精品解析：福建省宁德市福鼎市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中八年级质量检测 数学试题 （满分：100分；考试时间：90分钟） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 2025年适逢农历乙巳年（生肖蛇年），春节期间大街小巷随处可见以灵蛇为意象的创意文案．下列年画图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选A． 2. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． 【详解】解：若， ，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项正确，符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的定义，解题关键是依据 “把一个多项式化为几个整式的积的形式” 这一因式分解的本质特征，逐一判断选项． 根据因式分解 “把多项式化为几个整式积的形式” 的定义，逐一分析选项即可． 【详解】A：，是整式乘法运算，不符合题意， B：，等式右边是和的形式，不是整式积的形式，所以不符合题意， C：，因式分解正确，符合题意， D：，等式右边的因式不是整式，所以不符合题意． 故选C． 4. 在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法的步骤，即①假设命题的结论不成立；②从这个结论出发，经过论证，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③证明命题的结论一定成立． 直接利用反证法的第一步分析得出答案即可． 【详解】解：“已知，求证：”时，结论为且反证法第一步应先假设结论不成立 第一步应先假设， 故选：B． 5. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到．当落在上时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形的三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．利用三角形的内角和定理可得的度数，再根据旋转的性质可得，据此可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴． 故选：B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．先根据不等式组求出解集，然后在数轴上准确的表示出来即可． 【详解】解：， 解①得， ∴， 在数轴上表示为： 故选C． 7. 小明每周攒25元零花钱，他已经攒了50元．若继续攒个周就能购买一套价值480元的四大名著珍藏版，下列符合题意的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出不等式． 本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 【详解】小明已经攒了50元，之后每周攒25元，x个月后总金额为元，要购买价值480元的书籍，需满足总金额不小于480元，即：． 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移变换与坐标的变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据对应点之间的变化关系得点平移到点，即横坐标加4，纵坐标加4，即可点的坐标． 【详解】解：线段是由线段经过平移得到的，点的对应点为， ， 点平移到点，即横坐标加4，纵坐标加4， ∵， ∴点的坐标为， 故选D． 9. 如图，在中，，为上一点，连接．已知，为的中线且，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解决本题的关键是根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度，根据等腰三角形的性质求出，再根据求出结果即可． 【详解】解：，， ， 为的中线且， ，， ，， ， ， 是的外角， ， 又， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质． 10. 如图，在中，，，是的角平分线，，相交于点，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外角的定义，作出辅助线，求得是解题的关键．过点E作于点G，根据角平分线定义得到，结合三角形内角和定理和外角的定义，得到，即为等腰直角三角形，由此得到，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：过点E作于点G，如图， 平分平分， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 与的公因式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键． 根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答． 【详解】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为， 故答案为：． 12. 用适当的符号表示下列关系：的3倍与2的和大于是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式．读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．x的3倍即，的3倍与2的和即，然后可得不等式． 【详解】解；的3倍与2的和大于是． 故答案为：． 13. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键． 分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可。 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5， ∵， ∴不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2， ∵， ∴能构成三角形； ∴等腰三角形的周长． 综上所述：等腰三角形的周长为12. 故答案为：12． 14. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H， 由作图痕迹知平分，，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：2． 15. 若，则______． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据已知条件，求出，然后把所求代数式中的拆成的形式，然后先把分解因式，然后再整体代入求值即可． 本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是利用拆项和分解因式的方法，使所求代数式出现的形式． 【详解】， ， ， 故答案为： 16. 已知一次函数，，若无论取何值，始终有，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质． 由题意可知，且在的上方，则，即可求得m的取值范围． 【详解】解：∵无论x取何值，始终有， ∴两条直线平行且在的上方， ∵，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再运用平方差公式解答即可． 本题考查了因式分解，灵活性选择分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】， 将解集表示在数轴上如图： 【解析】 【分析】本题考查了解不等式并在数轴上表示解集. 先去分母、移项、合并同类项、系数化为1，再在数轴上表示即可. 【详解】解：去分母得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 19. 如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 【答案】 证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 【详解】略 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕点旋转得到，则点的坐标是______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转作图、平移作图，点的坐标，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）分别连接，，，相交于点，则将绕点旋转得到，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分别连接，，，相交于点， 则将△绕点旋转得到△， 点的坐标是． 故答案为：． 21. 如图，中，，． （1）求的度数； （2）在边上求作一点，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；圆规仅用一次得3分，圆规使用多次得2分）． 【答案】（1） ∵， ∴； （2） 如图， ∴点D即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由等腰三角形的性质可得． （2）作线段的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘’看作一个整体，就能用公式法分解…”． （1）请用公式法因式分解______； （2）若正方形的面积为，为整数，试说明这个正方形边长为偶数． 【答案】（1）； （2） ∴正方形边长 ∵当为整数时 ∴一定是偶数 ∴一定是偶数． 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可； （2）根据完全平方公式配方，后根据偶数的性质解答即可． 本题考查了完全平方公式的应用，正方形的性质，偶数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 略 23. 2025年央视春晚舞台上，杭州宇树科技研发的16台人形机器人UnitreeH1“福兮”成为焦点．它们身着传统服饰，与新疆艺术学院舞蹈演员共同演绎《秧BOT》节目，以精准的舞步、转手绢及抛接动作展现了科技与艺术的深度融合．这场惊艳世界的机器人舞蹈秀不仅验证了人形机器人高精度运动控制技术的突破，更激发了实体产业对智能机械的想象空间．某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．根据以下素材，探索完成任务： 素材1 型机器人每台80万元，型机器人每台60万元； 素材2 该企业准备购买、两种型号智能机器人共12台； 素材3 型机器人每台每天可分拣快递万件， 型机器人每台每天可分拣快递18万件； 问题解决 任务1 设购买型机器人台，若型机器人数量不超过型机器人数量的2倍，至少购买多少台型机器人？ 任务2 在任务1的条件下，该企业准备用不多于920万元购买这些机器人，则该企业选择哪种购买方案，才能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】任务一：4；任务二：当时，无论如何购买每天分拣快递的件数都是216万件，当时，选择购买A型智能机器人10台，购买B型智能机器人2台，使每天分拣快递的件数最多；当时，选择购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，使每天分拣快递的件数最多． 【解析】 【分析】题目主要考查不等式及一次函数的实际应用，理解题意，列出不等式及函数解析式进行分情况分析是解题关键． 任务一：根据题意列出不等式求解即可； 任务二：根据题意列出不等式得出，设每天分拣快递的件数为w，确定一次函数解析式，然后分情况根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）依题意可列： 解得： ∵x为正整数 ∴x最小值为4； ∴至少购买4台型机器人 （2）由题意可得： 解得： 由（1）可知 ∴ 设每天分拣快递的件数为w， 则， 当时， 当时，w随x的增大而增大 ∴时，w最大 当时，w随x的增大而减小 ∴时，w最大 答：当时，无论如何购买每天分拣快递的件数都是216万件，当时，选择购买A型智能机器人10台，购买B型智能机器人2台，使每天分拣快递的件数最多； 当时，选择购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，使每天分拣快递的件数最多． 24. 如图，在中，，，点是边上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，当时，的值是______； （2）求证：； （3）如图2，若点在边上，且，连接，探究：当点在上时，线段，与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） ∵，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴ 如图，过点E作于点F， ∴， ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴； （3）， 连接交于点M，设， ∵，， ∴即， 由勾股定理得 ∵ ∴， ∴ ∴ 即， 又 ∴垂直平分 令交于点M， ∴ 由（2）可知 ∴ 在中， ∴ 即 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形得，得出，则可得出结论； （2）过点E作于点F，证明，得出，则可得出结论； （3）连接，设，得出垂直平分，令交于点M，则，由（2）可知，得出，则可得出结论． 【小问1详解】 由旋转性质可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中八年级质量检测 数学试题 （满分：100分；考试时间：90分钟） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 2025年适逢农历乙巳年（生肖蛇年），春节期间大街小巷随处可见以灵蛇为意象的创意文案．下列年画图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到．当落在上时，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小明每周攒25元零花钱，他已经攒了50元．若继续攒个周就能购买一套价值480元的四大名著珍藏版，下列符合题意的不等式是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，为上一点，连接．已知，为的中线且，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是的角平分线，，相交于点，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 与的公因式是______． 12. 用适当的符号表示下列关系：的3倍与2的和大于是______． 13. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 14. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为________． 15. 若，则______． 16. 已知一次函数，，若无论取何值，始终有，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17. 因式分解：． 18. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 19. 如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕点旋转得到，则点的坐标是______． 21. 如图，中，，． （1）求的度数； （2）在边上求作一点，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；圆规仅用一次得3分，圆规使用多次得2分）． 22. 李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘’看作一个整体，就能用公式法分解…”． （1）请用公式法因式分解______； （2）若正方形的面积为，为整数，试说明这个正方形边长为偶数． 23. 2025年央视春晚舞台上，杭州宇树科技研发的16台人形机器人UnitreeH1“福兮”成为焦点．它们身着传统服饰，与新疆艺术学院舞蹈演员共同演绎《秧BOT》节目，以精准的舞步、转手绢及抛接动作展现了科技与艺术的深度融合．这场惊艳世界的机器人舞蹈秀不仅验证了人形机器人高精度运动控制技术的突破，更激发了实体产业对智能机械的想象空间．某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．根据以下素材，探索完成任务： 素材1 型机器人每台80万元，型机器人每台60万元； 素材2 该企业准备购买、两种型号智能机器人共12台； 素材3 型机器人每台每天可分拣快递万件， 型机器人每台每天可分拣快递18万件； 问题解决 任务1 设购买型机器人台，若型机器人数量不超过型机器人数量的2倍，至少购买多少台型机器人？ 任务2 在任务1的条件下，该企业准备用不多于920万元购买这些机器人，则该企业选择哪种购买方案，才能使每天分拣快递的件数最多？ 24. 如图，在中，，，点是边上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，当时，的值是______； （2）求证：； （3）如图2，若点在边上，且，连接，探究：当点在上时，线段，与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $