专题2.5 函数的图像（五类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题2.5 函数的图像 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 5 【课程标准】 5 【考情分析】 5 【2026考向预测】 6 三、知识点•逐点夯实 6 知识点1、基本初等函数的图像 6 知识点2、函数图像作法 7 【常用结论】 8 四、重点难点•分类突破 8 考点1 由解析式选择函数图像 8 考点2 由函数图像选择解析式 10 考点3 由解析式（含有参数）选择函数图像 13 考点4 函数的图像变换（平移、伸缩与对称） 17 考点5 函数图像的应用题 20 五、必考题型•分层训练 24 A、基础保分 24 B、综合提升 30 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 4．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数； 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2024年全国甲卷，第7题，5分 函数图像 一般 2024年新I卷，第7题，5分 函数图像 一般 2023年天津卷，第4题，5分 函数图像 简单 2022年天津卷，第3题，5分 函数图像 简单 2024年全国乙卷，第8题，5分 函数图像 较难 【2026考向预测】 基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是研究函数性质的重要工具．高考中总以一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年必考内容之一． 三、知识点•逐点夯实 考点一、基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数． 考点二、函数图像作法 1、直接画 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）． 2、图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 【常用结论】 （1）若恒成立，则的图像关于直线对称． （2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称． （3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． （4）函数与函数的图象关于直线对称． （5）函数....与函数的图象关于直线对称． （6）函数与函数的图象关于点中心对称． （7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 四、重点难点•分类突破 考点一 由解析选择函数图像 例1．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．（2025高三上·重庆·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   考点二 由函数图像选择解析式 例3．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】．（2024·广东江门·模拟预测）已知函数部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 考点三 由解析式（含有参数）选择函数图像 例5．（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 例6．（2025·广东广州·三模）（多选题）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（    ） A．B．C． D． 【变式训练5】．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】．（2025·河南·二模）已知是减函数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 考点四 函数图像的变换（平移、伸缩与对称） 例7．（2023·北京·模拟预测）（多选题）要得到的图像，只要将的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 例8．函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7】．（多选题）为了得到函数的图象，只需将函数图象上（    ） A．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．所有点沿y轴向下平移1个单位长度 D．所有点沿x轴向右平移个单位长度 【变式训练8】．（2023·海南海口·二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 考点五 函数图像的应用题 例9．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．  B．    C．   D．   例10．（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9】．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为当水流出所用时间为t时，鱼缸水深为h，则函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 五、必考题型•分层训练 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数的图像如图所示，则可能为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选题）函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   8．（2024·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 9．（2025·四川·二模）（多选题）函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 函数的图像 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 5 【课程标准】 5 【考情分析】 5 【2026考向预测】 6 三、知识点•逐点夯实 6 知识点1、基本初等函数的图像 6 知识点2、函数图像作法 7 【常用结论】 8 四、重点难点•分类突破 8 考点1 由解析式选择函数图像 8 考点2 由函数图像选择解析式 10 考点3 由解析式（含有参数）选择函数图像 13 考点4 函数的图像变换（平移、伸缩与对称） 17 考点5 函数图像的应用题 20 五、必考题型•分层训练 24 A、基础保分 24 B、综合提升 30 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数图象选择解析式、奇偶函数对称性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 2．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切） 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 4．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 5．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数图象选择解析式、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切） 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数； 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2024年全国甲卷，第7题，5分 函数图像 一般 2024年新I卷，第7题，5分 函数图像 一般 2023年天津卷，第4题，5分 函数图像 简单 2022年天津卷，第3题，5分 函数图像 简单 2024年全国乙卷，第8题，5分 函数图像 较难 【2026考向预测】 基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是研究函数性质的重要工具．高考中总以一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年必考内容之一． 三、知识点•逐点夯实 考点一、基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数． 考点二、函数图像作法 1、直接画 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）． 2、图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 【常用结论】 （1）若恒成立，则的图像关于直线对称． （2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称． （3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． （4）函数与函数的图象关于直线对称． （5）函数....与函数的图象关于直线对称． （6）函数与函数的图象关于点中心对称． （7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 四、重点难点•分类突破 考点一 由解析选择函数图像 例1．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、研究对数函数的单调性、比较余弦值的大小 【分析】由余弦函数性质、函数在上单调递增排除BD，再由可得答案. 【详解】因为，由余弦函数性质可知， 又，且函数在上单调递增，得. 所以当时，，BD错误. 又时，，得，A错误. 故选：C. 例2．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的应用、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B. 【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D. 当时，，所以，排除B. 故选：A. 【变式训练1】．（2025高三上·重庆·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】求出为奇函数，排除AB；由排除D，得到答案. 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 又，排除D. 故选：C. 【变式训练2】．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数图像的识别、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据的解析式得到的定义域和奇偶性，再根据的取值情况得到符合题意的选项． 【详解】由已知，定义域为，， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除B,C； 又，故D错误，A正确． 故选：A． 考点二 由函数图像选择解析式 例3．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解； 【详解】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 例4．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据函数的奇偶性，结合选项判断函数的奇偶性，结合即可求解. 【详解】由图象可知的图象关于原点对称，所以为奇函数，且， 对于A, ，故不符合，A错误， 对于B, ，则为奇函数，且满足，故B正确， 对于C, ，则为偶函数，不符合，C错误， 对于D, ，为偶函数，不符合，D错误， 故选：B 【变式训练3】．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】结合图象的对称性，及具体点函数值符号，逐个判断即可. 【详解】由图可知，函数图象关于轴对称，因此为偶函数， 对于B，的定义域为，且，奇函数； 对于D，的定义域为，，奇函数； 因此排除选项B，D这两个奇函数； 由图象知，若取一个很小的正数，比如， 对于A：，函数值为正数，因此排除A. 对于C: 的定义域为， ，，综上只有C符合， 故选：C. 【变式训练4】．（2024·广东江门·模拟预测）已知函数部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用排除法，结合奇偶性和零点分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知为偶函数， 但函数的图象关于原点对称，不合题意，故A错误； 对于选项BC：若，则， 即，， 可知函数在上没有零点，不合题意，故B，C错误， 检验可知选项D符合题意，故D正确． 故选：D. 考点三 由解析式（含有参数）选择函数图像 例5．（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导，分四种情况讨论求解即可. 【详解】， 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，故C符合题意； 当时，若 ，得，即函数在上单调递减， 若 ，得，即函数在上单调递增， 此时函数有最小值为，且，故D符合题意； 当时，恒成立，则函数在上单调递增. 故选：BCD 例6．（2025·广东广州·三模）（多选题）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（    ） A．B．C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数的零点 【分析】求出的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象． 【详解】令，得， ，令，得， 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，，，递减， ，，递增，故D正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递增，时，，递减， 时，，递减，故B正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，时，，递增， 时，，递增，故C错误； 若，，，且时，恒成立， 时，，递增，，，递增， ，，递减，故A错误； 综上，A,C错误，B,D正确． 故选：BD． 【变式训练5】．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据给定的函数图象，确定零点及极值点情况，再结合函数式、导函数式分析判断作答. 【详解】观察图象知，，函数有3个零点，设3个零点为， 于是，当时，， 而此时，因此， 又， 函数有两个极值点，且，即有两个不等实根， ，因此， 所以. 故选：B. 【变式训练6】．（2025·河南·二模）已知是减函数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、二次函数的图象分析与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由已知可得，当时根据函数解析式可得函数的图象，即可求解. 【详解】因为是减函数，且是增函数， 所以， 因为， 又当时，， 所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意. 故选：B. 考点四 函数图像的变换（平移、伸缩与对称） 例7．（2023·北京·模拟预测）（多选题）要得到的图像，只要将的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求图象变化前（后）的解析式、函数图象的变换 【分析】利用三角函数平移的性质及诱导公式即可. 【详解】函数向左平移个单位后得到， 故选：C. 例8．函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数图象的应用、函数图象的变换 【分析】根据函数图象的变换，求得函数，根据当时，得到，可排除A、B；当时，得到，可排除C，进而求解. 【详解】由题意，可得，其定义域为， 当时，，函数， 故排除A、B选项； 当时，0，故函数，故排除C选项； 当时，函数， 该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到，选项D符合. 故选：D. 【变式训练7】．（多选题）为了得到函数的图象，只需将函数图象上（    ） A．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．所有点沿y轴向下平移1个单位长度 D．所有点沿x轴向右平移个单位长度 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】对数函数图象的应用、函数图象的变换 【分析】利用图象的伸缩或平移变换逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A，函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 可得函数的图象，则选项A正确； 对于B，函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象，故选项B错误； 对于C，，将图象上的所有点沿y轴向下平移1个单位长度，就得到函数的图象，故选项C正确； 对于D，函数图象上所有点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选项 D错误； 故选：AC. 【变式训练8】．（2023·海南海口·二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、函数奇偶性的应用、函数图象的变换 【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增， 又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到， 所以函数的单调增区间是． 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系． 考点五 函数图像的应用题 例9．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．  B．    C．   D．   【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、分段函数模型的应用、分段函数的性质及应用 【分析】写出的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可. 【详解】根据题意可知在梯形中，； 当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为； 当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形， 其面积为； 当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积， 即； 所以可得； 根据函数类型对比图象可得A正确. 故选：A 例10．（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数图象选择解析式 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 【变式训练9】．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题作函数图象、函数与导函数图象之间的关系 【分析】取的中点，连接，设等边的边长为，求得，令，其中，结合导数，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得， 设等边的边长为，且，其中， 可得， 又由的面积为，可得， 且， 则的面积为， 令，其中， 可得，所以为单调递增函数， 又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值， 所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快， 结合选项，可得选项C符合题意. 故选：C. 【变式训练10】．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为当水流出所用时间为t时，鱼缸水深为h，则函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题作函数图象 【分析】根据时间和h的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数是关于t的减函数，故排除C，D， 则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B， 故选B． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 五、必考题型•分层训练 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别 【分析】根据函数的对称性，并代入特值可得解. 【详解】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项， 但满足， 因此的图象关于直线对称，可排除AB， 又，排除D， 故选：C. 2．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切） 【分析】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解. 【详解】的定义域为R， 则， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项； 又因为，故排除B选项. 故选：A． 3．若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、具体函数的定义域、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由指数函数的单调性可得，求出函数的定义域，结合函数的性质和图象的平移变换即可求解. 【详解】因为函数且在上为减函数， 所以， 函数的定义域为，故排除，； 且函数为偶函数， 当时，， 的图象由的图象向右平移一个单位得到， 且在定义域范围内是减函数， 故正确. 故选：. 4．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、余弦函数图象的应用 【分析】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答. 【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 5．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数的图像如图所示，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数图象选择解析式 【分析】本题使用排除法，通过赋值法可排除，项，通过对指数函数与幂函数增长速度的比较，可以排除项，从而得出正确选项. 【详解】对于，，与题图不符，故错误； 对于，当时，因为指数函数的增长速度远大于幂函数的增长速度，所以，与题图不符，故错误； 对于，，与题图不符，故错误； 通过排除法，所以正确. 故选：. 6．（2024·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求对数函数的解析式、函数图象的变换 【分析】由已知可得出，代入可得出的表达式，即可得出的表达式. 【详解】由已知可得，代入可得，则， 即，因此，. 故选：B. 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选题）函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据的定义域为，然后通过求导分析函数的单调性，再根据的不同取值情况来判断函数图象的大致形状. 【详解】的定义域为，排除C； 对求导可得，. 当时，，. 所以在上单调递增，且函数图象从右侧开始上升，B选项满足. 当时，在上，，，所以， 这表明函数在上单调递增，，A选项满足. 当时，. 令，对求导得， 在上，，所以在上单调递增. 又，当时，，所以存在，使得，即. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，D选项满足. 故选：ABD. 8．（2024·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】求出函数的导数，结合函数的图象特征确定各项系数的正负. 【详解】函数，求导得， 观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且， 函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A； 由，得则，，得，排除C； 由不等式的解集为，得，即，排除B； 又是方程的二根，，则，选项D符合题意. 故选：D 9．（2025·四川·二模）（多选题）函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数图象的变换 【分析】由求得，解不等式可得单调区间得极值点，即可判断A；有两解相当于的图象与有两个不同交点，由A作出的图象，即可判断B；根据由向右平移3个单位得到，结合的单调情况得在上的单调性，由此比较大小即可判断C；将函数解析式代入，解方程即可判断D. 【详解】对于A，，由得，由得； ∴在上单调递减；在上单调递增.故在处取极小值，则的极小值点为.故A不正确； 对于B，由A知可知单调性，极小值为，又， 故时，，当时，，； 时，.时，，据此可作图象如图， 则方程有两解相当于图象与有两个不同交点，则由图可得.故B正确； 对于C，因为由向右平移3个单位得到，所以， 由A知在上单调递减；在上单调递增.故，即.故C正确； 对于D，由，得，而，故，解得.故D正确. 故选：BCD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$