精品解析：河北省卓越联盟2024-2025学年高一下学期第三次考试数学试题

卓越联盟2024——2025学年高一第二学期第三次考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第八、九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某圆锥的底面半径为1，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 2. 下列判断正确的是（ ） A. 若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B. 若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C. 若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D. 若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 3. 心理健康指数是通过科学方法量化评估个体或群体心理状态的指标．某机构研究人员为了解某社区居民的心理健康情况，随机从该社区抽取20名居民进行调查，得到他们的心理健康指数分别为7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，则这组数据的第60百分位数是（ ） A. 8.7 B. 8.9 C. 9.1 D. 9.3 4. 将一块棱长为4厘米的正方体木块打磨成一个球，则该球体积的最大值是（ ） A. 立方厘米 B. 立方厘米 C. 立方厘米 D. 立方厘米 5. 已知a，b表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，现给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若a，b与平面所成的角相等，则；④若a，b异面，且a，b均与平面，平行，则．其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在空间中，关于垂直与平行问题，有下列四个结论： ①平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直；②平行于同一个平面的两个平面可能互相垂直； ③垂直于同一个平面的两条直线可能互相垂直；④垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（ ） A 6 B. C. D. 8. 已知正方体棱长为2，分别是棱的中点，为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 长方体是直四棱柱 C. 过圆柱的轴的截面是一个矩形 D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 10 2020至2024年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2020至2024年我国快递业务量逐年增长 B. 2020至2024年我国快递业务量增长速度逐年增长 C. 2020至2024年我国快递业务量每年增长量超过200亿件 D. 估计我国2019年的快递业务量小于650亿件 11. 如图，在四面体中，，，，，，分别为棱，，上的动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 四面体的体积为 C. 的最小值为2 D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了解夏季高温天气的变化情况，某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，则该地区这10天日平均气温的极差是______℃． 13. 某工厂生产了一批圆台形容器用于盛放化工原料，为防止容器生锈，需要在其侧面和下底面涂覆防锈漆．已知该圆台形容器的母线长为15cm，下底面半径为10cm，上底面半径为5cm，若每平方厘米需要用0.2克防锈漆，不考虑损耗，则涂覆一个这样的圆台形容器至少需要______克防锈漆． 14. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明．如图，这是某中学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形ECDF为矩形，且平面ECDF⊥平面ABC，，，当多面体ABCEF的体积为时，异面直线AE与BC所成角的余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 16. 在一个文艺比赛中，6名观众代表和9名专业人士组成一个评委小组，给参赛选手打分．已知这6名观众代表对选手的打分分别为75，84，94，82，73，90，这9名专业人士对选手的打分的平均分为80.5，方差为32． （1）求这6名观众代表对选手打分的平均分和方差； （2）求这6名观众代表和9名专业人士对选手的打分的平均分和方差． 17. 如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，且． （1）证明：平面平面． （2）设棱中点为E，求异面直线与所成角的余弦值． （3）过点A作平面的垂线，垂足为H，求与平面所成角的正切值． 19. 阅读数学材料：“离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为（角的运算均采用弧度制），其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．” （1）求任意一个三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）在三棱锥中，平面，且点到平面的距离为1，求三棱锥在顶点处与顶点处的离散曲率之和； （3）在直四棱柱中，四边形为菱形，，若四面体在点处的离散曲率为，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 卓越联盟2024——2025学年高一第二学期第三次考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第八、九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某圆锥的底面半径为1，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，母线长为5，所以该圆锥的侧面积为. 故选：B. 2. 下列判断正确的是（ ） A. 若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B. 若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C. 若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D. 若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面的相关基本事实即可得解. 【详解】平面五边形的五个顶点任何三点和四点均不共线，但这五点共面，故A，B错误； 若空间五点中有三点共线，则这五点仍不一定共面，故C错误； 若空间五点中有四点共线，则由基本事实可知，直线与直线外一点可确定唯一平面，即这五点一定共面，故D正确． 故选：D. 3. 心理健康指数是通过科学方法量化评估个体或群体心理状态的指标．某机构研究人员为了解某社区居民的心理健康情况，随机从该社区抽取20名居民进行调查，得到他们的心理健康指数分别为7.2，7.3，7.5，7.8，7.9，8.0，8.5，8.5，8.6，8.6，8.7，8.7，9.1，9.1，9.3，9.4，9.5，9.7，10.0，10.0，则这组数据的第60百分位数是（ ） A. 8.7 B. 8.9 C. 9.1 D. 9.3 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可求解. 【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数为． 帮选：B. 4. 将一块棱长为4厘米的正方体木块打磨成一个球，则该球体积的最大值是（ ） A. 立方厘米 B. 立方厘米 C. 立方厘米 D. 立方厘米 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得球的半径的最大值，进而利用球的体积公式求解即可. 【详解】由题意可知该球半径的最大值为2厘米，则该球体积的最大值是立方厘米． 故选：B. 5. 已知a，b表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，现给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若a，b与平面所成的角相等，则；④若a，b异面，且a，b均与平面，平行，则．其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系逐项判断正误即可. 【详解】由，得或与相交，则①是假命题． 由，得或与为异面直线，则②是假命题． 由与平面所成的角相等，得平行或相交或异面，则③是假命题． 过空间内一点作异面直线的平行线，可以确定一个平面， 根据条件可得，从而得到，则④是真命题． 故选：A. 6. 在空间中，关于垂直与平行问题，有下列四个结论： ①平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直；②平行于同一个平面的两个平面可能互相垂直； ③垂直于同一个平面的两条直线可能互相垂直；④垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直． 其中正确结论个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由空间直线，平面的位置关系逐项判断每个选项的正误即可. 【详解】对于①，平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直，故①正确； 对于②，平行于同一个平面的两个平面互相平行，故②错误； 对于③，垂直于同一个平面的两条直线可能互相平行，故③错误； 对于④，垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直，故④正确． 所以正确结论的个数为2个. 故选：C。 7. 如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法画出原四边形ABCD求解即可. 【详解】如图1，根据斜二测画法的性质可得，作，垂足为， 作，垂足为，则和是两个全等的等腰直角三角形， 从而，故． 画出原四边形，如图2，则，且， 故． 故选：C. 8. 已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取取的中点，连接，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时，平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，连接，作，垂足为，由，可求的最小值. 【详解】如图，取中点，连接． 由正方体的性质可得． 因为平面平面平面平面， 所以平面，平面． 因平面平面，且，所以平面平面． 因为平面，所以当时，平面，此时平面， 故点在侧面内的轨迹为线段． 连接，作，垂足为，则， 所以，故． 因为，当与重合时，等号成立． 所以的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 长方体是直四棱柱 C. 过圆柱的轴的截面是一个矩形 D. 任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正棱锥及直四棱柱，圆柱及棱台的几何特征判断各个选项即可. 【详解】侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误． 因为长方体的侧棱和底面垂直，所以长方体是直四棱柱，B正确． 过圆柱的轴的截面是一个矩形，C正确． 棱台是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截完剩下的部分，则延伸侧棱可还原为棱锥，D正确． 故选：BCD. 10 2020至2024年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ） A. 2020至2024年我国快递业务量逐年增长 B. 2020至2024年我国快递业务量增长速度逐年增长 C. 2020至2024年我国快递业务量每年增长量超过200亿件 D. 估计我国2019年的快递业务量小于650亿件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图中的柱状图、折线图所包含的信息对选项注意判断即可. 【详解】根据统计图表可知2020至2024年我国快递业务量逐年增长，A正确． 由图可知2020年-2022年的快递业务量增长速度是减少的，所以B错误． 2022年我国快递业务量增长亿件，C错误． 设我国2019年的快递业务量为亿件，则，可得，所以D正确． 故选：AD. 11. 如图，在四面体中，，，，，，分别为棱，，上的动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 四面体的体积为 C. 的最小值为2 D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由线面垂直的判定定理证明平面，判断D,再由棱锥的体积公式可得B；将侧面翻折至点与平面共面，分别得到的最小值为和的最小值为，由解三角形即得判断A与C. 【详解】对于B,D，因为，，所以， 又，，平面，所以平面，故D正确； 因为，，所以，，可得， 所以四面体的体积为，故B正确； 对于A、C，将侧面翻折至点与平面共面，可知, 如图所示，过点作于点，过点作于点， 则的最小值为，故A错误； 在中，，， 则， 则的最小值为，故C正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了解夏季高温天气的变化情况，某气象部门记录了某地区连续10天的日平均气温（单位：℃），其数据分别为30，32，29，34，31，36，33，38，35，37，则该地区这10天日平均气温的极差是______℃． 【答案】9 【解析】 分析】根据极差概念求解即可. 【详解】由题意可知该地区这10天日平均气温的极差是． 故答案为：9 13. 某工厂生产了一批圆台形容器用于盛放化工原料，为防止容器生锈，需要在其侧面和下底面涂覆防锈漆．已知该圆台形容器的母线长为15cm，下底面半径为10cm，上底面半径为5cm，若每平方厘米需要用0.2克防锈漆，不考虑损耗，则涂覆一个这样的圆台形容器至少需要______克防锈漆． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积公式和圆台的侧面积公式，求得圆台的表面积，进而求得防锈漆的重量，得到答案. 【详解】由题意得，圆台形容器的侧面积，下底面面积， 则涂覆一个这样的圆台形容器至少需要克防锈漆． 故答案为：. 14. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明．如图，这是某中学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形ECDF为矩形，且平面ECDF⊥平面ABC，，，当多面体ABCEF的体积为时，异面直线AE与BC所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】以为邻边作矩形，求证即可，先证平面，结合体积求出，即可利用长度计算，最后在中利用余弦定理即可. 【详解】以为邻边作矩形，连接． 因为，所以为异面直线与所成的角或补角， 因为四边形是矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以， 因为，且为边的中点，所以， 因为平面，，所以平面， 因为，所以， 则多面体的体积， 解得，故， ，， 在中，由余弦定理可得，则异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 【答案】（1） （2） （3）15.3125 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值. （2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数. （3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 【小问2详解】 由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为． 【小问3详解】 因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125． 16. 在一个文艺比赛中，6名观众代表和9名专业人士组成一个评委小组，给参赛选手打分．已知这6名观众代表对选手的打分分别为75，84，94，82，73，90，这9名专业人士对选手的打分的平均分为80.5，方差为32． （1）求这6名观众代表对选手的打分的平均分和方差； （2）求这6名观众代表和9名专业人士对选手的打分的平均分和方差． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用数据的平均数和方差的计算公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，利用平均数和分层抽样的方差计算公式，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 解：这6名观众代表对选手的打分的平均分， 这6名观众代表对选手的打分的平均分的方差为： ． 【小问2详解】 解：这6名观众代表和9名专业人士对选手A的打分的平均分， 这6名观众代表和9名专业人士对选手A的打分的方差为： ． 17. 如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在满足条件的点，此时 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得出，再结合线面垂直判定定理得出平面，平面即可证明； （2）取，结合线面平行判定定理得出平面，进而得出平面平面，再应用面面平行性质定理得出平面． 【小问1详解】 证明：设，则．连接． 因为分别是棱的中点，所以， 则，，， 所以，所以． 因为是等边三角形，且为棱的中点，所以． 由直棱柱的定义可知平面平面，且平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面平面，且， 所以平面． 【小问2详解】 存在满足条件的点，此时，即为棱的中点． 取棱的中点，连接． 因为分别是棱的中点，所以． 因为分别为棱的中点，所以，所以． 因为平面平面，所以平面． 由棱柱的性质可得． 因为平面平面，所以平面． 因为平面平面，且，所以平面平面． 因为平面，所以平面． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，且． （1）证明：平面平面． （2）设棱的中点为E，求异面直线与所成角的余弦值． （3）过点A作平面的垂线，垂足为H，求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，结合已知可证平面，可得结论； （2）过作的平行线交的延长线于，连接，或其补角为异面直线与所成的角，求解即可； （3）过点A作平面的垂线，垂足为H，过作于，连接，是直线与平面所成的角，求解即可. 【小问1详解】 因为，，，所以， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，平面平面． 【小问2详解】 过作的平行线交的延长线于，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 所以或其补角为异面直线与所成的角， 又底面是矩形，，，棱的中点为E，所以， 所以，在中，， 在中，， 在中，由余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的余弦值． 【小问3详解】 因为是矩形，则，由（2）得平面，， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 因为平面平面， 所以过点A作平面的垂线，垂足为，点在上， 过作于，连接， 由（1）知平面，又平面，平面平面． 因为平面平面，平面， 所以平面，所以是直线与平面所成的角， 因为，所以， 又，所以， 因为平面，平面， 所以，所以，所以， 所以，又，所以， 在中，可得， 所以. 19. 阅读数学材料：“离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为（角的运算均采用弧度制），其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．” （1）求任意一个三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）在三棱锥中，平面，且点到平面的距离为1，求三棱锥在顶点处与顶点处的离散曲率之和； （3）在直四棱柱中，四边形为菱形，，若四面体在点处的离散曲率为，求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离散曲率的定义求、、、，即可得； （2）作，垂足为，由线面垂直的性质和判定得平面、，结合离散曲率的定义及（1）的结论有，即可得； （3）连接交于点，连接，分别取的中点，连接，，设，根据离散曲率的定义及已知求出相关线段长，并确定为二面角的平面角，进而求其余弦值. 【小问1详解】 由离散曲率的定义，得，， ，． 因为， 所以． 【小问2详解】 如图1，作，垂足为． 因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为，且平面，所以平面． 因为点到平面的距离为1，即， 所以，所以． 由离散曲率的定义，得， ． 由（1）知，则． 【小问3详解】 如图2，连接交于点，连接，分别取的中点，连接，． 因为为直四棱柱，且， 不妨设，则，，则． 由离散曲率的定义，得，则， 所以为等边三角形，所以，则． 因为，且为的中点，所以，且． 因为，所以． 因为分别为的中点，所以，， 所以，则为二面角的平面角． 在中，，则，所以， 所以，即二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$