专题2.2 函数的基本性质的灵活应用（单调性、奇偶性、对称性、周期性）（八类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题2.2 函数基本性质的灵活运用 （单调性、奇偶性、对称性、周期性） 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 7 【课程标准】 7 【考情分析】 8 【2026考向预测】 8 三、知识点•逐点夯实 8 知识点1、函数的单调性 8 知识点2、函数的奇偶性 8 知识点3、函数的对称性 8 知识点4、函数的周期性 9 【常用结论】 9 四、重点难点•分类突破 12 考点1 函数的单调性及其应用 12 考点2 利用函数的单调性，求参数范围 15 考点3 函数的奇偶性及其应用 16 考点4 利用函数的奇偶性，求参数范围 19 考点5 对称性与周期性 21 考点6 类周期函数（值域倍增、值域倍减） 23 考点7 抽象函数的单调性、奇偶性与周期性 26 考点8 函数性质的综合应用 32 五、必考题型•分层训练 35 A、基础保分 35 B、综合提升 45 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 7．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 8．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 9．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）、借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． （2）、结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． （3）、结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，第5题,5分 根据周期性与奇偶性求值 一般 2025年新Ⅱ卷，第10题,6分 函数奇偶性的应用 函数极值与不等式 较难 2024年新I卷，第6题,5分 根据分段函数的单调性求参数 一般 2024年新I卷，第8题,5分 求函数值 抽象函数的关系 一般 2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数奇偶性的应用 一般 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 函数对称性的应用 较难 2023年新I卷，第4题,5分 复合函数的单调性 一般 【2026考向预测】 从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有 ，那么就说在区间上是 ． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是 ． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的 ． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 知识2、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 知识3、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于 对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于 对称． (3)若，则函数关于 对称． (4)若，则函数关于点 对称． 知识4、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数为 ，称 为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 【常用结论】 1、单调性技巧 （1）、函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （2）、记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为 ；若是减函数，则为 ； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为 ，为 ； ④若且为减函数，则函数为 ，为 ． 2、奇偶性技巧 (1)、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 . (2)、奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于 对称； 函数是奇函数函数的图象关于 中心对称. (3)、若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)、偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)、若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)、运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)、复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)、常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）、若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且 ； （2）、若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且 ； （3）、若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且 . 5、对称性技巧 （1）、若函数关于直线对称，则． （2）、若函数关于点对称，则． （3）、函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 四、重点难点•分类突破 考点1 函数的单调性及其应用 例1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高三上·四川绵阳·月考）（多选题）下列函数中，是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】、（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】、（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 考点2 利用函数的单调性，求参数范围 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】、（24-25高三下·江苏南通·月考）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】、（2025高三·全国·月考）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 考点3 函数的奇偶性及其应用 例5．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 例6．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（   ）． A． B． C． D． 【变式训练5】、（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6】、（2025·云南曲靖·二模）（多选题）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 考点4 利用函数的奇偶性，求参数范围 例7．（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 例8．（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式训练7】、（2025·湖南永州·三模）已知函数是偶函数，则 . 【变式训练8】、（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 考点5 对称性与周期性 例9．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 例10．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R的函数，其图象关于直线对称，已知为奇函数，且，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式训练9】、（2025·云南曲靖·二模）已知函数满足，且当时，，则的值为 ． 【变式训练10】、（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（   ） A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12 C． D． 考点6 类周期函数（值域倍增、值域倍减） 例11．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． C． D． 例12．（2024高三下·辽宁沈阳·月考）已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11】、定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12】、（2025·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是______. 考点7 抽象函数的单调性、奇偶性与周期性 例13．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 例14．（2025·山东·一模）（多选题）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（    ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 【变式训练13】、（2025·四川·一模）（多选题）已知函数满足：，且，那么（   ） A． B． C． D．若，则 【变式训练14】、（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 . ①为奇函数； ②对定义域内任意，都有； ③对，都有； ④. 考点8 函数性质的综合应用 例15．（2023·吉林·模拟预测）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例16．（2023·全国·模拟预测）（多选题）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C． D． 【变式训练15】、（2023·江西新余·二模）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（    ） A．，为奇函数 B．，在上单调递增 C．，在上单调递增 D．，有最小值1 【变式训练16】、（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 五、分层训练 1．（2025·广东揭阳·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 6．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则下列式子中一定是定值的为 （    ） A． B． C． D． 7．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 8．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 A． B． C． D． 9．（2023·四川资阳·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·湖南邵阳·三模）（多选题）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数 C． D． 12．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 13．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 . 14．（2025·山东济宁·一模）已知函数是奇函数，则实数 ． 15．（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 16．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（    ） A．都有 B．函数和均不存在最小正周期 C．函数和均为偶函数 D．存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个 17．（24-25高三上·福建漳州·月考）（多选题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 函数基本性质的灵活运用 （单调性、奇偶性、对称性、周期性） 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 7 【课程标准】 7 【考情分析】 8 【2026考向预测】 8 三、知识点•逐点夯实 8 知识点1、函数的单调性 8 知识点2、函数的奇偶性 8 知识点3、函数的对称性 8 知识点4、函数的周期性 9 【常用结论】 9 四、重点难点•分类突破 12 考点1 函数的单调性及其应用 12 考点2 利用函数的单调性，求参数范围 15 考点3 函数的奇偶性及其应用 16 考点4 利用函数的奇偶性，求参数范围 19 考点5 对称性与周期性 21 考点6 类周期函数（值域倍增、值域倍减） 23 考点7 抽象函数的单调性、奇偶性与周期性 26 考点8 函数性质的综合应用 32 五、必考题型•分层训练 35 A、基础保分 35 B、综合提升 45 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 6．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求已知函数的极值点 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 8．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 9．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）、借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． （2）、结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． （3）、结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，第5题,5分 根据周期性与奇偶性求值 一般 2025年新Ⅱ卷，第10题,6分 函数奇偶性的应用 函数极值与不等式 较难 2024年新I卷，第6题,5分 根据分段函数的单调性求参数 一般 2024年新I卷，第8题,5分 求函数值 抽象函数的关系 一般 2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数奇偶性的应用 一般 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 函数对称性的应用 较难 2023年新I卷，第4题,5分 复合函数的单调性 一般 【2026考向预测】 从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 知识2、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 知识3、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 知识4、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 【常用结论】 1、单调性技巧 （1）、函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （2）、记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 (1)、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)、奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)、若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)、偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)、若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)、运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)、复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)、常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）、若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）、若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）、若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 5、对称性技巧 （1）、若函数关于直线对称，则． （2）、若函数关于点对称，则． （3）、函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 四、重点难点•分类突破 考点1 函数的单调性及其应用 例1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【详解】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 例2．（24-25高三上·四川绵阳·月考）（多选题）下列函数中，是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用指数函数性质可得A正确，由反比例函数性质可得B错误，根据幂函数性质可得C正确，求导得出恒成立，可得D正确. 【详解】对于A，易知的定义域为，是由函数和组成， 易知为单调递增函数，为单调递增函数，因此A正确； 对于B，函数定义域为， 根据反比例函数性质可得在和上分别单调递增，但不是增函数，即B错误； 对于C，易知的定义域为，由幂函数性质可得其在定义域内单调递增，即C正确； 对于D，函数的定义域为，则恒成立， 所以函数在定义域内单调递增，即D正确. 故选：ACD 【变式训练1】、（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式训练2】、（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项验证. 【详解】对于A，是偶函数，不符合奇函数要求，故A错误； 对于B，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，其定义域为关于原点对称，且，是奇函数， 同时在上是严格增函数，故D正确. 故选：D. 考点2 利用函数的单调性，求参数范围 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 例4．（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由表达式可知当时，是单调减函数，故在上单调递减，则需要时，单调递减，且在断开位置处也要满足减函数的定义. 【详解】因为时，是单调减函数， 又因为在上单调，所以，故时，单调递诚， 则只需满足，解得， 故选：B. 【变式训练3】、（24-25高三下·江苏南通·月考）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围. 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 【变式训练4】、（2025高三·全国·月考）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 考点3 函数的奇偶性及其应用 例5．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、余弦函数图象的应用 【分析】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答. 【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 例6．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数函数在区间内的值域、求对数型复合函数的值域、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】根据奇偶性定义，结合指对幂函数的性质、正弦函数性质及基本不等式判断是否符合题设. 【详解】A：，且定义域为R，满足； B：，且定义域为， 在上，故在上，不符合； C：且定义域为R，不符合； D：且定义域为， 当时，，当且仅当时取等号，不符合. 故选：A 【变式训练5】、（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算、求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是. 故选：D 【变式训练6】、（2025·云南曲靖·二模）（多选题）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】求出各个函数的定义域，代入判断函数奇偶性，进而结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出单调性. 【详解】设，，， 对于A项，易知定义域为R， 且，所以为偶函数. 根据二次函数的性质可知，在上单调递增.故A正确； 对于B项，定义域为R， 且，所以不是偶函数.故B错误； 对于C项，定义域为， 且. 当时，在上单调递增.故C正确； 对于D项，定义域为， 且，所以为奇函数.故D错误. 故选：AC. 考点4 利用函数的奇偶性，求参数范围 例7．（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数定义，结合余弦函数奇偶性列式求出值. 【详解】函数的定义域为，且是奇函数， 则，而不恒为0， 因此，所以． 故选：C 例8．（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意知：， 则， 化简为，则，解得． 故选：A． 【变式训练7】、（2025·湖南永州·三模）已知函数是偶函数，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据题意，得到，得出恒成立，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为函数是偶函数，且定义域为， 可得，即， 所以，即恒成立， 所以且，解得. 故答案为：. 【变式训练8】、（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由为偶函数，确定为奇函数，进而可求解. 【详解】为奇函数， 当函数为偶函数时，函数为奇函数， 所以， 解得：．经验证符合题意， 故答案为： 考点5 对称性与周期性 例9．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性和周期性求出函数值. 【详解】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且， 故，解得，， 又，所以. 故答案为： 例10．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R的函数，其图象关于直线对称，已知为奇函数，且，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意有，，从而得，即可求出周期，进而求出一个周期的和，利用周期即可求解. 【详解】由关于对称，有， 又为奇函数，则即，且即， 所以关于点对称，且， 则，作差有， 为周期函数，且周期为4，因为，，则， 因为，，则，， 则，． 故选：B． 【变式训练9】、（2025·云南曲靖·二模）已知函数满足，且当时，，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数值、对数的运算、由函数的周期性求函数值 【分析】根据已知得出函数的周期为4，进而得出，然后根据解析式求出即可得出答案. 【详解】由已知可知，函数为周期函数，且周期为4. 所以，. 又当时，， 所以，，. 故答案为：. 【变式训练10】、（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（   ） A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】用代替，可得，可判断C；用替换，结合偶函数的性质可得A正确；用替换，结合偶函数的性质可得B正确；由函数的周期性可得D错误. 【详解】因为，用代替，可得， 令，得，即， 令，得，所以，C正确； 用替换，可得，所以， 所以函数为偶函数，A正确； 用替换，可得， 所以，所以， 所以，即． 所以， 故是以12为周期的周期函数，B正确； ， 所以； ，，， 所以，D错误. 故选：D. 考点6 类周期函数（值域倍增、值域倍减） 例11．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．    【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 例12．（2024高三下·辽宁沈阳·月考）已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、求二次函数的值域或最值 【分析】由题知当时，，进而结合递推即可得当时，． 【详解】解：当时，， 易知当时，， 因为，所以， 所以当时，；当时，，综上，当时，． 故选：D． 【变式训练11】、定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数满足，且当时， 当时，可得； 当时，可得， 所以在区间上，可得， 作函数的图象，如图所示， 所以当时，， 故选：B.    【变式训练12】、（2025·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】 可结合图像大致特点，当函数区间由右移，函数值逐渐减小，当函数区间由左移，函数值逐渐增大，则确定应是比2大的一个值，再由可推出通式，令可解得，再由图像可确定的临界值应为，即可求解 【详解】 由题可知 ， 则可得一般规律：，可画出大致函数图像，如图： 由图可知，当时，，则，， 此时，由图像可知，要对任意，都有，则的最大值只能取，故 故答案为： 【点睛】 本题考查由函数的递推式找出一般函数图像规律，数形结合思想，属于难题 考点7 抽象函数的单调性、奇偶性与周期性 例13．（24-25高三上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 例14．（2025·山东·一模）（多选题）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（    ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数的周期性的定义与求解、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】令得，由即可判断A；令，得，再求得，根据奇偶性定义判断B；由递推式得，进而有，应用错位相减法求判断D；由，假设为的最小正周期，而不能恒成立判断B. 【详解】令，则，而， 所以，A对； 令，则，令，则， 令，则，故，故是奇函数，C对； 由 ， 由，则，故， 所以， 所以， 所以，D错. 假设为的最小正周期， 由，则，故， 显然，对于，，，不能恒成立， 即不能恒成立，与前提矛盾，B错. 故选：AC 【变式训练13】、（2025·四川·一模）（多选题）已知函数满足：，且，那么（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、求余弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用赋值法即可逐一判断A、B、C选项，通过赋值法求得的最小正周期，从而得解. 【详解】对于A，令，， 因为，所以，故A正确； 设，则 显然满足条件，但是，故B错误； 对于C，令， ， 所以， 又，所以为偶函数， 即，故C正确； 对于D，设，类似A中推导，可知满足题设条件， 但最小正周期是，故D错误， 故选：AC 【变式训练14】、（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 . ①为奇函数； ②对定义域内任意，都有； ③对，都有； ④. 【答案】①③④ 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】令，求得，进而推得，可判定①正确；结合函数的单调性的判定方法，进而可判定②不正确；根据，结合基本不等式，可判定③正确；根据，结合裂项法求和，可判定④正确. 【详解】对于①中，由对任意都有， 令，可得，所以， 任取，可得，可得， 所以，所以函数是上的奇函数，所以①正确； 对于②中，设，可得，则 则有， 因为当时，恒成立，且函数为为奇函数， 所以当时，恒成立，可得， 即，即，在为减函数， 又因为为奇函数，所以函数在为减函数， 且当时，；当时，， 又由， 因为，不妨设，可得，， 所以，即， 所以②不正确； 对于③中，对于，可得，则， 可得，且， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 即，所以③正确； 对于④中，因为函数为奇函数， 可得， 所以，因为，所以， 所以，所以④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略： （1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题. （2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中为自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到，求得函数的周期； （3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解. 考点8 函数性质的综合应用 例15．（2023·吉林·模拟预测）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数的最值求参数、求指数型复合函数的值域 【分析】分类讨论 f(x) 的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解. 【详解】记 因为，所以，所以 当时，，所以， 取， 则对任意正整数，总有成立，故舍． 当时，．所以 要使正整数的最大㨁为6，则，解得； 当时，，所以 显然存在任意正整数，使得成立； 当时，，所以 要使正整数的最大值为6，则，解得 综上，的取值范围为. 故选：A. 例16．（2023·全国·模拟预测）（多选题）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、对数型复合函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据奇函数定义可判断AB；根据和的单调性，由内至外比较大小，即可判断CD. 【详解】易知恒成立，所以的定义域为， 因为单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增. 因为， 所以为奇函数，所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减． 选项A：因为，所以是奇函数，A正确； 选项B：因为，所以是偶函数，B错误； 选项C：因为，所以，所以C错误； 选项D：因为， 所以，D正确． 故选：AD 【变式训练15】、（2023·江西新余·二模）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（    ） A．，为奇函数 B．，在上单调递增 C．，在上单调递增 D．，有最小值1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的定义与判断、含参指数函数的最值 【分析】根据函数奇偶性的定义及复合函数的单调性逐一判定即可. 【详解】由题意易得定义域为R，，即为偶函数， 故A错误； 令，则且随增大而增大， 此时，由对勾函数的单调性得单调递增， 根据复合函数的单调性原则得在上单调递增，故B正确； 结合A项得在上单调递减，故C错误； 结合B项及对勾函数的性质得，故D错误. 故选：B. 【变式训练16】、（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 五、分层训练 1．（2025·广东揭阳·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由奇偶性判断方法去分析即可判断A；由指数函数图象性质即可判断B；由得函数定义域，再计算即可判断C；由正弦函数性质即可判断D； 【详解】对于A，易知的定义域为，关于原点对称， 又函数，所以是奇函数，但在上单调递减，故A错误； 对于B，函数是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，，因为， 所以的定义域为关于原点对称， 又， 所以是奇函数， 又在上单调递增，为增函数， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，函数在上不为增函数，故D错误. 故选：C. 2．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 3．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据奇函数的定义，和函数单调性与导函数的关系，求出函数在区间上的单调性，分别判断各选项正误. 【详解】已知的定义域是，不是奇函数，所以A错误. 已知，定义域为，且，是奇函数， ，所以在区间上单调递增，所以B正确. 已知，则，在区间上单调递减，所以C错误. 已知，则，令，即，解得， 所以在上单调递减，所以D错误. 故选：B. 4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由奇函数性质可得，列方程求，再检验所得结果即可. 【详解】由，可得，所以， 所以的定义域为， 因为是奇函数，所以， 又，， 所以，解得. 当时，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以此时是奇函数 故选：D. 5．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解． 【详解】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 6．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则下列式子中一定是定值的为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、判断证明抽象函数的周期性、由函数的周期性求函数值 【分析】通过已知为偶函数和为奇函数得出相应等式，再经过等式推导得出函数的周期，最后利用周期计算的值. 【详解】因为为偶函数，可得，也就是. 因为为奇函数，可得，也就是. 令代入，可得，所以.   由和，可得. 则，即. 则. 又因为，所以，所以函数的周期是. 因为，可得， 又因为前面已求得，所以. 故选：D. 7．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性和周期性定义，赋值计算，对各选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，已知是定义域为的奇函数，则. 令，代入可得：，将代入得，即，所以A选项错误. 对于B选项，因为是奇函数，则. 由可得. 用代替可得，又因为，所以，即. 那么. 同理. . . 令，则，所以B选项正确. 对于C选项，由可知，所以的最小正周期不是，C选项错误. 对于D选项，由，得不是曲线的对称轴，D选项错误. 故选：B. 8．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的性质及应用 【分析】根据已知条件求出当时，函数， 做出示意图如下图所示： 要使，则需，而由可解得，从而得出的范围. 【详解】当时，，而时，所以 又， 所以当时，， 当时，， 做出示意图如下图所示： 要使，则需，而由解得，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查函数不等式的求解问题，解决问题的关键在于根据已知条件求出相应区间的解析式，运用数形结合的思想巧妙求解不等式，属于中档题. 9．（2023·四川资阳·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式． 【详解】因为是定义在R上的奇函数，时，单调递增，且， 所以当时，， 当时，， 不等式，则 当时，有，即或，解得或，又，； 当时，有，即或，又，解得； 综上，不等式的解集为. 故选：C. .11．（2025·湖南邵阳·三模）（多选题）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数 C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用、对数的运算 【分析】由题意可得，可判断A；令，可得，进而可判断B；由已知可得是偶函数，进而计算可得，进而可得，，进而计算可判断C；利用作差法可得，进而求得在区间上单调递减，可得结论判断D. 【详解】因为，所以，所以关于点中心对称，故A错误； 令，所以，又， 所以，故为奇函数，故B正确； 又因为，所以是偶函数，所以， 所以，所以， 所以是周期为4的函数， 令，得，令，得，令，得， 所以，故C正确； ， 又， 故，又因为当，单调递减，且， 所以，所以关于点中心对称， 所以在区间上单调递减，所以， 所以，故D错误. 故选：BC. 12．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、抽象函数的奇偶性 【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【详解】根据题意，， 取，得，因为，所以，A正确; 取，得，所以，B错误; 取，得，即， 所以为偶函数，C正确; 取，得，所以， 即4为函数的一个周期，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解. 13．（2025·广西·模拟预测）若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14．（2025·山东济宁·一模）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数性质求实数的值，并根据奇函数的定义求解. 【详解】因为，可知函数的定义域为， 且函数是奇函数，则， 解得，则， 又因为 ， 即，可知函数是奇函数， 所以符合题意. 故答案为：1. 15．（2025·陕西商洛·三模）已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】分析函数在上的单调性，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出结果. 【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数， 因为， 所以，，且函数在上为增函数， 所以，， 因为函数在上为减函数，则， 故，且， 所以，， 故选：D 16．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（    ） A．都有 B．函数和均不存在最小正周期 C．函数和均为偶函数 D．存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的定义与判断、函数的周期性的定义与求解 【分析】根据狄利克雷函数与广义狄利克雷函数的定义，结合函数值、周期性、奇偶性等逐项判断即可得答案. 【详解】对于A，由于（其中且），当为无理数时，，故A不正确； 对于B，设为非零的有理数，若是有理数，则也是有理数； 若是无理数，则也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，所以对恒成立，对恒成立，即数和均为周期函数，但不存在最小正周期，故B正确； 对于C，，则，所以为偶函数，又，所以为偶函数，故C正确； 对于D，取，则为等边三角形，将这个三角形左右平形移动，即只需要三角形的高为，边长为的三角形均可以，所以这样的三角形有无数个，故D正确. 故选：BCD. 17．（24-25高三上·福建漳州·月考）（多选题）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 1 学科网（北京）股份有限公司 $$