精品解析：广西钦州市浦北县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年春季学期期中学业质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将答题卡交回． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列选项中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组线段长为边长，组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. ，， C. 3，4，5 D. 4，5，6 4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是一个正整数，是整数，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 8. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 9. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D. 两直线平行，同位角相等 10. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形的边长为6，点是对角线上一点，且，则的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 12. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 矩形有______条对称轴． 14. 化简：_______（其中，）． 15. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6，8，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 16. 如图，在中对角线与边垂直，边的垂直平分线分别交、于点E、F．若，，则________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港． （1）求，两港之间的距离； （2）确定港在港的什么方向． 19. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 20. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 21. 如图，平行四边形ABCD中，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E． （1）求证：四边形BDEC是菱形； （2）连接BE，若AB＝3，AD＝5，则BE的长为　 　． 22. 先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有．例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：     ； （2）填空：     ； （3）化简：． 23. 综合与实践：在数学活动课上，老师带领同学们以“矩形的折叠”为主题展开综合与实践活动． （1）如图1，老师的操作如下： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上，记作点M，并使折痕经过点B，得到折痕．把纸片展平，连接．则 度． （2）“先锋”小组将矩形纸片剪成正方形纸片后继续探究，过程如下： 操作三：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，则与的数量关系是 ． 操作四：如图3，改变折痕的位置（点P不与点A、D重合），使点M位于EF的下方，则“操作三”中与的数量关系还成立吗？请说明理由． （3）“启思”小组继续思考，经过讨论，提出如下问题：如图3，当正方形纸片的边长为10，时，求AP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期期中学业质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将答题卡交回． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列选项中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断，正确掌握二次根式的定义和化简是解题关键． 根据最简二次根式的定义：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即可得出答案 ． 【详解】解：、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、是最简二次根式，故此选项符合题意； 、不是二次根式，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质求解即可，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴， 故选：B． 3. 以下列各组线段长为边长，组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. ，， C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可判断． 【详解】解：A．边长为1，1，，最大边为，验证 ，即 ，成立，故是直角三角形，故此选项不符合题意； B．边长为1，，，最大边为，验证 ，即 ，成立，故是直角三角形，故此选项不符合题意； C．边长为3，4，5． 最大边为5，验证 ，即 ，成立，故是直角三角形，故此选项不符合题意； D．边长为4，5，6，最大边为6，验证 ，即 ，不成立，故不是直角三角形，故此选项符合题意；． 故选：D． 4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数是解题的关键．利用二次根式有意义的条件得，求解即可． 【分析】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可． 【详解】解：A、只有正方形和矩形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意； B、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，符合题意； C、只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意； D、只有菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质，解决本题的关键是结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质进行分析． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原式各项化简得到结果，即可做出判断． 【详解】A、原式，正确； B、原式，错误； C、为最简结果，不能合并，错误； D、原式，错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 7. 已知是一个正整数，是整数，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”． 首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整数的平方的数) 又是一个正整数， ∴n的最小值是3． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可求点到原点的距离． 【详解】解：点到原点的距离是． 故选：C 9. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查逆命题的真假性，解题的关键是根据原命题写出逆命题． 分别写出各命题的逆命题，分析判断其是否成立即可． 【详解】解：、原命题：如果两个角是直角，那么它们相等， 逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角， 反例：两个的角相等，但不是直角， ∴逆命题不成立， ∴选项不符合题意， 、原命题：全等三角形的对应角相等， 逆命题：对应角相等的三角形全等， 反例：相似三角形对应角相等，但不全等， ∴逆命题不成立， ∴选项不符合题意， 、原命题：如果两个实数相等，那么它们的平方相等， 逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等， 反例：和的平方相等，但， ∴逆命题不成立， ∴选项不符合题意， 、原命题：两直线平行，同位角相等， 逆命题：同位角相等，两直线平行， 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行， ∴逆命题成立， ∴选项符合题意， 故选：． 10. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，当笔斜放时，运用勾股定理可得的最大值，当笔竖立时可得最小值，由此即可求解． 【详解】解：当笔竖立时，； 当笔斜放时，， ∴， 故选：A ． 11. 如图，正方形的边长为6，点是对角线上一点，且，则的长度为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，连接交于点，由正方形的性质结合勾股定理得出，，由得出，最后再由勾股定理计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点， 正方形的边长为6， ， 对角线、交于点， ，， ， ， ， ， 故选：D． 12. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC=5， ∵∠AFB=90°，D是AB 的中点， ∴DF=AB=3， ∴EF=DE﹣DF=2． 故选B 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 矩形有______条对称轴． 【答案】2 【解析】 【详解】本题考查了轴对称的相关知识，解题的关键是确定轴对称图形的对称轴条数． 【注意】解：如图， 矩形有2条对称轴， 故答案为：2． 14. 化简：_______（其中，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6，8，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边，设斜边上的高为h，根据同一三角形面积一定，列方程求出这个直角三角形斜边上的高． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为6，8， 斜边为， 设斜边上的高为h， 则直角三角形的面积为，解得， 故答案为：； 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是求出斜边，利用等积法求高． 16. 如图，在中对角线与边垂直，边的垂直平分线分别交、于点E、F．若，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质是解题的关键． 由，可得，由勾股定理得，由垂直平分线的性质可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由垂直平分线的性质可得，， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再计算括号内的二次根式减法，最后计算二次根式除法即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港． （1）求，两港之间的距离； （2）确定港在港的什么方向． 【答案】（1） （2）港在港北偏东的方向上 【解析】 【分析】（1）根据题意结合方位角的描述可得，据此利用勾股定理求出即可； （2）根据由（1）知，为等腰直角三角形，则，据此可得，即可确定港所在的方向． 【小问1详解】 解：由题意，得，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，两港之间的距离为； 【小问2详解】 由（1）知，为等腰直角三角形， ∴， ∴港相对港的方位角角度为：， 故港在港北偏东的方向上． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，与方向角有关的计算，等腰直角三角形的性质与判定．掌握勾股定理是解题的关键． 19. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及平方差公式应用，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先求出，，然后将变形，再整体代入求值即可； （2）先将变形，然后再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 20. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 21. 如图，平行四边形ABCD中，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E． （1）求证：四边形BDEC是菱形； （2）连接BE，若AB＝3，AD＝5，则BE的长为　 　． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD， ∵AD=BD， ∴BD=BC， ∵CE∥BD，DE∥BC， ∴四边形BDEC是平行四边形， 又∵BD=BC， ∴四边形BDEC是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC=BD，由两组对边平行的四边形是平行四边形，可证四边形BDEC是平行四边形，根据菱形的判定方法即可得结论； （2）连接BE交CD于O，由菱形的性质可得DO=CO=CD=，BO=BE，CD⊥BE，由勾股定理可求BO的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，连接BE交CD于O， ∵四边形BDEC是菱形， ∴DO=CO=CD=AB =，BO=BE，CD⊥BE， 在Rt△BDO中，AD=BD=5，DO=， ∴BO= = =， ∴BE=2BO=． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，灵活运用这些知识进行推理是本题的关键． 22. 先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有．例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：     ； （2）填空：     ； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）直接根据阅读材料进行变换化简即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【小问1详解】 解：∵，，即，， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：首先把化为，这里，， ∵，，即，， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 ． 【点睛】本题是一道阅读理解题，主要考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键是掌握题目中告知问题的解题思路与方法，然后利用这种解题方法解决新问题． 23. 综合与实践：在数学活动课上，老师带领同学们以“矩形的折叠”为主题展开综合与实践活动． （1）如图1，老师的操作如下： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上，记作点M，并使折痕经过点B，得到折痕．把纸片展平，连接．则 度． （2）“先锋”小组将矩形纸片剪成正方形纸片后继续探究，过程如下： 操作三：如图2，将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，则与的数量关系是 ． 操作四：如图3，改变折痕的位置（点P不与点A、D重合），使点M位于EF的下方，则“操作三”中与的数量关系还成立吗？请说明理由． （3）“启思”小组继续思考，经过讨论，提出如下问题：如图3，当正方形纸片的边长为10，时，求AP的长． 【答案】（1） （2）（1）； （2）成立， 如下图所示， 根据折叠的性质得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴结论依然成立； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合可以求出，即可得到答案； （2）结合折叠和正方形的性质证明，即可得到； （3），根据正方形和折叠的性质可以得到，，，根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如下图所示，连接， 由题意可得，， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, 故答案为：； 【小问2详解】 解：（1）如下图所示， 根据折叠的性质得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 略 【小问3详解】 解：如下图所示， ∵的边长为10， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则,， ∴， 在直角三角形中， ∴， 解方程得， ∴． 【点睛】本题考查矩形、正方形、图形折叠的性质、全等三角形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $