精品解析：浙江省强基联盟学考模拟2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

浙江强基联盟2025年6月高二学考模拟考试 数学试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1．本试卷满分100分，考试时间80分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（i为虚数单位），则其共轭复数在复平面对应点的坐标为（ ） A B. C. D. 3. 在三角形ABC中，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知角终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A B. C. 3 D. 2 7. 已知平面向量，均为单位向量，且，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的图象可以由的图象（ ） A. 向左平移个单位长度得到 B. 向右平移个单位长度得到 C 向左平移个单位长度得到 D. 向右平移个单位长度得到 9. 某蔬果种植基地的5个面积相同的大棚西瓜产量分别为（单位：）：120，155，190，130，155，则这5个大棚西瓜产量的平均数和极差分别为（ ） A. 140，70 B. 150，60 C. 150，70 D. 140，60 10. 小明与其父时常进行围棋对弈．在单局博弈中，其父获胜、双方平局以及小明获胜的概率分别为0.7，0.2与0.1．双方约定每局胜者积10分，平局各积5分，败者积0分．各局对弈结果相互独立．当进行两局对弈时，小明累计积分为10分的概率为（ ） A. 0.14 B. 0.18 C. 0.04 D. 0.08 11. 已知函数图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 13. 如图所示，每个小方格的边长为1，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量的模为 14. 在中，角，，所对边分别是，，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则为直角三角形 D. 若，则面积为 15. 如图所示，圆锥中，底面直径，高，在该几何体中，点是母线上的动点，点是底面圆周上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆锥的母线长为 B. 以过中点且平行于底面的平面截取圆锥，所得的两几何体的体积之比为1:3 C. 直线和所成角的最小值为 D. 当点是的中点时，直线与平面所成角最大为 三、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分． 16. 已知事件，是互斥事件，若，，则________． 17. 已知，且是锐角，则________． 18. 在四棱锥中，底面为平行四边形，点是侧棱上的动点，若平面，则________． 19. 已知正数，满足不等式，则的最小值是________． 四、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 2025年6月6日适值第三十个全国爱眼日，本届爱眼日活动的主题确定为“守护光明，点亮未来”．当日，市疾病预防控制中心采取分层抽样方法，从立德中学2000名高二学生群体中随机抽取100名，开展视力状况专项调查．根据所得数据构建的频率分布直方图显示，自左至右的四个相邻矩形区域对应的各组频率依次为：0.125，0.175，0.3，0.25． （1）试求图中a的值，并据此推算该校高二学生视力中位数的估值； （2）基于样本数据分析，估计该校高二学生视力不低于5.0的学生人数． 21. 如图所示，是等腰直角三角形，斜边，且，．将和分别沿，进行平面翻折，令其对应顶点，重合于点，由此构建空间几何体三棱锥． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的平面角度数． 22. 已知函数． （1）求方程的解． （2）记函数． （i）若有3个零点，求的取值范围； （ii）若，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江强基联盟2025年6月高二学考模拟考试 数学试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1．本试卷满分100分，考试时间80分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由于集合中的元素只有1，，故． 故选：C． 2. 复数（i为虚数单位），则其共轭复数在复平面对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数定义以及复数的几何意义可得结果. 【详解】由可得，其对应坐标为． 故选：A． 3. 在三角形ABC中，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，当，可得，而在三角形中，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件． 考点：充分不必要条件的判定． 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不含参的一元二次不等式即可求解. 【详解】由，可得解集为或． 故选：B． 5. 已知角终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数定义即可求解. 【详解】由三角函数定义，横坐标即，纵坐标即，故有，． 故选：D． 6. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：D． 7. 已知平面向量，均为单位向量，且，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量夹角公式即可求解. 【详解】因为，即，， 所以． 故选：C． 8. 已知函数，则函数的图象可以由的图象（ ） A. 向左平移个单位长度得到 B. 向右平移个单位长度得到 C. 向左平移个单位长度得到 D. 向右平移个单位长度得到 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用和差倍角的正弦公式对函数进行化简，然后根据正弦函数的平移性质进行变换即可得到结果. 【详解】， 所以其图象可以由的图象向右平移个单位长度得到． 故选：B． 9. 某蔬果种植基地的5个面积相同的大棚西瓜产量分别为（单位：）：120，155，190，130，155，则这5个大棚西瓜产量的平均数和极差分别为（ ） A. 140，70 B. 150，60 C. 150，70 D. 140，60 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的计算公式、极差的计算公式验算即可. 【详解】，极差． 故选：C． 10. 小明与其父时常进行围棋对弈．在单局博弈中，其父获胜、双方平局以及小明获胜的概率分别为0.7，0.2与0.1．双方约定每局胜者积10分，平局各积5分，败者积0分．各局对弈结果相互独立．当进行两局对弈时，小明累计积分为10分的概率为（ ） A. 0.14 B. 0.18 C. 0.04 D. 0.08 【答案】B 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式结合互斥事件概率和公式计算求解即可. 【详解】记小明第一局得分为，第二局得分为，总得分为， 则 ． 故选：B． 11. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由指数型函数图象得性质，根据性质求得参数即可. 【详解】由于关于直线对称，由图可知对称轴在之间，即， 且在处函数值在之间，即． 故选：A． 12. 已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到为偶函数，且在上单调递减，，分和两种情况，变形，结合的单调性得到不等式，，满足不等式，从而求出答案. 【详解】是定义域为的奇函数，故， 定义域为， ， 故是偶函数， 又在上单调递增，故在上单调递减， 是定义域为的奇函数，，故， 故， 当时，， 而在上单调递增，故； 其中， 当时，， 而在上单调递减，故； 当时，，满足不等式． 综上，． 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 13. 如图所示，每个小方格的边长为1，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量的模为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的坐标线性运算结合模长公式判断A，C，计算向量的数量积公式及投影向量公式计算判断B，D. 【详解】如图，建立坐标系，则有，，，，，故A正确； 对于B．由于，所以，B正确； 对于C．，C错误； 对于D．投影向量为，故其模长为，D正确． 故选：ABD． 14. 在中，角，，所对边分别是，，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则为直角三角形 D. 若，则面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角形边的关系判断A；利用正弦定理判断B；利用余弦定理推理判断C；利用三角形面积公式计算判断D. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由正弦定理，得，即，B正确； 对于C，当时，由余弦定理得：， ，为直角三角形，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 15. 如图所示，圆锥中，底面直径，高，在该几何体中，点是母线上的动点，点是底面圆周上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆锥的母线长为 B. 以过中点且平行于底面的平面截取圆锥，所得的两几何体的体积之比为1:3 C. 直线和所成角的最小值为 D. 当点是的中点时，直线与平面所成角最大为 【答案】AC 【解析】 【分析】由勾股定理计算可判断A；由平面以上的部分是一个圆锥，且与圆锥相似，且体积比为计算可判断B；由最小角原理计算可判断C；由最大角原理计算可判断D. 【详解】对于A，由于底面半径为，高为，母线长为，故A正确； 对于B，由此平行底面的平面以上的部分是一个圆锥，且与圆锥相似，相似比为， 从而有体积比为， 故过中点且平行于底面的平面截圆锥，所得的两部分的几何体体积之比为，故B错误； 对于C，由最小角原理，底面上的直线和底面外的直线所成角的最小值是与底面所成角， 即圆锥母线和底面所成角，满足，故C正确； 对于D，由最大角原理，二面角中平面中的直线与平面所成角的最大值为二面角， 由于是的中点，连接，并过作于点，连接， 显然即为二面角平面角，且， 其中，， 从而，故，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本大题共4小题，每题3分，共12分． 16. 已知事件，是互斥事件，若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式即可得. 【详解】由题意． 故答案为： 17. 已知，且是锐角，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用倍角公式化简得出，再利用同角关系即可. 【详解】若，则， 又因为锐角，则，从而， 则． 故答案为： 18. 在四棱锥中，底面为平行四边形，点是侧棱上的动点，若平面，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】应用线面平行性质定理得出线线平行即可得出比值. 【详解】如图，连结交于，连结， 因为平面，根据线面平行的性质定理，得， 又是中点，所以是的中点，所以． 故答案为：1. 19. 已知正数，满足不等式，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，进而有，应用基本不等式求最值，注意等号成立条件. 【详解】由，而． 由于，故，当且仅当，时取到最小值． 故答案为： 四、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 2025年6月6日适值第三十个全国爱眼日，本届爱眼日活动的主题确定为“守护光明，点亮未来”．当日，市疾病预防控制中心采取分层抽样方法，从立德中学2000名高二学生群体中随机抽取100名，开展视力状况专项调查．根据所得数据构建的频率分布直方图显示，自左至右的四个相邻矩形区域对应的各组频率依次为：0.125，0.175，0.3，0.25． （1）试求图中a的值，并据此推算该校高二学生视力中位数的估值； （2）基于样本数据分析，估计该校高二学生视力不低于5.0的学生人数． 【答案】（1），中位数为； （2）人. 【解析】 【分析】（1）根据直方图求出第五组的频率，结合组距求参数值，再由中位数定义，结合直方图求中位数； （2）首先确定5.0处于第四组的正中间，再由频率估计学生人数. 【小问1详解】 由题意，第五组的频率，组距， 所以， 由题意：从左到右每组的频率依次为0.125，0.175，0.3，0.25，0.15， 所以中位数在第三组的处，其值为． 【小问2详解】 由题意，第四组的频率为0.25，而5.0处于第四组的正中间， 所以视力不低于5.0的频率为， 根据样本估计总体，该校高二学生中视力不低于5.0的学生有人． 21. 如图所示，是等腰直角三角形，斜边，且，．将和分别沿，进行平面翻折，令其对应顶点，重合于点，由此构建空间几何体三棱锥． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的平面角度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证，，再由线线垂直证明线面垂直即可； （2）根据（1）的结论，利用三棱锥的体积公式计算即得； （3）由（2）易得为二面角的平面角，借助于即可求得二面角度数. 【小问1详解】 由题意，翻折前：，，， 由，可得，同理， 翻折后，由于，重合于，则有，， 因平面，故平面． 【小问2详解】 由（1）知为三棱锥的高，取中点，连接，． 因，则，． 因． 则． 【小问3详解】 由题意：，均为等腰三角形， 则，， 故为二面角的平面角，记为， 则，因是锐角，故． 即二面角的平面角大小为． 22. 已知函数． （1）求方程的解． （2）记函数． （i）若有3个零点，求的取值范围； （ii）若，且，求证：． 【答案】（1），； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设，解方程并结合指对数关系求解即可； （2）（i）令，分类讨论解及零点个数确定参数范围； （ii）方程有两个正根，，且，设有 ，即可证. 【小问1详解】 因为，所以， 解得或，即或，方程的解为，． 【小问2详解】 （i）函数， 令，方程转化为：． 分情况讨论的符号： 当：方程化为，解为，只需，存在唯一解； 当：方程化为，对于， 有，则，只需，存在唯一解； 当：方程化为，解为，只需，存在唯一解； 当：方程化为，对于， 有，则，只需，存在唯一解． 综上，当时方程在三个区间各有一个解，共3个零点，故的取值范围为． （ii）由题意，，，设， 等价于方程有两个正根，，且， ，则， ，解得， ． 设，则，故， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$