精品解析：陕西省榆林市府谷县府谷中学2024-2025学年高二下学期第二次质量调研数学试题

2025年春高二年级第二次质量调研 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式是，则（ ） A. B. C. D. 2. 为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A. 2.82 B. 2.86 C. 2.88 D. 2.92 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. -1792 B. -112 C. 112 D. 1792 5. 已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 6. 已知，分别为随机事件的对立事件，，则下列命题错误的是（ ） A. B. C. 若，则与 独立 D. 7. 在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则各项系数之和为（ ） A. B. C. 1 D. 1024 8. 从5名老师中选若干名去3所学校支教，若要求每所学校至少去1名老师，则不同的方案种数为（ ） A. 90 B. 390 C. 420 D. 720 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两个正态分布的正态密度函数图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值和方差，则（ ） A. B. C. D. 11. 给出定义：若函数在 上可导，即存在，且导函数在 上也可导，则称在 上存在二阶导函数，记．若在 上恒成立，则称在 上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点的坐标为，且，，则满足要求的点有_____个． 13. 在等差数列中，为其前项和，若，，则的值为_____． 14. 将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同.已知袋子中红球与黄球个数之比为，其中的红球印有商标，的黄球印有商标.现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行． （1）求的值； （2）求函数在区间上的极值与最值． 17. 某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） （1）若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ （2）若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ （3）若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 18. 投掷一枚质地均匀的骰子，每次掷得的点数是3的倍数时得2分，掷得的点数不是3的倍数时得1分．独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分． （1）设投掷3次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； （2）学生甲、乙各投掷4次骰子，已知甲前两次投掷后得了4分，求甲、乙4次投掷后，乙最终得分高于甲最终得分的概率． 19. 为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 （单位：万台）关于 （年份）的线性回归方程，且销量 的方差为，年份 的方差为． （1）求 与 的相关系数，并据此判断电动汽车销量 与年份 的线性相关性的强弱． （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为 ，求 的分布列和数学期望． ①参考数据：． ②参考公式：线性回归方程为，其中； 相关系数，若，则可判断 与 线性相关较强； ，其中 ．附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春高二年级第二次质量调研 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据通项公式写出前4项，即可得. 【详解】根据数列通项公式，可得的前4项依次为，，，. 故选：C 2. 为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的年产量和价格统计如下表： x 300 350 400 450 500 y 1.8 1.7 1.5 1.4 1.1 若y关于x的回归直线方程为，则（ ） A. 2.82 B. 2.86 C. 2.88 D. 2.92 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归直线必过样本点中心即可求解． 【详解】由题意，得,， 所以，解得． 故选：B． 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算作答. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：B. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. -1792 B. -112 C. 112 D. 1792 【答案】D 【解析】 【分析】求出的通项公式，令，求出代入即可得出答案. 【详解】因为的通项公式为， 令，得，所以的系数为． 故选：D． 5. 已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，将代入化简即可得出答案. 【详解】由，得， 所以，解得． 故选：A． 6. 已知，分别为随机事件的对立事件，，则下列命题错误的是（ ） A. B. C. 若，则与独立 D. 【答案】B 【解析】 【分析】A对立事件的概率公式；B概率的加法公式；C利用公式判断独立事件；D全概率公式. 【详解】对于A选项，由对立事件性质可知，A正确； 对于B选项，若，，则，B错误； 对于C选项，若，则， 则独立，C正确； 对于D选项，，D正确． 故选：B 7. 在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则各项系数之和为（ ） A. B. C. 1 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式系数的性质及系数最大项可得，再应用赋值法求各项系数之和. 【详解】由的展开式中，只有第6项的二项式系数为最大，所以， 在中，令，得，所以各项系数之和为1． 故选：C 8. 从5名老师中选若干名去3所学校支教，若要求每所学校至少去1名老师，则不同的方案种数为（ ） A. 90 B. 390 C. 420 D. 720 【答案】B 【解析】 【分析】先将5名老师分选3人，选4人，选5人3种情况选出，再根据分组分配计算即可. 【详解】先将5名老师分选3人，选4人，选5人3种情况选出， 5个中选3个，再去安排去3所学校，有种. 5个中选4个，再按照“1+1+2”组合安排去3所学校，有种. 5个中选5个，再按照“1+1+3”和“1+2+2”组合安排去3所学校，有 . 综上所得，共有种. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两个正态分布的正态密度函数图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质及题干曲线判断均值、标准差的大小. 【详解】由正态分布曲线性质：越大，图象对称轴越靠近右侧；越大，图象越“矮胖”，越小，图象越“瘦高”， 结合图象可知：，． 故选：AC 10. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值和方差，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两点分布的性质求出，再由期望、方差公式计算可得. 【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC． 11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项. 【详解】A.定义域为，，，故A正确. B.定义域为，，，故B正确. C.定义域为，，，故C正确. D.定义域为，，， 当时，，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点的坐标为，且，，则满足要求的点有_____个． 【答案】36 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】由题意，得的取值有6种，的取值有6种， 根据分步乘法计数原理，得满足要求的点有个． 故答案为：36 13. 在等差数列中，为其前项和，若，，则的值为_____． 【答案】30 【解析】 【分析】由等差数列前项和性质可得，，也是等差数列，运算即可． 【详解】由题意，得，，也是等差数列， 即， 又，，所以，解得． 故答案为：30 14. 将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同.已知袋子中红球与黄球个数之比为，其中的红球印有商标，的黄球印有商标.现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全概率公式理解与应用，小球印有商标有两个来源，其一是红球印有商标，其二是黄球印有商标，根据题意分别计算其概率，根据全概率公式计算印有商标的概率. 【详解】设抽取一个小球为红球为事件，红球印有商标为事件， 抽取一个小球为黄球为事件，黄球印有商标为事件， 小球印有商标为事件，由题意，，，， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式列出等式，联立方程组求得的值，从而写出通项公式； （2）由（1）写出的通项公式，然后由裂项相消求得其前项和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得， 由，得， 所以，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 所以 16. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行． （1）求的值； （2）求函数在区间上的极值与最值． 【答案】（1） （2）极小值为，极大值为，最大值为12，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由导函数求得函数在切线的斜率，由直线平行得到的值； （2）将的值代入原函数，求出导函数，令导函数为0，求得极值点.然后求出函数的极值和端点的函数值，从而得到函数的极值和最值. 【小问1详解】 由，得，． 所以． 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以，即，解得． 【小问2详解】 由（1），得， 令，解得，或． 当变化时，的变化情况如下表所示： 1 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为． 又，所以函数在区间上的最大值为12，最小值为． 17. 某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） （1）若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ （2）若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ （3）若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 【解析】 【分析】（1）利用“元素相邻捆绑法”求排法种数. （2）利用“元素不相邻插空法”求排法种数. （3）方法一：利用“特殊元素（位置）优先法”求排法种数；方法二：利用“间接法”求排法种数. 【小问1详解】 若4名男生相邻，有种情况， 将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有种情况． 所以共有种不同的排法． 【小问2详解】 若3名女生不相邻，先安排4名男生，有种情况， 再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有种， 所以共有种情况． 【小问3详解】 方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有种排法； 男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有种， 而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有种， 其他人全排列，只有种不同排法， 共有种排法． 综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法. 方法二：7名学生全排列，有种排法， 其中男生甲排中间，有种排法， 女生乙排第一名，有种排法， 其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有种， 所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法． 18. 投掷一枚质地均匀的骰子，每次掷得的点数是3的倍数时得2分，掷得的点数不是3的倍数时得1分．独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分． （1）设投掷3次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； （2）学生甲、乙各投掷4次骰子，已知甲前两次投掷后得了4分，求甲、乙4次投掷后，乙最终得分高于甲最终得分的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得的取值为3，4，5，6，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列； （2）由全概率公式代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 由题意得学生每次掷骰子得2分的概率为， 得1分的概率为． 学生投掷3次得分的取值为3，4，5，6， ， ， ， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以． 【小问2详解】 记“甲最终得分为分”，；“乙最终得分高于甲最终得分”． ，，， 当甲最终得6分时，乙需要最终得7分或者8分，则； 当甲最终得7分时，乙需要最终得8分，则； 当甲最终得8分时，乙不会比甲得分高，则， 故 ， 即乙最终得分高于甲最终得分的概率为． 19. 为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于 （年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份 的方差为． （1）求与 的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份 的线性相关性的强弱． （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为 ，求 的分布列和数学期望． ①参考数据：． ②参考公式：线性回归方程为，其中； 相关系数，若，则可判断与 线性相关较强； ，其中 ．附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）电动汽车销量与年份 的线性相关性的较强； （2）依据小概率值的独立性检验，认为购买电动汽车与车主性别有关； （3）分布列： 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答. （2）根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表比对作答. （3）利用分层抽样求出男女性人数，再求出 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出方差作答. 【小问1详解】 由，得，由，得， 因为线性回归方程，则， 即， 因此相关系数， 所以电动汽车销量与年份 的线性相关性的较强. 【小问2详解】 零假设：购买电动汽车与车主性别无关， 由表中数据得：， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问3详解】 按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人， 则 的可能值为，， 所以 的分布列为： 0 1 2 的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $