精品解析：河北省部分学校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试卷

高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 若不等式恒成立，则正实数整数解的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 7. 已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 的周期为8 C. D. 当时，，则的值为 8. 在平面直角坐标系中，点，与关于原点对称，现以轴为折痕，将轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角， 两点相应变成，两点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则下列结论正确的有（ ） A. 集合的所有真子集个数是3 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为2 D. 若，则的最大值为 10. 的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，，，则的周长为 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若，，，则边上的中线长为 11. 若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 B. 圆锥的体积为 C. 过圆锥的两条母线作截面，则截面面积的最大值为 D. 为底面圆周上一点，为上靠近的三等分点，从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为______. 13. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，，则的极大值为______.若恰有2个整数解，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 某学校为了解入学新生的身高情况，随机抽取了50名新生，测得他们的身高（单位：），并分成以下5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）补全频率分布直方图，并求出样本中学生身高的中位数.（保留小数点后两位） （2）该学校体育教研室为了解身高是否在一定的范围内与参加弹跳运动时长有关，调研得到以下5组数据： 参加弹跳运动时长（单位：年） 1 2 3 4 5 身高（单位：） 158 162 166 170 184 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，试求出关于的回归方程. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 15. 椭圆：的离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等的概念可得. 【详解】由题意得，，解得，所以. 故选：C 2. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一，利用特殊值排除；法二，求导得出在，上单调递增也可. 【详解】解法一：因为函数的定义域为，故排除A； ，，所以，， 故非奇非偶函数，故排除B，D. 解法二： 由题可知， 当或时，，则在，上单调递增，故ABD错误； 故选：C 3. 若不等式恒成立，则正实数整数解的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用分段函数的性质，得到的最小值为，求得，结合为正实数，得到的整数解的个数，得到答案. 【详解】令， 当时，函数单调递减，所以； 当时，函数； 当时，函数单调递增，所以， 综上可得，函数的最小值为， 要使得不等式恒成立，则满足， 因为为正实数，所以，所以的整数解取值为，共有3个. 故选：B. 4. 已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得即可求解. 【详解】因为函数的图象过点，所以， 所以， 将其图象向右平移个单位长度得到的图象， 令，，解得，. 故选：B 5. 现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由互斥加法、独立乘法公式即可求解. 【详解】设双打与第二、第三场单打赢对方分别为事件，，， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件，则，，， ， ， 所以. 故选：D. 6. 已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由导数的几何意义求出点处的切线方程，同理可得处的切线方程，即可求出直线的方程，与联立，求出，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】设，，由，得，所以， 所以在点处的切线方程为，即， 又因为点在上，所以， 所以得到点处的切线方程为，即， 又因为点处的切线过点，故， 所以，同理可得， 所以直线的方程为. 联立整理得，所以，， 所以， 点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 7. 已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 的周期为8 C. D. 当时，，则的值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意推理论证周期性、奇偶性、对称性逐一求解判断各项 【详解】因为，所以的图象关于中心对称，故A正确； 因为为偶函数，所以 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以的一个周期为8，故B正确； ，故C正确； 由，得， 又当时，，所以，即，故D错误. 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，点，与关于原点对称，现以轴为折痕，将轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角， 两点相应变成，两点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的形状，将其绕直线旋转一周得到的旋转体为两个同底面且等高的圆锥组合体，计算该旋转体内切球的半径即可求解. 【详解】由题可知，所以，由翻折的不变性可知，翻折后的图形如图所示， 设点在轴上的投影为，易知平面， 连接，，所以.点在轴上的投影为， 在中，由勾股定理得， 所以在中，易得， 在中，由余弦定理得，， 即，解得，所以. 所以是一个顶角为，腰长为的等腰三角形， 将其绕直线旋转一周得到的旋转体为两个同底面且等高的圆锥组合体， 其轴截面如图所示， 则在该轴截面中和为边长为的等边三角形， 则该旋转体内切球的半径即为菱形内切圆的半径， 由等面积法可得， 即，解得， 因此该旋转体内切球的表面积为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则下列结论正确的有（ ） A. 集合的所有真子集个数是3 B. 若，，则 C. 若，则的最小值为2 D. 若，则的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】列举表示集合后计算可判断A；根据集合间基本关系求解可判断BCD. 【详解】对于A，由题意或，所以集合的所有真子集个数是3，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B错误； 对于C，由题易知，故C正确； 对于D，，由可知，故D错误. 故选：AC 10. 的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，，，则的周长为 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若，，，则边上的中线长为 【答案】AB 【解析】 【分析】由余弦定理得，得到是钝角三角形，可判定A正确；由余弦定理，列出方程，求得，可判定B正确；由余弦定理和基本不等式，求得，得到面积的最大值，可判定C错误；设边上的中线为，则，结合向量的运算法则，求得边上的中线长，可判定D错误. 【详解】对于A中，由余弦定理得，因为，所以为钝角， 所以是钝角三角形，故A正确； 对于B中，由，可得， 解得或（舍去），所以的周长为，所以B正确； 对于C中，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以面积的最大值为，所以C错误； 对于D中，设边上的中线为，则， 两边平方可得，解得，所以D错误. 故选：AB 11. 若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 B. 圆锥的体积为 C. 过圆锥的两条母线作截面，则截面面积的最大值为 D. 为底面圆周上一点，为上靠近的三等分点，从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式和圆的周长公式，可得判定A正确；求得圆锥的高，结合圆锥的体积公式，可判定B正确；根据过这两条母线所作截面面积为，结合过圆锥母线的所有截面中，轴截面三角形对应的最大，且，可判定C错误；由展开图的圆心角为，在中，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，设圆锥侧面展开图的圆心角为，则，所以，所以A正确；对于B中，由圆锥的底面半径为，母线长为，可得圆锥的高， 所以，所以B正确； 对于C中，设圆锥的两条母线的夹角为，则过这两条母线所作截面三角形的面积为， 过圆锥母线的所有截面中，轴截面三角形对应的最大，此时， 所以，所以，所以截面面积的最大值小于，所以C错误； 对于D中，如图所示，将圆锥的侧面展开，由A知，其展开图的圆心角为，即， 在中，因为， 由余弦定理得，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合双曲线定义，求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为，可设，则， 又因为，在中，由余弦定理有， 即，解得， 由双曲线定义得，即，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，为的导函数，且，，则的极大值为______.若恰有2个整数解，则实数的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据求导法则逆向求出，即可根据单调性求出极值，结合单调性可得即可求出. 【详解】由，，可得， 即，故，为常数， 又，解得，故，， 则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值； 由可得，， 因为，且在上单调递减，所以， 所以要使恰有2个整数解，则整数解为2，3， 所以，即，化简得， 故实数的取值范围为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 某学校为了解入学新生的身高情况，随机抽取了50名新生，测得他们的身高（单位：），并分成以下5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）补全频率分布直方图，并求出样本中学生身高的中位数.（保留小数点后两位） （2）该学校体育教研室为了解身高是否在一定的范围内与参加弹跳运动时长有关，调研得到以下5组数据： 参加弹跳运动时长（单位：年） 1 2 3 4 5 身高（单位：） 158 162 166 170 184 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，试求出关于的回归方程. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1）频率分布直方图见解析，165.36 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率和为可求出，利用中位数为分位数可求出频率分布直方图的中位数， （2）利用最小二乘法先求出参数，再利回归方程经过样本中心点，可求出参数，从而可求回归直线方程. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ，解得， 所以补全后的频率分布直方图如图所示， 又因为，， 所以中位数在区间内，设其值为， 所以，解得， 所以样本中学生身高的中位数约为165.36. 【小问2详解】 由题意可知，，， ， ， 根据公式，可求得，则， 所以所求回归直线方程为. 15. 椭圆：的离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 【答案】（1） （2）①1；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率和点的坐标可求出的值，进而可得到椭圆方程. （2）①通过相切可求出点到直线的距离，结合方程根据韦达定理即可求出的值；②首先求出点的坐标，然后求出直线的斜率，进而得到直线的方程，从而可求出定点坐标. 【小问1详解】 由题意可得，且， 又，解得，，，故的方程为. 【小问2详解】 ①由题可得，设直线，的斜率分别为，， 则直线的方程为， 由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离， 整理得，同理， 则，为方程的两个根，所以. ②证明：设，，由得， 则，即，所以， 所以， 同理得， 直线的斜率 ， 所以直线的方程为， 令，得， 所以直线与轴交于定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $