精品解析：天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为（ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 9 2. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A. 160，12 B. 120，12 C. 160，9 D. 120，9 3. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 18.5 4. 复数z满足，则复数z=（ ） A. B. C. D. 5. 设，，若，则（ ） A. B. 0 C. 6 D. 6. 棱长为2的正方体的内切球的体积为（ ） A B. C. D. 7. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且a:b:c=3:5:7试判断该三角形的形状 A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 8. 已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（ ） A 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 9. 如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 10. 庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围为_____． 12. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___ 13. 已知向量，向量，则在上投影向量是__________（注：本题答案用坐标表示） 14. 四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为__________． 15. 如图，正八面体是具有八个面，每个面都是全等的正三角形的立体结构图形，在自然界中，正八面体结构广泛存在于各种矿物、化合物和生物体中，它是一个具有高度对称性的结构，具有独特的物理、化学和生物性质.若正八面体的棱长为1，则其外接球的表面积为________. 16. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 三、解答题 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数∑和方差s． 附：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．记总的样本平均数为ω，样本方差为 18. 在中，a､b､c分别是角A､B､C的对边，且． （1）求角B大小; （2）若，求的面积和周长． 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 20. 如图，在正方体中，分别是中点，. （1）若中点为，求证：平面∥平面； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为（ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】求出全体队员中女队员所占比例，再按等比例抽取样本即可. 【详解】解：因为全体队员中女队员所占比例为，所以样本中女队员应抽取的人数为. 故选：C 2. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A. 160，12 B. 120，12 C. 160，9 D. 120，9 【答案】A 【解析】 【分析】 根据甲图可得样本容量，再根据乙图计算对四居室满意的人数. 【详解】样本的容量， 抽取的户主对四居室满意的人数为， 故选：A. 【点睛】本题考查统计图表的识别，属基础题. 3. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 18.5 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】依题意这个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 又，所以分位数为从小到大排列的第八个数，即为. 故选：C 4. 复数z满足，则复数z=（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模，复数除法运算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以. 故选：C 5. 设，，若，则（ ） A. B. 0 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标运算建立方程，求解参数即可. 【详解】，，且， ，解得，故D正确. 故选：D． 6. 棱长为2的正方体的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体边长求出内切球半径，再结合球的体积公式计算求解. 【详解】棱长为2的正方体的内切球半径为，所以内切球的体积为. 故选：C. 7. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且a:b:c=3:5:7试判断该三角形的形状 A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】解：不妨设△ABC的三边长度为 ，由大角对大边可得最大角的余弦值为： ，即∠C为钝角， △ABC钝角三角形. 本题选择A选项. 8. 已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则或，故A错误； B：若，则或，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，且，则，故D错误. 故选：C 9. 如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解． 【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG． ，F分别是CD，AB的中点， ，， 且，． 为EF与AC所成的角． 又，． 又，，， 为等腰直角三角形， ，即EF与AC所成角为45°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形，属于基础题． 10. 庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形的边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，由柱体和锥体的体积公式，计算可得所求值. 【详解】解：取的中点，连接， 可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 则几何体的体积为. 故选：D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【详解】，故复数对应的点的坐标为，由对应的点在第二象限可得解得，故答案为. 12. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___ 【答案】 【解析】 【分析】 利用弧长公式，即可求得圆锥的母线，利用圆锥表面积公式即可求得结果. 【详解】因为底面圆周长，也即扇形的弧长为， 设圆锥母线长为，则可得，解得. 故可得圆锥的侧面积. 则表面积为 故答案为：. 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，以及圆锥侧面积的求解，属综合基础题. 13. 已知向量，向量，则在上的投影向量是__________（注：本题答案用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得且，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，可得且， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由线面垂直的判定定理以及性质得出平面，从而得出是直线与平面所成角，结合勾股定理以及直角三角形的边角关系，即可得出直线与平面所成角. 【详解】因为平面，底面是正方形，所以 由线面垂直判定定理可得平面，则平面 则是直线与平面所成角 ， 直线与平面的夹角的范围为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求直线与平面的夹角，属于中档题. 15. 如图，正八面体是具有八个面，每个面都是全等的正三角形的立体结构图形，在自然界中，正八面体结构广泛存在于各种矿物、化合物和生物体中，它是一个具有高度对称性的结构，具有独特的物理、化学和生物性质.若正八面体的棱长为1，则其外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出外接球的半径，代入公式即可. 【详解】因为正八面体的每个面都是全等的正三角形，各棱长均为1， 由对称性可知，连接任意相对的两个顶点， 它们都过其外接球的球心，即正八面体的中心, 即相对的两个顶点的距离为外接球的直径， 因为正八面体具有高度对称性,所以,且两两垂直, 所以四边形是正方形, 在中, ， 即外接球的直径为, 所以外接球的半径为， 表面积. 故答案为：. 16. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用带的坐标分别表示向量，求得数量积关于的式子，然后用函数的思想求范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案为： 三、解答题 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数∑和方差s． 附：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．记总的样本平均数为ω，样本方差为 【答案】（1），第75百分位数为84 （2）众数为75，平均数为74 （3）， 【解析】 【分析】（1）先根据面积之和为1计算，再由中位数的计算方法可得； （2）由题意可得众数，平均数的计算方法可得平均数； （3）由平均数和方差的计算方法可得. 【小问1详解】 每组小矩形的面积之和为1， ； 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84； 【小问2详解】 由，样本成绩的众数为75． ，得样本成绩的平均数为74． 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以，总方差为． 18. 在中，a､b､c分别是角A､B､C的对边，且． （1）求角B的大小; （2）若，求的面积和周长． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化角为边可得，再利用余弦定理即可求解； （2）由面积公式即可求出面积，再利用余弦定理得出即可求出周长. 【详解】（1）由余弦定理，得， 将上式代入，整理得， ∴， ∵角B为的内角，∴． （2）在中，， 在中，由余弦定理， 将， 代入得， ∴， ∴， 的周长为． 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式. （1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB， 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面. （2）取AB中点G，连结EG，FG， 因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC， 因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=， 所以四边形为平行四边形，所以EG， 又因为EG平面ABE，平面ABE， 所以平面. （3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=， 所以三棱锥的体积为：==. 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 20. 如图，在正方体中，分别是的中点，. （1）若中点为，求证：平面∥平面； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得∥，∥，再利用线面平行和面面平行的判定理可证得结论； （2）连接，可得，则为二面角的平面角，然后在中求解即可； （3）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 因为为中点，是的中点，所以∥， 又平面平面，所以∥平面， 因为是的中点，为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥， 因为平面平面，所以∥平面， 因为平面，所以平面∥平面. 【小问2详解】 连接， 因为分别是的中点，正方体的棱长为2， 所以， 所以，所以为二面角的平面角， 在中，，所以, 同理可得， 因为，所以为等边三角形， 所以， 所以二面角所成角为， 【小问3详解】 根据题意可得， 所以， ， 设点到面的距离为， 根据等体积法可得， 所以，解得， 所以点到平面的距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$