精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区 2023-2024学年八年级下学期5月期中数学试题

2023—2024学年度八年级数学第二学期教学效果反馈测试 满分：100分 时间：90分钟 一、选择题（本大题共8小题，1-6题每小题2分；7、8题每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题中，是真命题的个数有（ ） ①如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；②全等三角形的对应角相等；③对顶角相等；④平行四边形的对角线互相平分 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 2002年8月在北京召开的国际数学大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：如果大正方形的面积是7，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过O点的射线分别交，AC于点E，F，且，，交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的4倍；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共8小题，9-14题每小题2分；15、16题每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9. 若使代数式有意义，则x的取值范围是___________． 10. 已知在中，比大，那么的度数是______． 11. 有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板，剩余木板的面积为______． 12. 如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则______． 13. 如图，菱形的周长为8，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为_______． 14. 如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，已知，，则的面积为______． 15. 如图，将一个边长分别为 8，16 的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是___________． 16. 已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为，则另一条对角线的长为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共64分。解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． （3）； （4）已知，，求的值． 18. 如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． （1）在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形； （2）在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，，并计算该三角形的面积． 20. （1）已知，求代数式的值； （2）先化简，再求值：已知．求代数式的值． 21. 2023年呼和浩特努力创造“宜居，宜业，宜学，宜养，宜游”的“五宜城市”．在大黑河，千亩花海成为网红打卡地．某校八年级数学活动小组周末去打卡大黑河花海，如图，四边形为同学们看到的花海区域，为了计算这片花海的面积，该小组进行了实地测量，他们发现如下结果： ①该四边形区域每个顶点都有一棵小树，他们统计了各顶点之间小树的数量，A、B两点间有9棵，A、D两点间有9棵，B、C两点间有7棵，C、D两点间有5棵（已知该区域的四条边中，每相邻跨河大桥的两棵树之间距离相等，都为2米）； ②跨河大桥与大黑河之间的夹角为． 根据以上信息，请你帮他们计算该区域的面积为多少？ 22. 如图，四边形中，点E、F、G、H分别为的中点， （1）求证：中点四边形是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形内一点，且满足，点E、F、G、H分别为的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 23. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度八年级数学第二学期教学效果反馈测试 满分：100分 时间：90分钟 一、选择题（本大题共8小题，1-6题每小题2分；7、8题每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）最简二次根式分母中不含有根号判断即可．． 【详解】解：A、的被开方数是小数，不是最简二次根式，故该项不符合题意； B、的被开方数是分数，不是最简二次根式，故该项不符合题意； C、是最简二次根式，故该项符合题意； D、是整数，不是最简二次根式，故该项不符合题意； 故选：C． 2. 中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、C；如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、D． 【详解】解：A、∵，， ∴，，， ∴不是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵，且， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴设，，，且， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，二次根式的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算. 把各项的值分别计算出来，即可作出判断. 【详解】解：A.原式不能合并，不符合题意； B. ，计算正确，符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，原式错误，不符合题意． 故选B. 5. 下列命题的逆命题中，是真命题的个数有（ ） ①如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；②全等三角形的对应角相等；③对顶角相等；④平行四边形的对角线互相平分 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查逆命题与真假命题的判断，正确写出逆命题，并进行判断是否为真命题是解题的关键．写出各个命题的逆命题，再进行判断是否是真命题． 【详解】解：①的逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等．这是假命题． ②的逆命题：对应角相等的三角形全等．这是假命题． ③的逆命题：相等的角是对顶角．这是假命题． ④的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形．这是真命题． 所以各命题的逆命题是真命题的共有1个． 故选：B． 6. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】解：由题可得： ， ， ， 解得：， 故选：D． 7. 2002年8月在北京召开的国际数学大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：如果大正方形的面积是7，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及完全平方公式．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图，大正方形的面积是， ， ， 直角三角形的面积是， ∴直角三角形的面积是， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过O点的射线分别交，AC于点E，F，且，，交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的4倍；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等，，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求出全等三角形为：，，，；根据，则；四边形的面积；根据，则，得，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点O为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 同理：， ∴， ∴全等三角形有4对， ∴①不正确； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； ∴②正确； ∵， ∴四边形的面积， ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④正确． ∴正确的选项为：②③④，共3个． 故选：D 二、填空题（本大题共8小题，9-14题每小题2分；15、16题每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9. 若使代数式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出x的取值范围． 【详解】解：使代数式有意义，则2-x≥0，且x≠0， 解得：且x≠0． 故答案为：且． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键． 10. 已知在中，比大，那么的度数是______． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等，邻角之和为，即可求出该平行四边形各个内角的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 又， ，， ． 故答案为：． 11. 有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板，剩余木板的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简和运算是解题的关键． 先求出正方形的边长，即可求出剩余木板的面积． 【详解】解：由题意得两个正方形的边长为，， ∴剩余木板的面积为， 故答案为：15． 12. 如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其应用，根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到，，计算即可． 【详解】解：连接，如图， 由题意得，， ， ， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 13. 如图，菱形的周长为8，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称、最短路线问题、菱形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，确定点的位置是解答本题的关键．找出点关于的对称点，连接交于，此时最小，且就是的最小值，求出即可． 【详解】解：连接交于，连接，， 四边形是菱形， 线段、互相垂直平分， 、关于对称，则， ， 即就是的最小值． ，， 是等边三角形， ， ． 在中，， ， 的最小值为． 故选：B． 14. 如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，已知，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，证得是等腰直角三角形是解题的关键．根据已知条件得，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，于是求得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ， ， 故答案为：． 15. 如图，将一个边长分别为 8，16 的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，得到EC=AE，∠AEF=∠CEF，推出AE=AF=CE，勾股定理求出AE，得到BE，作EG⊥AF于点G，根据勾股定理求出EF． 【详解】解：根据折叠的性质知，EC=AE，∠AEF=∠CEF， ∵AD∥BC， ∴∠AFE=∠CEF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF=CE， 由勾股定理得，AB2+BE2=AE2即82+（16-AE）2=AE2， 解得，AE=AF=10，BE=6， 作EG⊥AF于点G， 则四边形AGEB是矩形，有AG=6，GF=4，GE=AB=8，由勾股定理得EF=4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了矩形与翻折，勾股定理，等角对等边证明边相等，熟记翻折的性质是解题的关键． 16. 已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为，则另一条对角线的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质，分两种情形①平行四边形是正方形，②这个平行四边形的四个角分别为45°，135°，45°，135°．分别求解即可． 【详解】解：①当平行四边形是正方形时，如图， ∵一条对角线的长为， ∴另一条对角线长为：． ②当这个平行四边形的四个角分别为45°，135°，45°，135°．如图， ∵ ∴ 过点作交的延长线于点， ∴ ∴， ∴, ∴． 综上，另一条对角线长为或． 故答案为：或 三、解答题（本大题共7小题，共64分。解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． （3）； （4）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）22 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并即可求解； （3）先化简再合并同类二次根式即可求解； （4）利用完全平方公式变式，再整体带入即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 18. 如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】 （1）证明：∵DE∥AC,CE∥BD ∴DE∥OC,CE∥OD ∴四边形ODEC是平行四边形 ∵四边形ODEC是矩形 ∴OD=OC ∴四边形ODEC是菱形 ∴OE⊥DC （2）4 【解析】 【分析】(1)要证OE⊥DC，可先证四边形OCED是菱形．由DE∥AC，CE∥BD，可得四边形OCED是平行四边形；又因为ABCD是矩形，所以OC=OD．有一组邻边相等的平行四边形是菱形． (2)由(1)得出△ODC是等边三角形,所以DC=OD=OC=2,由四边形ABCD是矩形,得到AC=2CO=4,在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2，再利用矩形面积公式即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：∵DE=2,由（1）知，四边形ODEC是菱形 ∴OD=OC=DE=2 ∵∠AOD=120° ∴∠DOC=60° ∴△ODC是等边三角形 ∴DC=OD=OC=2 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=2CO=4 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2 ∴S矩形ABCD=2×2=4． 【点睛】此题主要考查菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，综合利用了矩形和菱形的性质．还考查了等边三角形的判定和性质. 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． （1）在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形； （2）在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，，并计算该三角形的面积． 【答案】（1） 如下图即为所求： （2） 如下图即为所求 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，解题的关键是能够利用勾股定理求出网格中线段的长度． （1）利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形；　 （2）利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形． 【小问1详解】 解：面积为13的正方形的边长为， ∵， ∴如图所示的四边形即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴如图所示的三角形即为所求； ∴． 20. （1）已知，求代数式的值； （2）先化简，再求值：已知．求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及二次根式的计算，分式的化简求值，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键． （1）根据已知和二次根式的性质求出、的值，把、的值代入计算即可； （2）先把所给式子进行化简，再把的值代入化简结果中求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，则 ∴； （2） ， ∵， ∴， ∴ 当时， 原式． 21. 2023年呼和浩特努力创造“宜居，宜业，宜学，宜养，宜游”的“五宜城市”．在大黑河，千亩花海成为网红打卡地．某校八年级数学活动小组周末去打卡大黑河花海，如图，四边形为同学们看到的花海区域，为了计算这片花海的面积，该小组进行了实地测量，他们发现如下结果： ①该四边形区域每个顶点都有一棵小树，他们统计了各顶点之间小树的数量，A、B两点间有9棵，A、D两点间有9棵，B、C两点间有7棵，C、D两点间有5棵（已知该区域的四条边中，每相邻跨河大桥的两棵树之间距离相等，都为2米）； ②跨河大桥与大黑河之间的夹角为． 根据以上信息，请你帮他们计算该区域的面积为多少？ 【答案】该区域面积为平方米 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用，先证明为等边三角形，米，得出为直角三角形，过D作于E，求出米，进而求出面积． 【详解】解：连接， 由题意得：米，米，米， ， ∵，， ∴为等边三角形， ∴米， 在中， ， 即， ∴为直角三角形， ∴平方米， 过D作于E， 中，米，米， ∴米， ∴平方米， ∴该区域面积为（平方米）． 22. 如图，四边形中，点E、F、G、H分别为的中点， （1）求证：中点四边形是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形内一点，且满足，点E、F、G、H分别为的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：如图1中，连接， ∵点E、H分别为边的中点， ∴, ∵点F、G、分别为的中点， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形； （2） 解：四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G分别为边的中点， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，据此可得，即可得证； （2）连接，证得，由知，结合四边形是平行四边形即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，学会添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． （1）求证：； （2）求证：； （3）过A作于P点，连接，求的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $