精品解析：江苏省徐州市新沂市2024-2025学年下学期期中抽测八年级数学试题

2024-2025学年度第二学期期中抽测 八年级数学试题 本试卷共6页，全卷共140分，考试时间100分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下调查方式中，适合采用抽样调查的是（ ） A. 对乘坐飞机的乘客进行安检 B. 调查某品牌手机的使用寿命 C. 检测“嫦娥六号”月球探测器各零部件的质量情况 D. 了解全班学生的体重 3. 同学们总结梳理四边形的知识时，好学小组中的4位同学分别提出了自己的想法，下面的说法中，正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是正方形 B. 一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 4. 一个不透明的袋子中装有红球5个，白球3个，黑球1个，从中随机摸出一个球．以下说法正确的是（ ） A. 摸出白球概率最大 B. 摸出黑球概率最小 C. 必然摸出红球 D. 可能摸出蓝球 5. 去年我市有约1万名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取500名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这500名考生是总体的一个样本 B. 约1万名考生是总体 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 500名考生是样本容量 6. 如图，在平行四边形中，，，平分，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 不确定 7. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃 C. 一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球 D. 掷一个质地均匀正方体骰子，向上一面的点数是5 8. 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 9. 在最近30天内，新沂市空气质量为优的天数为15天，则空气质量为优的频率是______． 10. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是______ 11. 某中学统计了阅读社团在三个年级的分布情况，绘制成扇形统计图．其中七年级参加阅读社团的人数为50人，则全校参加阅读社团的人数为______人． 12. 如图，在菱形中，，连接，则______度． 13. 顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是______． 14. 一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有数字，抛掷这枚骰子1次，有如下两个事件（1）数字恰好是2，（2）数字小于6，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列______． 15. 某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为______． 16. 如图，矩形中，、交于点O，M、N分别为、的中点．若，则的长为_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为______． 18. 如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点．如果是直角，那么的长为______． 三、解答题（本大题共有4小题，每小题8分，共32分．解答时应写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤） 19. 如图，在中，已知对角线、相交于点． （1）若，求和的度数； （2）若，，，求的周长． 20. 某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 095 0.95 0.95 （1）______，______； （2）估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） （3）若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 21. 如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，已知，用两种方法作出的中线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，不写作法． 四、解答题：（本大题共3小题，每题各8分，共24分．解答时应写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤） 23. 新沂市是著名的旅游城市，一山一湖一古镇等多种景点闻名遐迩．春节期间，记者随机选取了若干游客，调查其旅游地点，绘制如下图表（每人只旅行一个景点）． 旅游地点 接待人数 频率 马陵山 40 骆马湖 10 0.1 窑湾古镇 0.2 沭河之光 15 0.15 馨园 0.05 新沂博物馆 10 0.1 依据图表信息，回答下列问题： （1）调查游客的总人数为______； （2）补全条形统计图； （3）在来新沂全部游客中，估计马陵山接待的游客占比为______%． 24. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若绕着点逆时针旋转后得到，直接写出顶点的对应顶点的坐标是______，顶点的对应顶点的坐标是______； （2）若和关于原点成中心对称图形，画出； （3）若为第三象限内一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点坐标______． 25. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：四边形BFCE平行四边形； （2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 时，四边形BFCE是菱形． 五、解答题：（本大题共2小题，每题各10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤） 26. 如图，四边形是矩形，为线段上一点，连接，将沿折叠使得点落在矩形内部的点处，连接． （1）若为线段的中点，，． ①求证：； ②的面积为：______（直接写出答案） （2）若，，直接写出线段长度的最小值为：______ 27. 在正方形中： （1）如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？请证明你的结论； （2）如图2，如果点是边的中点，是上的点，过点作，分别交、与点、，若，，求线段的长； （3）如图3，在等边三角形中．点、分别在、上，且，若与交于点，且， ①求的度数． ②判断线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中抽测 八年级数学试题 本试卷共6页，全卷共140分，考试时间100分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；寻找对称中心是解题的关键；根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该项符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项符合题意； C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选不项符合题意； 故选：C． 2. 以下调查方式中，适合采用抽样调查的是（ ） A. 对乘坐飞机的乘客进行安检 B. 调查某品牌手机的使用寿命 C. 检测“嫦娥六号”月球探测器各零部件的质量情况 D. 了解全班学生的体重 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查的适用情况．抽样调查适用于调查对象数量大、具有破坏性或无法进行全面调查的情况，而全面调查适用于需要精确结果或对象数量较少的情形，据此求解即可． 【详解】解:A．飞机安检必须确保每位乘客安全，需全面调查，不适合抽样． B．手机使用寿命测试具有破坏性，无法全部检测，适合抽样调查． C．探测器零部件质量要求极高，必须全面检查，不能抽样． D．全班学生体重调查对象少，易全面统计，无需抽样． 3. 同学们总结梳理四边形的知识时，好学小组中的4位同学分别提出了自己的想法，下面的说法中，正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是正方形 B. 一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，需根据各图形的判定条件逐一分析选项，即可作答． 【详解】解：A. 四个角相等的四边形是矩形，而正方形还需四条边相等，故A选项不符合题意． B. 一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形满足此条件但不是平行四边形，故B选项不符合题意． C. 邻边相等的平行四边形满足菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），故C选项符合题意． D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，而矩形需对角线相等，故D选项不符合题意． 故选：C． 4. 一个不透明的袋子中装有红球5个，白球3个，黑球1个，从中随机摸出一个球．以下说法正确的是（ ） A. 摸出白球概率最大 B. 摸出黑球概率最小 C. 必然摸出红球 D. 可能摸出蓝球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件的概率，计算各颜色球的概率，比较大小并分析选项． 【详解】解： 总球数：红球5个白球3个黑球1个个， ∴红球概率：；白球概率：；黑球概率：． A：白球概率小于红球，错误； B：黑球概率最小，正确； C：袋中有其他颜色球，红球非必然事件，错误； D：袋中无蓝球，不可能摸出，错误． 综上，正确答案为B． 故选：B 5. 去年我市有约1万名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取500名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 这500名考生是总体的一个样本 B. 约1万名考生是总体 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 500名考生是样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查总体、个体、样本及样本容量概念．总体是研究对象的全体，个体是每个研究对象，样本是总体中抽取的部分个体，样本容量是样本中个体的数目，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：总体：指所有考生的数学成绩，而非考生本身． 选项B不符合题意，因将“考生”而非“数学成绩”作为总体． 个体：每位考生的数学成绩是总体中的一个个体， 选项C符合题意． 样本：抽取的500名考生的数学成绩构成样本，而非考生本身． 选项A不符合题意，因样本应为成绩而非考生． 样本容量：样本中包含的个体数目，即500，不带单位． 选项D不符合题意，因将“考生”作为样本容量而非数值． 故选：C 6. 如图，在平行四边形中，，，平分，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质和角平分线的定义，得到，进而得出，即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：A． 7. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃 C. 一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球 D. 掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，错误，不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃的概率是：，错误，不符合题意； C、一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球的概率为，错误，不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，正确，符合题意． 故选：D． 8. 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 9. 在最近30天内，新沂市空气质量为优的天数为15天，则空气质量为优的频率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据频率的定义，频率等于频数除以总数，这里空气质量为优的天数是频数，总天数是总数，用优的天数除以总天数即可得到频率．本题主要考查了频率的计算，熟练掌握频率的计算公式“频率频数总数”是解题的关键． 【详解】解：∵频率的计算公式为频率频数总数，在本题中，空气质量为优的频数是天，总天数（总数）是天， ∴空气质量为优的频率是． 故答案为： ． 10. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是______ 【答案】##度 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质可知，，据此即可求得答案． 【详解】根据图形旋转的性质可知，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，牢记图形旋转的性质是解题的关键． 11. 某中学统计了阅读社团在三个年级的分布情况，绘制成扇形统计图．其中七年级参加阅读社团的人数为50人，则全校参加阅读社团的人数为______人． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图的应用，熟练掌握“部分量÷对应百分比 = 总量”是解题的关键．已知七年级参加人数以及其在扇形统计图中所占百分比，用七年级人数除以对应百分比，即可求出全校参加人数． 【详解】解：∵七年级参加阅读社团的人数为人，且七年级人数占全校参加阅读社团人数的， ∴全校参加阅读社团的人数为（人）． 故答案为： ． 12. 如图，在菱形中，，连接，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、等边对等角，解题的关键是熟练掌握菱形的四条边都相等，对角相等． 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是______． 【答案】菱形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．连接、，根据矩形的性质，以及三角形中位线的性质，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． 14. 一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有数字，抛掷这枚骰子1次，有如下两个事件（1）数字恰好是2，（2）数字小于6，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率计算，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是关键． 求出数字恰好是2的概率和数字小于6的概率，即可得到答案． 【详解】解：（1）数字恰好是2的概率为， （2）数字小于6的概率为， ∴这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列为， 故答案为：． 15. 某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质．先证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线相等，且相互平分， ∴四边形为矩形， ∵相邻两边的边长分别为，即矩形的长、宽分别为， ∴四边形的面积为 故答案为：6 16. 如图，矩形中，、交于点O，M、N分别为、的中点．若，则的长为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线定理，根据中位线的性质得到，进而根据矩形的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵M、N分别为、的中点， ∴， ∴在矩形中，． 故答案为：16 17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形；连接，根据菱形的性质以及已知条件得出都是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为，则 ∴，则 ∴， ∴ 故答案为：． 18. 如图，已知在梯形中，，，，，平分，交边于点．如果是直角，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过作辅助线构造矩形和全等三角形，利用角平分线性质、矩形性质以及勾股定理，建立方程求解的长度 ． 【详解】解：过作于． ，，， ∴ 四边形是矩形． ，，． 设，则． 平分， ∴， ∵，， （ ）． ，（全等三角形对应边相等 ）． 在中，由勾股定理： （勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方 ）． ， ，即（矩形对边相等 ）． 在中，由勾股定理： （勾股定理 ），即． 展开得，则． 消去，解得，． 故的长为 ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查梯形性质、矩形判定与性质、全等三角形判定与性质及勾股定理，熟练运用这些知识构造等量关系（如通过全等、勾股定理建立方程 ）是解题关键． 三、解答题（本大题共有4小题，每小题8分，共32分．解答时应写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤） 19. 如图，在中，已知对角线、相交于点． （1）若，求和的度数； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对边平行且相等、对角相等的性质，先由对角相等得度数，再由邻角互补求出度数． （2）依据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，求出各边长度，进而计算其周长． 本题主要考查了平行四边形的性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 ），熟练掌握这些性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形 ，， 小问2详解】 解：四边形是平行四边形 ，， ，， ，， 的周长为： 20. 某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 （1）______，______； （2）估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） （3）若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 【答案】（1）0.94，950 （2）0.95 （3）76000 【解析】 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式频率优秀数量抽取作业数量求，根据优秀数量抽取作业数量优秀频率求． （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． （3）用全市中学生数量乘以估计的优秀概率，得到优秀作业数量． 【小问1详解】 解：，， ∴，． 故答案为，； 【小问2详解】 解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 故答案为：； 小问3详解】 解：全市有名中学生，优秀概率约， ∴全市优秀作业数量约为． 故答案为： ． 21. 如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 连接，与交于点O，根据平行四边形的性质可得，，从而得，进而即可得到结论． 【详解】证明：连接，与交于点O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ， 即， ∴四边形是平行四边形． 22. 如图，已知，用两种方法作出的中线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查中线的定义和利用尺规作图，作一条线段的垂直平分线和作一条线段等于已知线段．根据中线的定义：连接一个顶点和它对边的中点的连线段叫做三角形的中线．即找到对边中点即可．第一种方法：作的垂直平分线即可，原理是垂直平分线垂直且平分其所在直线段；第二种方法：分别以B、C点为圆心，、为半径画弧，连接A点和两弧的交点，即可，原理：平行四边形的对角线互相平分． 【详解】解：如图1，如图2， 为所求． 四、解答题：（本大题共3小题，每题各8分，共24分．解答时应写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤） 23. 新沂市是著名的旅游城市，一山一湖一古镇等多种景点闻名遐迩．春节期间，记者随机选取了若干游客，调查其旅游地点，绘制如下图表（每人只旅行一个景点）． 旅游地点 接待人数 频率 马陵山 40 骆马湖 10 0.1 窑湾古镇 0.2 沭河之光 15 0.15 馨园 0.05 新沂博物馆 10 0.1 依据图表信息，回答下列问题： （1）调查游客的总人数为______； （2）补全条形统计图； （3）在来新沂的全部游客中，估计马陵山接待的游客占比为______%． 【答案】（1）100 （2）见解析 （3）40 【解析】 【分析】此题考查了频率、样本估计总体、条形统计图等知识，熟练掌握频率、样本估计总体是解题的关键． （1）新沂博物馆接待的游客人数除以对应频率即求出答案； （2）求出馨园接待的游客人数，再补全统计图即可； （3）用调查游客中马陵山接待的游客人数除以调查游客的总人数，再乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：调查游客的总人数为（人）， 故答案为：100 【小问2详解】 馨园接待的游客人数为（人）， 补全统计图如下， 【小问3详解】 ， 故答案为：40 24. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若绕着点逆时针旋转后得到，直接写出顶点的对应顶点的坐标是______，顶点的对应顶点的坐标是______； （2）若和关于原点成中心对称图形，画出； （3）若为第三象限内一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点坐标______． 【答案】（1）， （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握旋转性质，中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出，写出点的坐标即可； （2）根据中心对称的性质，画出即可； （3）根据平移思想画出平行四边形，得到点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图： 由图可知：，； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如上图，当为第三象限内一点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，． 25. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：四边形BFCE是平行四边形； （2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE= 时，四边形BFCE是菱形． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）4 【解析】 【详解】（1）∵AB=DC， ∴AC=DB， 在△AEC和△DFB中， ∴△AEC≌△DFB（SAS）， ∴BF=EC，∠ACE=∠DBF， ∴EC∥BF， ∴四边形BFCE是平行四边形； （2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE， ∵AD=10，DC=3，AB=CD=3， ∴BC=10﹣3﹣3=4， ∵∠EBD=60°， ∴BE=BC=4， ∴当BE=4时，四边形BFCE是菱形， 故答案为4． 五、解答题：（本大题共2小题，每题各10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤） 26. 如图，四边形是矩形，为线段上一点，连接，将沿折叠使得点落在矩形内部的点处，连接． （1）若为线段的中点，，． ①求证：； ②的面积为：______（直接写出答案） （2）若，，直接写出线段长度的最小值为：______ 【答案】（1）①见解析；②15 （2）4 【解析】 【分析】本题主要查了矩形的折叠问题，勾股定理，三角形外角的性质： （1）①由折叠的性质可得，从而得到，进而得到，再结合三角形外角的性质可得，即可求证；②连接，结合折叠的性质可得由折叠的性质得：，然后根据勾股定理可得，可求出，即可求解； （2）连接，根据勾股定理可得，由折叠的性质得：，可得到，即可求解． 【小问1详解】 解：①由折叠的性质得：， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴； 故答案为：15 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 即线段长度的最小值为4． 27. 在正方形中： （1）如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？请证明你的结论； （2）如图2，如果点是边的中点，是上的点，过点作，分别交、与点、，若，，求线段的长； （3）如图3，在等边三角形中．点、分别在、上，且，若与交于点，且， ①求的度数． ②判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析 （2） （3）①；②，见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明结论成立； （2）证明，，证明，则，由为中点得到，则，即可求出答案． （3）①证明，由即可得到答案；② 证明为等边三角形，得到，证明为直角三角形，求出，，则，由即可得到答案． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ，， ， 【小问2详解】 如图，过作，则四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， 中点． ， 【小问3详解】 ①：为等边三角形， ， 在与中， ，，， 又 又 ② 理由： 如图，将绕点顺时针旋转， 为等边三角形， 与重合，即得到 ．， 为等边三角形， 又 由①得 为直角三角形 又， 又 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、正方形的性质等等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、旋转的性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$