精品解析：福建省福州市福清市2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024－2025学年第二学期七年级校内期中质量检测 数学试卷 （全卷共6页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 图中∠1与∠2互为邻补角的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各数中，为无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，已知，则的外长为（ ） A. B. C. D. 4. 的平方根为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 下列各组数值中，哪个是方程的解（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. a、b、c是同一平面内的三条直线，下列说法不正确的是（ ） A. 若a⊥b，b//c，则a⊥c B. 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C. 若a//b，b⊥c，则a⊥c D. 若a//b，b//c，则a//c 9. 已知方程组中，，互为相反数，则的值是（ ） A. 4 B. C. 0 D. 8 10. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（ ） A. 1 B. 1.3 C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知是方程的一个解，那么__________． 12. 比较大小：_________3（填“＞”、“＜”或“=”）． 13. 命题“如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补．”是______命题（填“真”或“假”）． 14. 已知，，则________． 15. 一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为__________． 16. 关于的二元一次方程（是常数），，，对于任意一个满足条件的，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为__________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程组： 19. 把下面的证明过程补充完整： 如图，已知，，，求证：． 证明：（已知）， （①______________）． （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）． （②______）（同位角相等，两直线平行）． （③______________）． 又（已知）， ． ．（④______________）． 20. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点、、均在格点上，连接，利用网格画图． （1）平移线段，使点移动到点，画出平移后的线段，使得点在格点上． （2）过点画的垂线，垂足为． （3）补全图形：连接，，在线段，，中，线段_____最短，理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，____________最短． （4）三角形的面积是_______．（直接写出答案） 21. 定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 22. 已知射线HD与直线BF交于点O，OC平分∠BOD，OE⊥OC于O，AH∥OC，且∠H＝30°． （1）求∠FOC的度数． （2）试说明OF平分∠HOE． 23. 如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． （1）那么点对应的数是__________； （2）从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，解决下列问题： ①如图2，数轴上表示、2的对应点为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．求的值． ②若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由． 24. 根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材1 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某镇新开一家快递站，总店抽调一些熟练工到快递站，但是人手还是不足，决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行送件和揽件． 素材2 调研部门发现：熟练工每天的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；新工人每天的送件数和揽件数分别为88件和24件，报酬为180元． 问题解决 任务一：分析数量关系 （1）熟练工和新工人每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，则快递员每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 任务二：确定可行方案 （2）如果快递站招聘名新工人，使得招聘的名新工人和抽调的名熟练工刚好能完成一天的送件和揽件任务，且快递站每天支付给熟练工和新工人的总工资为2520元．那么快递站有哪几种新工人的招聘方案？ 任务三：选取最优方案 （3）在上述方案中，为了达到一天所有快递员的送件数和揽件数之和总数最多，应该招聘新工人____名．（直接写出答案） 25. 课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程 解：过点A作， ∴， ． ∵， ∴． 解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能． 在此问中，是三角形的三个内角，通过（1）的证明，我们可以得到结论： ．（此结论可用于第（2）（3）题解决问题） （2）如图2，三角形中，过点A作直线，若和的平分线交于点F． ①则的度数为 ．（直接写出答案） ②过点C作，垂足为点G，连接，若，求证：B，F，G三点共线． （3）如图3，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期七年级校内期中质量检测 数学试卷 （全卷共6页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 图中∠1与∠2互为邻补角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用邻补角定义进行解答即可． 【详解】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意； B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意； C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意； D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 2. 下列各数中，为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数或不能表示为两个整数之比的数为无理数，逐一分析各选项即可判断． 【详解】解：A、，结果为整数，属于有理数，故不符合题意； B、分数形式，分子分母均为整数，属于有理数，故不符合题意； C、，结果为整数，属于有理数，故不符合题意； D、无法化简为整数或分数，且是无限不循环小数，属于无理数，故符合题意； 故选：D． 3. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，已知，则的外长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的定义和性质是解题的关键．根据平移的性质可得，再利用计算即可． 【详解】解：∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 的平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，熟知平方根的定义是解题的关键． 5. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行、同旁内角互补求得的度数，然后再根据对顶角的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质等知识点，运用平行线的性质求得是解答本题的关键． 6. 下列各组数值中，哪个是方程的解（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将四个选项分别代入原方程，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解． 【详解】解：将代入原方程，左边右边， 选项不符合题意； 将代入原方程，左边右边， 选项符合题意； 将代入原方程，左边右边， 选项不符合题意； 将代入原方程，左边右边， 选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解．正确利用二元一次方程的解的意义是解题的关键． 7. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、， ，故本选项符合题意； B、， ，不能判断，故本选项不符合题意； C、， ，不能判断，故本选项不符合题意； D、， ，不能判断，故本选项不符合题意． 8. a、b、c是同一平面内的三条直线，下列说法不正确的是（ ） A. 若a⊥b，b//c，则a⊥c B. 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C. 若a//b，b⊥c，则a⊥c D. 若a//b，b//c，则a//c 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定及性质及垂直的性质逐项进行分析即可解答． 【详解】解：A．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意． B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，本选项错误，符合题意， C．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意． D．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，本选项正确，不合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行公理的推论、平行线的判定定理与性质定理及垂直的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键． 9. 已知方程组中，，互为相反数，则的值是（ ） A. 4 B. C. 0 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据与互为相反数得到，即，代入方程组即可求出的值． 【详解】解：因为，互为相反数， 所以， 即， 代入方程组得：， 解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，也考查了代入消元法解二元一次方程组以及相反数的意义． 10. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，则正方形的边长可能是（ ） A. 1 B. 1.3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据正方形的面积公式求得大正方形和小正方形的边长，即可确定正方形的边长的取值范围，据此判断即可． 【详解】解：由正方形的面积公式得：大正方形的边长为，小正方形的边长为1， ∴正方形的边长x的取值范围是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形B的边长可以是． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知是方程的一个解，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的应用，把代入方程得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程得出方程， 解得：， 故答案为：． 12. 比较大小：_________3（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】先得到的取值范围，再根据实数大小比较的方法进行比较即可求解． 【详解】∵=2 ∴2＜=2＜3 ∴＞3 故答案为＞． 【点睛】考查了实数大小的比较，关键是得到的取值范围． 13. 命题“如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补．”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】举反例证明，画出两条直线AB和CD和截线EF，EF与AB、CD交点为G、H，测量∠CGH与∠AHG的度数，计算出∠CGH与∠AHG的度数和不等于180°． 【详解】如图，直线AB，CD被直线EF所截，交点分别为G、H， 测得∠CGH=121°，∠AHG=67°， 则∠CGH+∠AHG=188°≠180°， ∴原命题是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题主要考查了判断假命题，解决问题的关键是熟练掌握同旁内角的定义，用举反例的方法证明假命题 ． 14. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 15. 一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂线的定义及平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；过点B作，由题意易得，，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 关于的二元一次方程（是常数），，，对于任意一个满足条件的，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 先将，代入，化简得到，则得到，再解方程组即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴ ∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解 ∴ ∴公共解为， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用立方根和算术平方根进行计算即可； （2）利用二次根式的乘法和加减法进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由①，得③， 把③代入②，得：， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解为． 19. 把下面的证明过程补充完整： 如图，已知，，，求证：． 证明：（已知）， （①______________）． （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）． （②______）（同位角相等，两直线平行）． （③______________）． 又（已知）， ． ．（④______________）． 【答案】 证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知）， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知）， ． ．（垂直的定义） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 由已知条件可得出，由平行线的性质可得出，由已知条件等量代换可得出，进而得出，再由平行线的性质可得出， 进一步即可得出． 【详解】略 20. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点、、均在格点上，连接，利用网格画图． （1）平移线段，使点移动到点，画出平移后的线段，使得点在格点上． （2）过点画的垂线，垂足为． （3）补全图形：连接，，在线段，，中，线段_____最短，理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，____________最短． （4）三角形的面积是_______．（直接写出答案） 【答案】（1）解：如图，线段即为所求． （2） 解：如图，直线即为所求． （3）；垂线段 （4） 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换，垂线，垂线段的性质，格点图中的三角形面积，熟练掌握平移的作图，垂线作图、垂线段最短是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据垂线的定义画图即可； （3）结合垂线段最短可得答案； （4）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图所示， 在线段，，中，线段最短， 理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：；垂线段； 【小问4详解】 解：三角形的面积为， 故答案为：． 21. 定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． （2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： 【小问2详解】 解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 22. 已知射线HD与直线BF交于点O，OC平分∠BOD，OE⊥OC于O，AH∥OC，且∠H＝30°． （1）求∠FOC的度数． （2）试说明OF平分∠HOE． 【答案】（1）∠FOC＝150° （2） 证明：∵OE⊥OC， ∴∠COE＝90°， ∵∠FOC＝150°， ∴∠EOF＝60°， ∵∠HOF＝∠BOD＝60°， ∴∠HOF＝∠EOF ∴OF平分∠HOE． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得∠COD＝∠H＝30°，利用角平分线的定义得∠COD＝∠BOC＝30°，利用邻补角计算求解即可； （2）根据垂直的定义得∠COE＝90°，可得∠EOF＝60°，∠HOF＝60°，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵AH∥OC， ∴∠COD＝∠H＝30°， ∵OC平分∠BOD， ∴∠COD＝∠BOC＝30°， ∴∠FOC＝180°﹣30°＝150°； ∴∠FOC为150°． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义与计算，对顶角等知识．解题的关键在于明确角度的数量关系． 23. 如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． （1）那么点对应的数是__________； （2）从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，解决下列问题： ①如图2，数轴上表示、2的对应点为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．求的值． ②若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） ①7；②不能，理由如下． 假设能裁出长方形，使它的长和宽之比为，设长为，宽为， 则 正方形的面积为 正方形的边长为． 因此，假设不成立， 不能裁出长方形，使它的长和宽之比为. 【解析】 【分析】本题主要考查数轴与实数的关系，数轴上两点之间的距离，熟练掌握平方根的运算及比较大小以及实数与数轴上点的关系是解决本题的关键． （1）利用圆的周长公式计算出圆的周长即可； （2）①由题意得到，设点C所表示的数为，则再代入求值即可； ②根据长方形的面积以及长与宽的比求出长与宽，再判断长是否小于正方形边长即可判断． 【小问1详解】 解：圆的周长为：， ， ∵是原点， 点对应的数是， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：∵数轴上表示、2的对应点为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等 ∴ 设点C所表示的数为，则 ； ②略 24. 根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材1 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某镇新开一家快递站，总店抽调一些熟练工到快递站，但是人手还是不足，决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行送件和揽件． 素材2 调研部门发现：熟练工每天的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；新工人每天的送件数和揽件数分别为88件和24件，报酬为180元． 问题解决 任务一：分析数量关系 （1）熟练工和新工人每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，则快递员每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 任务二：确定可行方案 （2）如果快递站招聘名新工人，使得招聘的名新工人和抽调的名熟练工刚好能完成一天的送件和揽件任务，且快递站每天支付给熟练工和新工人的总工资为2520元．那么快递站有哪几种新工人的招聘方案？ 任务三：选取最优方案 （3）在上述方案中，为了达到一天所有快递员的送件数和揽件数之和总数最多，应该招聘新工人____名．（直接写出答案） 【答案】任务一：快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元；任务二：有4种工人的招聘方案：①抽调熟练工2名，招聘新工人11名；②抽调熟练工4名，招聘新工人8名；③抽调熟练工6名，招聘新工人5名；④抽调熟练工8名，招聘新工人2名；任务三：11 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解、有理数的四则混合运算的应用，根据题意正确列出方程和方程是关键． 任务一：设快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元，熟练工每天的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；新工人每天的送件数和揽件数分别为88件和24件，报酬为180元．据此列出方程组并解方程组即可； 任务二：根据快递站每天支付给熟练工和新工人的总工资为2520元列出一元二次方程，求出方程的整数解即可； 任务三：分别求出每种方案的送件数和揽件数之和即可得到答案． 【详解】任务一：解：设快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元， 解得 答：快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元； 任务二：根据题意可得，， ∴， ∵为正整数， ∴，，，， ∴快递站有4种招聘新工人的招聘方案， 方案①：抽调熟练工2名，招聘新工人11名； 方案②：抽调熟练工4名，招聘新工人8名； 方案③：抽调熟练工6名，招聘新工人5名； 方案④：抽调熟练工8名，招聘新工人2名； 任务三：选择方案①一天所有快递员的送件数和揽件数之和为（件）； 选择方案②一天所有快递员的送件数和揽件数之和为 （件）； 选择方案③一天所有快递员的送件数和揽件数之和为 （件）； 选择方案④一天所有快递员的送件数和揽件数之和为 （件）； ∵， ∴在上述方案中，为了达到一天所有快递员的送件数和揽件数之和总数最多，应该招聘新工人11名． 故答案为：11 25. 课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程 解：过点A作， ∴， ． ∵， ∴． 解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能． 在此问中，是三角形的三个内角，通过（1）的证明，我们可以得到结论： ．（此结论可用于第（2）（3）题解决问题） （2）如图2，三角形中，过点A作直线，若和的平分线交于点F． ①则的度数为 ．（直接写出答案） ②过点C作，垂足为点G，连接，若，求证：B，F，G三点共线． （3）如图3，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（或三角形的内角和等于） （2）①； ②证明：∵， ， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴B，F，G三点共线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质解答即可； （2）①根据平行线的性质可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据（1）中结论解答即可；②根据垂直的定义可得，再结合角平分线的定义，可得，然后（1）中结论，可得，即可求证； （3）设，过点Q作，可得，从而得到，从而得到，过点P作，可得，再结合角平分线的定义，以及（1）中结论，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作， ∴，． ∵， ∴． 是三角形的三个内角，通过（1）的证明，我们可以得到结论：（或三角形的内角和等于） 故答案为：；（或三角形的内角和等于）； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵分别平分，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②略 【小问3详解】 解：设， 过点Q作， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $