精品解析：四川省白塔中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

白塔中学高2023级高二（下）六月月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. ， D. 2. 已知数列满足，则等于（ ） A 9 B. 10 C. 17 D. 18 3. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 4. 安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A. 240种 B. 120种 C. 600种 D. 360种 5. 一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知离散型随机变量X分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A. B. C. D. 7. 已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设随机事件A，B发生的概率分别为，以下说法正确的有（ ） A. 若A，B为互斥事件，则 B. 若A，B互相独立，则 C. 若，则A，B互相独立 D. 10. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的通项公式为 11. 已知函数，，则下列说法正确是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.14题双空第一个2分，第二个3分） 12. 在的展开式中，的系数为____ 13. 已知随机变量，，则_______. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率________，第次传球后球在丙手里的概率________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设，，已知 （1）求实数的值； （2）求的值； 16. 已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： （1）第一次抽取的题目是选择题的概率； （2）设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望. 17 已知函数． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间内有极值点，求m的取值范围． 18. 已知在正项数列中，为其前项和，且，是与的等差中项． （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）若，为数列的前项和，证明：． 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 白塔中学高2023级高二（下）六月月考数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对函数求导，令导数大于0，结合定义域即可求出函数的单调递增区间. 【详解】因为，. 所以对函数求导得：. 令，则，解得. 又，所以. 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 2. 已知数列满足，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，逐步计算出的值. 【详解】由条件得，，， ，，，. 故选：D. 3. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】由题意得 故选：D. 4. 安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A. 240种 B. 120种 C. 600种 D. 360种 【答案】A 【解析】 【分析】按照排列组合中部分均匀分组方法，分布计算求出结果. 【详解】根据题意，将5项工作分成4组，有一组两项工作，其他三组每组一项工作，再全排列把工作分配给四个人，则有种不同的安排方式. 故选：A． 5. 一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率中的缩小样本空间的方法求解即可. 【详解】设事件“三次中至少有一次正面”，事件“三次中恰好有两次正面”， 依题意，正反反，反正反，反反正，正正反，正反正，反正正，正正正， 正正反，正反正，反正正，则正正反，正反正，反正正， 则三次中恰好有两次正面的概率为. 故选：B. 6. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望、方差公式及性质计算得解. 【详解】依题意，，解得， 由，得，解得， 则，解得， 因此 ， 所以. 故选：D 7. 已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出，接着由指数函数性质研究分析的单调性和最值即可求解. 【详解】由题可设等比数列的公比为， 因为，，所以或， 所以，， 所以为单调递增数列，为单调递减数列， 所以单调递增，故， 故若恒成立，则的最小值为. 故选：D 8. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式构造两个互为反函数的不等关系，再结合反函数性质，必须且只需要， 然后再用分离参变量思想求解即可. 【详解】由，定义域 因为可变形为，所以的反函数为， 则要使得不等式恒成立，则必须且只需要恒成立， 因为，则分离参变量得，即，， 构造，求导得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，所以，又因为，所以， 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 设随机事件A，B发生的概率分别为，以下说法正确的有（ ） A. 若A，B为互斥事件，则 B. 若A，B互相独立，则 C. 若，则A，B互相独立 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由互斥事件加法公式计算可判断A；由独立事件乘法公式计算可判断B；由条件概率公式及相互独立事件概念可判断C；由随机事件加法公式计算可判断D. 【详解】对于A，若A，B为互斥事件，则，故A正确； 对于B，若A，B互相独立，则，故B正确； 对于C，若，则， 因为，所以，故A，B互相独立，故C正确； 对于D，随机事件A，B发生的概率分别为， 所以，故D错误. 故选：ABC 10. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的通项公式为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，结合等比数列的定义，求出通项公式，依次求解判断各个选项. 【详解】由，易知，则，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，即， ，，故A正确，D错误； 又，故C错误. 故选：AB. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合导数讨论单调性即可得；对于B，结合单调性，可转化为当时，能成立，求出的最小值即可得；对于C，由极值点的性质结合导数讨论单调性，求得参数的范围即可判断；对于D，采用同构法可推得，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得. 【详解】对于A，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增. 若存在，使不等式成立， 等价于存在，成立，也即成立， 由A项已得，在上单调递增，则在上单调递增， 故时，，则可得实数的最小值为0，故B正确； 对于C，由可得， 因函数存在两个极值等价于有2个变号零点， 由，可得， 设，则， 则当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增， 故，且当，当， 则有2个变号零点，等价于直线与有两个交点， 即得，也即，故没有最大值，即C错误； 对于D，当时，由A，B项可得为定义域上的增函数， 因，且，则， 由可得，即， 因是上的增函数，故， 又由，故， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，故的最小值为，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.14题双空第一个2分，第二个3分） 12. 在的展开式中，的系数为____ 【答案】 【解析】 【分析】由，求得的展开式的通项，进而求解即可. 【详解】由， 因为的展开式的通项为公式为，， 当时，， 当时，， 所以的展开式中含的项为， 其系数为. 故答案为：. 13. 已知随机变量，，则_______. 【答案】0.7## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，即可求解. 【详解】由题意得， 所以. 故答案为： 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率________，第次传球后球在丙手里的概率________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据已知，应用全概率公式并整理得、，结合、，并应用等比数列的定义写出通项公式，进而求项，即可得. 【详解】由题设，当球在甲手中，则传给甲的概率为0，当球不在甲手中，则传给甲的概率为， 且，，即， 又，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，故， 当球在丙手中，则传给丙的概率为0，当球不在丙手中，则传给丙的概率为， 且，，即， 又，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，易得，则 故答案为：， 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设，，已知 （1）求实数值； （2）求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出项的系数解方程即可得； （2）利用赋值法求出各项系数的和，再利用计算可得结果. 【小问1详解】 根据二项式定理可得， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知， 令得， 再令得， 所以. 16. 已知10道试题中有4道选择题，依次不放回抽取2道题目，求： （1）第一次抽取的题目是选择题的概率； （2）设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）应用古典概型的概率求法求第一次抽取的题目是选择题的概率； （2）由题意可能为，并求出对应概率，即得到分布列，进而求期望. 【小问1详解】 记第i次抽到选择题为，则； 【小问2详解】 可能为，， 分布列如下， 0 1 2 . 17. 已知函数． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间内有极值点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导得到切线斜率，再用点斜式即可求出切线方程； （2）由求导得到，要使函数的在区间内有极值点，则在区间上有解，得到，解得的取值范围即可. 【小问1详解】 时，，则， 切线方程为， 即． 【小问2详解】 由， 则， 要使函数的在区间内有极值点，则在区间上有解， 即在区间上有解， 则解得， 即的取值范围为． 18. 已知在正项数列中，为其前项和，且，是与的等差中项． （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）若，为数列的前项和，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差中项列式，再依次计算即可. （2）由（1）中信息，利用前项和与第项的关系，借助等差数列定义求解. （3）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 依题意，，即，而， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，， 则，整理得， 即，又，因此，而， 则数列是首项为1，公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）得，则， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】（1）在上单调递减，在单调递增； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性；（2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明. 【小问1详解】 当时，，函数的定义域为， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴当时，取得最小值，最小值为. 因为函数有两个零点，且时，，时，，所以. 设，易知函数在单调递增. 因为，所以的解集为. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增. 所以，故原不等式成立. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$