专题2.3 指数运算及指数函数（七类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题2.3 指数运算及指数函数 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 6 【课程标准】 6 【考情分析】 6 【2026考向预测】 6 三、知识点•逐点夯实 6 知识点1、指数及指数运算 6 知识点2、指数函数 7 【常用结论】 7 四、重点难点•分类突破 8 考点1 指数运算、指数方程与指数不等式 8 考点2 指数函数的图像与性质 9 考点3 指数型“复合函数”的单调性与最值 12 考点4 指数中的“恒成立问题” 15 考点5 比较大小 18 考点6 指数的实际应用 19 考点7 综合应用 22 五、必考题型•分层训练 28 A、基础保分 28 B、综合提升 36 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 7．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年天津卷，第7题,5分 函数零点与比较大小 较难 2025年上海卷，第14题,4分 指数函数的图像与性质 较难 2024年新I卷，第6题，5分 判断指数函数的单调性 一般 2024年新I卷，第4题，5分 指数型复合函数的单调性 一般 2023年新I卷，第7题，5分 比较指数幂的大小 一般 【2026考向预测】 从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题. 三、知识点•逐点夯实 知识1、指数及指数运算 (1)、根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)、根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个 ，负数的次方根是一个 . 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为 . (3)、指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)、有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)、有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 知识点2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【常用结论】 1、指数函数常用技巧 (1)、当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)、当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)、指数函数与的图象关于轴对称 4、 重点难点•分类突破 考点1 指数运算、指数方程与指数不等式 例1、（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 例2、（2023·四川宜宾·一模）计算: . 【对点训练1】（2025·四川·一模）已知正实数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【对点训练2】（2025·湖北·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则 ． 考点2 指数函数的图像与性质 例3、（2025·河南·三模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 例4、（2024·安徽蚌埠·三模）函数的图象是 A． B． C． D． 【对点训练3】函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【对点训练4】（2023·湖北武汉·二模）（多选题）函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 考点3 指数型“复合函数”的单调性与最值 例5、（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例6、（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【对点训练5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【对点训练6】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点4 指数中的“恒成立问题” 例7、（2024高三上·河南周口·月考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例8、（2024·贵州遵义·一模）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 A．(−1,2) B．(−4,3) C．(−2,1) D．(−3,4) 【对点训练7】（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【对点训练8】（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 考点5 比较大小 例9、（2025·天津红桥·二模）若则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例10、（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【对点训练9】（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【对点训练10】（2025·辽宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 考点6 指数的实际应用 例11、（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 例12、（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【对点训练11】．（2024·河南郑州·二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过 分钟． 【对点训练12】．（2024·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，与满足关系（常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前 分钟进行消毒工作. 考点7 综合应用 例13、（2025·北京·模拟预测）已知函数， ①当，时，恰有1个零点； ②若，则对于任意的，都有零点； ③当时，若函数恰有1个零点，则满足条件的取值唯一； ④当时，存在的取值，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是： . 例14、（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【对点训练13】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【对点训练14】．（2025·广东茂名·一模）（多选题）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 五、分层训练 1．（2024·安徽淮南·二模）1947年，生物学家MaxKleiber发表了一篇题为《bodysizeandmetabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重.若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（  ）（参考数据：） A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍 2．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 3．（2025·海南·模拟预测）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每月的“进步”率和“退步”率都是，那么大约经过（    ）月后“进步”的是“退步”的一万倍. A．20 B．21 C．22 D．23 10．（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（    ） ①浮萍每月的增长率相同； ②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是； ③若，则当时，恒成立； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则. A．①③④ B．③④ C．②③④ D．①②④ 11．（2025高三下·湖南长沙·月考）（多选题）已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·海南海口·模拟预测）已知，，则 ． 13．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是 . 14．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ． 15．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）. 若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时) 16．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 17．（2025·辽宁·模拟预测）（多选题）已知函数，则（    ） A．有4个不同零点的充要条件是 B．是没有零点的充分不必要条件 C．有2个不同零点的充要条件是 D．存在，使得有3个不同零点 18．（2025·陕西汉中·三模）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，函数单调递增 B．存在正数，使得函数为偶函数 C．函数的图象与直线有两个交点 D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 指数运算及指数函数 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 6 【课程标准】 6 【考情分析】 6 【2026考向预测】 6 三、知识点•逐点夯实 6 知识点1、指数及指数运算 6 知识点2、指数函数 7 【常用结论】 7 四、重点难点•分类突破 8 考点1 指数运算、指数方程与指数不等式 8 考点2 指数函数的图像与性质 9 考点3 指数型“复合函数”的单调性与最值 12 考点4 指数中的“恒成立问题” 15 考点5 比较大小 18 考点6 指数的实际应用 19 考点7 综合应用 22 五、必考题型•分层训练 28 A、基础保分 28 B、综合提升 36 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断零点所在的区间、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）、根据函数图象选择解析式 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 7．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2、 课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年天津卷，第7题,5分 函数零点与比较大小 较难 2025年上海卷，第14题,4分 指数函数的图像与性质 较难 2024年新I卷，第6题，5分 判断指数函数的单调性 一般 2024年新I卷，第4题，5分 指数型复合函数的单调性 一般 2023年新I卷，第7题，5分 比较指数幂的大小 一般 【2026考向预测】 从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题. 三、知识点•逐点夯实 知识1、指数及指数运算 (1)、根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)、根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)、指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)、有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)、有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 知识点2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【常用结论】 1、指数函数常用技巧 (1)、当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)、当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)、指数函数与的图象关于轴对称 4、 重点难点•分类突破 考点1 指数运算、指数方程与指数不等式 例1、（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】应用指数幂运算的性质化简求值. 【详解】由. 故选：A 例2、（2023·四川宜宾·一模）计算: . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值、指数幂的化简、求值、根式的化简求值 【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解. 【详解】由题意可得： ， 即. 故答案为：. 【对点训练1】（2025·四川·一模）已知正实数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】指数幂的运算、由指数（型）的单调性求参数、比较指数幂的大小 【分析】将变形为，可判断，继而变形为，推出，即可求解. 【详解】因为，故，即， 因为，所以； 又，结合，可得， 而， 即得，即，则必有， 则，即选项A中不等式成立， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将变形为，继而变形为，即可求解. 【对点训练2】（2025·湖北·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】函数对称性的应用、指数幂的化简、求值 【分析】由题意可得对任意，恒有成立，进而求解即可. 【详解】由题意知，对任意，恒有成立， 即恒成立，化简得， 故只能，又，则． 故答案为：4. 考点2 指数函数的图像与性质 例3、（2025·河南·三模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据时函数值的符号排除A，故可得正确的选项. 【详解】的定义域为，排除D； 因为，所以为偶函数， 图象关于y轴对称，排除C； 当时，，排除A． 故选：B. 例4、（2024·安徽蚌埠·三模）函数的图象是 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】通过，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A． 【详解】，可得f(0)=1,排除选项C,D; 由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B， 故选A 【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目． 【对点训练3】函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数型函数的图象形状、求指数函数在区间内的值域、函数图像的识别 【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果． 【详解】由函数， 可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1； 在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零， 结合所给的选项，只有B项满足条件， 故选：B． 【对点训练4】（2023·湖北武汉·二模）（多选题）函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、判断指数型函数的图象形状、利用导数研究函数图象及性质 【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可. 【详解】， 当时, ,A选项正确； ， ， , 时, 有两个根,且时 ,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误； 当时, 有两个根,且此时 ,故B选项正确. 故选：ABC． 考点3 指数型“复合函数”的单调性与最值 例5、（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 例6、（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数函数在区间内的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】由函数的单调性即可求解. 【详解】因为与在上均为减函数， 且当时，，所以， 故的值域为. 故答案为： 【对点训练5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据指数函数的单调性结合复合函数的单调性即可得解. 【详解】令，其减区间为， 而函数为增函数， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 【对点训练6】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据集合的包含关系求参数、求指数型复合函数的值域 【分析】根据题意，转化为有解且无最大值即可分类讨论得解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，有解，但有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，满足题意. 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 考点4 指数中的“恒成立问题” 例7、（2024高三上·河南周口·月考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题、根据指数函数的最值求参数 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 例8、（2024·贵州遵义·一模）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 A．(−1,2) B．(−4,3) C．(−2,1) D．(−3,4) 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】由题意可得m2﹣m＜=在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，则只要m2﹣m＜的最小值，然后解不等式可m的范围． 【详解】∵（m2﹣m）4x﹣2x＜0在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立， ∴m2﹣m＜=在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立， 由于f（x）=在x∈（﹣∞，﹣1]时单调递减， ∵x≤﹣1，∴f（x）≥2，∴m2﹣m＜2， ∴﹣1＜m＜2， 故选A． 【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立⇔m≤f（x）得最小值（m≥f（x）恒成立⇔m≥f（x）的最大值），体现出函数恒成立与最值的相互转化． 【对点训练7】（2025·广西·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、指数函数最值与不等式的综合问题、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】根据题意确定有公共零点，设为，即可得到，构造函数，求出其最小值，即可求得答案. 【详解】由于函数在上均单调递增，故均至多有一个零点， 而不等式恒成立， 若，则需恒成立，由于的值域为R，故不恒成立； 故，则有公共零点，设为， 则，即， 故， 令，则， ，由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 则时，；时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为1， 故选：C 【对点训练8】（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 【答案】 2（答案不唯一，即可） 4 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、根据分段函数的值域（最值）求参数、求二次函数的值域或最值、对勾函数求最值 【分析】分别研究和时函数的最小值情况，确保两个区间内的最小值都不小于，且是整体的最小值，结合两段函数的性质，求解的取值. 【详解】由题意知，原函数中为最小值， ①当时，令，则，函数变为， 求导得，令，则， i）当，即时，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； ii）当，即时，在上单调递增， 最小值. ②当时，，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； 综上所述， . 故答案为：2（答案不唯一，即可）；4 考点5 比较大小 例9、（2025·天津红桥·二模）若则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的单调性与值域可得，再由对数函数的单调性可得，由此可得结果. 【详解】因为，所以， ，， 所以. 故选：D. 例10、（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数的性质可判断，再由对数函数的性质可判断，即可得出答案. 【详解】因为， ，，且， 故. 故选：A. 【对点训练9】（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 【对点训练10】（2025·辽宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可. 【详解】对于，由于在单调递增，所以， 对于，由于单调递减，故. 所以. 故选：D 考点6 指数的实际应用 例11、（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 例12、（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：， 由题意可得， 所以． 故选：B． 【对点训练11】．（2024·河南郑州·二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过 分钟． 【答案】120 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、解析法表示函数、指数函数模型的应用（1） 【分析】先把现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是代入公式，再列出此物体的温度变为时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可求得要使物体的温度变为，还要经过的时间. 【详解】∵现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是， ∴，即①， 要使物体的温度变为，则，即②， 联立①②，，解得， 故还要经过分钟． 故答案为：120． 【对点训练12】．（2024·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，与满足关系（常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前 分钟进行消毒工作. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】当时，求出关于的函数解析式，然后解不等式，即可得解. 【详解】由于函数的图象过点，则，可得， 故当时，，由，可得，解得，此时. 故地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作. 故答案为：. 考点7 综合应用 例13、（2025·北京·模拟预测）已知函数， ①当，时，恰有1个零点； ②若，则对于任意的，都有零点； ③当时，若函数恰有1个零点，则满足条件的取值唯一； ④当时，存在的取值，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是： . 【答案】①② 【难度】0.4 【知识点】指数函数图像应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、对数函数图象的应用 【分析】利用函数零点问题转化为方程，然后再构造两个函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合来解决问题. 【详解】对于①，当，时，由， 分别作出函数与的图象， 由图像可得两函数必有一个交点，则有唯一零点，故①正确； 对于②，若，由， 分别作出函数与的图象，当时作图可得： 此时由图像可得两函数必有一个交点，但当时又作图可得： 此时由图像可得两函数也必有一个交点，则都有零点，故②正确； 对于③，若时，由， 分别作出函数与的图象，当时作图可得： 此时由图像可得两函数必有一个交点，说明对任意的，都满足有一个零点，即满足条件的的取值并不唯一，故③错误； 对于④，若时，由， 分别作出函数与的图象，当时作图可得： 此时由图像可得两函数必有一个交点，说明对任意的，不满足有三个零点， 所以当时，又分别作出函数与的图象，    此时由图像可得两函数可能没有交点，或只有一个交点，或有两个交点，但一定没有三个交点，所以不满足有三个零点，故④错误， 故答案为：①②. 例14、（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据分段函数的值域（最值）求参数、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解. 【详解】当时，恒成立，则， 因为定义域为的函数满足， 当时，， 当时，， 则 ， 因为，此时； 当时，， 则， 因为，则，则，所以， 所以，函数在上的最小值为， 所以，，即，即，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【对点训练13】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、指数函数图像应用 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】的图象如图所示： ∵方程有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得． 故选：D． 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 【对点训练14】．（2025·广东茂名·一模）（多选题）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断或证明函数的对称性、判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】根据复合函数的单调性判断A，利用特殊值判断B，计算即可判断C，根据函数的对称性与单调性转化为，再结合二次不等式的性质计算可得D. 【详解】对于A：因为定义域为， 当时在定义域上单调递增，且，又在上单调递增， 所以在定义域上单调递增，故A正确； 对于B：当时，但是，故B错误； 对于C：当时，， 则，所以曲线关于点对称，故C正确； 对于D：当时，的图象是由图象向右平移个单位得到， 所以的对称中心为，且在定义域上单调递增， 所以，可得， 即，从而得到， 即恒成立，所以，解得，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项的关键是推导出的对称中心为，且在定义域上单调递增，从而将不等式转化为恒成立. 五、分层训练 1．（2024·安徽淮南·二模）1947年，生物学家MaxKleiber发表了一篇题为《bodysizeandmetabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重.若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（  ）（参考数据：） A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决. 【详解】设该哺乳动物原体重为、基础代谢率为，则，经过一段时间生长，其体重为，基础代谢率为，则，则. 故选：C. 2．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据题意只需要为定值即可，则，即可求得. 【详解】令，则， 则， 所以函数的图象一定过点. 故选：A. 3．（2025·海南·模拟预测）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】由指数函数的单调性和对数函数的单调性，且，即可比较大小. 【详解】由指数函数的单调性可知， 由对数函数的单调性可知． 又，所以，即． 故选:D． 4．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可. 【详解】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即. 故. 故选：D. 5．（2025·河北·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断指数函数的单调性 【分析】由指数函数单调性可判断必要性，由特殊值可判断充分性. 【详解】由可得，又由，可得， 又由不一定可得， 反例：当时，成立，但， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6．（2023·湖南岳阳·模拟预测）若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求已知指数型函数的最值、根据指数函数的最值求参数 【分析】根据指数函数的单调性求出最值即可得解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以， 则，所以. 故选：C. 7．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得，即可得解. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：C 8．若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据指数函数的最值求参数、函数不等式恒成立问题、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】根据指数函数的性质，参变分离可得恒成立，再根据幂函数的性质计算可得； 【详解】解：因为，所以，又恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递减，所以，所以，即； 故选：B 9．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每月的“进步”率和“退步”率都是，那么大约经过（    ）月后“进步”的是“退步”的一万倍. A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（1） 【分析】根据题意可列出方程，求解即可， 【详解】设经过个月“进步“的值是“退步”的值的10000倍, 则， 即， , 故选：D． 10．（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（    ） ①浮萍每月的增长率相同； ②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是； ③若，则当时，恒成立； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则. A．①③④ B．③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】指数幂的运算、指数函数模型的应用（2）、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】将点的坐标代入可求出，通过增长率计算可判断①；根据反函数的定义可知，利用对数函数的性质结合二次函数的图象和性质可判断②；利用基本不等式计算判断③；利用指数幂的运算判断④. 【详解】由图象可知，函数过点，则，即. 对于①，浮萍每月的增长率为，故①正确； 对于②，若函数与的图像关于直线对称，则， 则，要使其值域为，则函数的值域要包含， 因为二次函数开口向上，所以即可，解得或，故②错误； 对于③，，设，则， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以，故③正确； 对于④，由题意知，，，，所以，， 则，故，故④正确. 故选：A. 11．（2025高三下·湖南长沙·月考）（多选题）已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】比较正弦值的大小、由指数函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据指数函数的单调性，结合正弦函数的单调性、幂函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为，所以. A：在上是增函数，故，故本关系恒成立； B：当时，显然符合，但是不成立，故本关系式不恒成立； C: 因为在上是增函数，所以，故本关系恒成立. D：由于为单调递增函数，为单调递减函数，故为上的单调递增函数，由可得，故，故本关系式恒成立； 故选：ACD 12．（2024·海南海口·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数的运算法则计算即可. 【详解】由题可知 故答案为：3 13．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用 【分析】先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式 转化为即可求解． 【详解】构造函数，那么 是单调递增函数， 且向左移动一个单位得到， 的定义域为，且， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称． 不等式 等价于， 等价于 结合单调递增可知， 所以不等式的解集是，． 故答案为：，． 14．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】在上单调递增，需要满足， 解得，所以. 故答案为：. 15．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/100毫升，经过x个小时，酒精含量降为毫克/100毫升，且满足关系式（r为常数）. 若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时) 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、指数函数模型的应用（1） 【分析】先求出，再利用，即可得出结论． 【详解】解：由题意，，∴， ，∴， 故答案为8． 【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 16．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 17．（2025·辽宁·模拟预测）（多选题）已知函数，则（    ） A．有4个不同零点的充要条件是 B．是没有零点的充分不必要条件 C．有2个不同零点的充要条件是 D．存在，使得有3个不同零点 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、指数函数图像应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】先作出函数图象，再结合方程，得，分类讨论计算求解. 【详解】作出函数的大致图象如图所示： 当时，. 当0时，由，得， 设，则，易知为奇函数，且在区间内单调递减，其大致图象如图所示： 当时，方程有两根，，且. 当时，有两解，且；当时，有两解，，且. 当时，方程有两根，且1， 当时，，这时只存在一个解；当时，，这时存在一个解. 当时，方程有两根，且， 当时，，无解；当时，无解. 综上，当时，有4个零点； 当时，有2个零点； 当时，没有零点. 故选:AC. 18．（2025·陕西汉中·三模）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，函数单调递增 B．存在正数，使得函数为偶函数 C．函数的图象与直线有两个交点 D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性可判断A选项；取，结合函数奇偶性的定义可判断B选项；取，结合函数的单调性可判断C选项；利用函数单调性与导数的关系求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，为增函数， 当时，，则函数、均为增函数， 故函数也为增函数， 综上所述，当时，函数单调递增，A对； 对于B选项，取，则，此时， 所以，此时， 函数的定义域为，，即函数为偶函数， 因此，存在正数，使得函数为偶函数，B对； 对于C选项，当时，由A选项可知，函数在上为增函数，且， 此时，函数的图象与直线只有一个公共点，C错； 对于D选项，因为，则， 由题意可知时，函数为增函数， 当时，由题意可知，对任意的，恒成立， 只需，即， 因为，则， 因为，则，所以，即， 所以，可得，解得或， 因为，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为，D对. 故选：ABD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$