域为 C．当时，有2个不相等的实数根，则 D．若在上单调递减，则的取值范围为 9．（多选题）函数与函数图象有且仅有一个交点，则实数可能取值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 10．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 11．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 12．（2024高三·全国·月考）函数的零点个数为 ． 13．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为 . 14．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为 15．（2025·江苏盐城·三模）设函数，若关于的方程的解的个数是 16．（2025·北京朝阳·一模）已知函数是上的奇函数，当时，则 ；若存在，使得，则c的一个取值为 ． 17．若函数有唯一零点，则实数的值 . 18．（2024·山东泰安·三模）已知函数，当时，函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是 ． 19．（2025·河北保定·二模）已知函数记函数的个零点为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 21．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·江苏扬州·三模）（多选题）著名数学家笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了方程，该方程表示的曲线C就是优美的“笛卡尔叶形线”（如图），它具有非常完美的对称性，则下列说法正确的是（   ） A．曲线C过点 B．曲线C关于对称 C．若，曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为3 D．若，曲线C上任一点均满足 23．（2023·北京海淀·三模）已知，给出以下命题： ①当时，存在，有两个不同的零点 ②当时，存在，有三个不同的零点 ③当时，对任意的，的图象关于直线对称 ④当时，对任意的，有且只有两个零点 其中所有正确的命题序号是 . 24．（2025·湖北襄阳·模拟预测）设函数的零点为，若表示不超过的最大整数，则称为函数的“和谐整点”.现已知函数的“和谐整点”为，若，为的前项和，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$