精品解析：四川省达州市万源市万源中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

四川省万源中学高2026届第二次月考试题（高二.下） 数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则函数在处的导数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 的展开式的第3项的系数为（ ） A. 10 B. C. 40 D. 3. 已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ） A. 1或 B. C. 2或 D. 1 4. 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 5. 设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ） A. 的数据较更集中 B. C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 8. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，满足，下列选项正确的有（ ） A. B. C. 最小 D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B. 第二次抽到3号球概率为 C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大 D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 方程的两根的等差中项为______. 13. 的展开式中，的系数为______． 14. 从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可达到点的概率为，则的值为________，________（用含的式子表示）. 四、解答题（本大题共6小题，共77分） 15. 记正项数列的前项和为，已知， （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项的和，求证：. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上最大值与最小值. 17. 某电影播放后，为了解观众的满意度，某影院随机调查了12名观看此影片的观众，并用“10分制”对该电影进行评分，分数越高表明观众的满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为满意观众.下面记录了他们对该电影的评分： 9.2 9.3 7.6 8.9 9.1 9.2 9.2 7.5 9.3 8.8 9.2 9.1 （1）求从这12人中随机选取2人，至少有1人为满意观众的概率； （2）以本次抽样的频率作为概率，从观看此影片的观众中任选3人，记表示抽到满意观众的人数，求的分布列和方差. 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与大小关系，并说明理由. 19. 如图所示数阵，第行共有个数，第行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：. … … … … … … … （1）求值：； （2）求第行个数之和（计算结果用组合数表示），并判断它与第行的最后一个数的大小关系（需说明理由）； （3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立？如存在，请求出的最大值，如不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省万源中学高2026届第二次月考试题（高二.下） 数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则函数在处的导数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以函数在处的导数为. 故选：D 2. 的展开式的第3项的系数为（ ） A. 10 B. C. 40 D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项式的通项即可求得. 【详解】写出的通项，，第三项，即令，则 ，所以第三项的系数为40. 故选：C 3. 已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ） A. 1或 B. C. 2或 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项概念和等比数列通项公式即可求公比. 【详解】因为为，的等差中项，所以， 又因为数列为等比数列，设公比为，则有， 解得， 故选：A. 4. 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出五个工程队承建五个子项目的方案数，再求出甲工程队承建1号子项目的方案数，即可得解. 【详解】由题意可知：五个工程队承建五个子项目，有种不同承建方案， 而甲工程队承建1号子项目的方案有种方案， 故共有种不同方案. 故选：D 5. 设P为曲线上一点，Q为曲线上一点，则|PQ|的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由导数求出两曲线的切线 【详解】，，时，，，所以是图象的一条切线，切点为， ，，时，，，所以是的图象的一条切线，切点为， ， 这两条切线平行，两切点连线恰好与切线垂直， |PQ|的最小值即为两切点间的距离． 所以， 故选：C． 6. 已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式. 【详解】设，则， 故为上的增函数， 而可化即， 故即，所以不等式的解集为， 故选：A. 7. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ） A. 的数据较更集中 B. C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解. 【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确； 对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ， ，正确； 对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确； 对于D，由B知： ，错误； 故选：D. 8. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【详解】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，，所以只需在上恒成立， 即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中， 故， 所以此时有． 综上，． 故选：C． 【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是不等式变形为，从而构造进行求解. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，满足，下列选项正确的有（ ） A. B. C. 最小 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式计算，逐一判断选项即可. 【详解】因为是等差数列，设公差为， 由，得，即，故A正确； 又，故B正确； 当，是单调递增数列，， 所以当时，当时，所以或最小； 当，是单调递减数列，， 所以当时，当时，所以或最大，故C错误； 又，因为,所以，故D错误. 故选：AB. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项式定理，结合赋值法求二项式展开式系数和即可. 【详解】令，得①，故A错误； 令，得②， ①+②得，，解得，故B正确； ①②得，，解得，故C错误； 对等式两边同时求导，得， 令，得，故D正确. 故选：BD. 11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B. 第二次抽到3号球的概率为 C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大 D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有 对于A，在第一次抽到2号球条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为故A选项正确； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，即第二次抽到3号球的事件为，， 故B选项正确； 对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为， 记第二次抽到3号球的事件为，, 第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同， 即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确； 对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误； 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 方程的两根的等差中项为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理，结合等差中项的定义，即可求解. 【详解】设方程的两根分别为和，，所以两根的等差中项为. 故答案为： 13. 的展开式中，的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，令、、的指数分别为、、，求出参数的值，代入通项计算即可得出结果. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为，其中，、， 所以，的展开式通项为， 由题意可得，解得， 因此，的展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可达到点的概率为，则的值为________，________（用含的式子表示）. 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】利用分类互斥事件求，利用递推思想，结合构造法和累加法来求. 详解】空1：， 到达有两种可能：第一种是一次移动2个单位到达， 第二种是每次向上移动1个单位，共移动2次到达，故； 空2：到达点有两种情况： ①从点按向量移动，即 ②从点按向量移动，即 所以，即 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 … ， 两边分别累加得 ，， 因为满足上式，所以. 故答案为：；. 四、解答题（本大题共6小题，共77分） 15. 记正项数列的前项和为，已知， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项的和，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得，即可证得结论成立. 【小问1详解】 当时， 而时，满足，. 【小问2详解】 因为， 所以 因为，所以，. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值点求出a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【小问1详解】 由题意得，由题意得，即，解得， 故，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. 又，， 故的最大值为2，最小值为. 17. 某电影播放后，为了解观众的满意度，某影院随机调查了12名观看此影片的观众，并用“10分制”对该电影进行评分，分数越高表明观众的满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为满意观众.下面记录了他们对该电影的评分： 9.2 9.3 7.6 8.9 9.1 9.2 9.2 7.5 9.3 8.8 9.2 9.1 （1）求从这12人中随机选取2人，至少有1人为满意观众的概率； （2）以本次抽样的频率作为概率，从观看此影片的观众中任选3人，记表示抽到满意观众的人数，求的分布列和方差. 【答案】（1）. （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用正难则反，由组合数与古典概型，求对立事件的概率，可得答案； （2）由离散型随机变量，利用概率的乘法公式，根据二项分布，可得答案. 【小问1详解】 设“所选取的2人中至少有1人为满意观众”为事件，则事件为“所选取的2人中没有满意观众”， ， 即所选取的2人中至少有1人为满意观众的概率为. 【小问2详解】 抽样中满意观众的频率为，即从观看此影片的观众中抽到满意观众的概率为. 由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 易知，故. 18. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出. （2）①法1，把问题转化为直线与函数图象交点问题，结合导数求解；法2，利用零点的意义，构造新函数，利用导数，结合零点存在性定理求解.②判断大小，作差等价转化，利用导数证明即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 由曲线在处的切线方程为，得，解得， 经验证，符合题意，所以. 【小问2详解】 ①方法一：函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，在，当时，， 所以的取范围为 方法二：令， 由方程有两个不同的解，得函数有两个不同的零点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则，解得， 而，， 令，求导得，函数在上递减， ， 所以. ②，不妨令，， 由①知，，即，而， 只需证明，即证，令， 令，求导得， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 19. 如图所示数阵，第行共有个数，第行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：. … … … … … … … （1）求值：； （2）求第行的个数之和（计算结果用组合数表示），并判断它与第行的最后一个数的大小关系（需说明理由）； （3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立？如存在，请求出的最大值，如不存在，请说明理由. 【答案】（1）0 （2），相等 （3）存在，3 【解析】 【分析】（1）利用组合数公式直接计算即可； （2）第m行的所有数之和为，第行的最后一个数为，法一：利用作差法比较大小可得结论，法二：利用组合数的性质计算可得结论. （3）根据题意，存在正整数，的最大值为3，使得恒成立，结合排列数的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 第行的个数之和为 ， 第行的最后一个数为 法一： 所以第行个数之和与第行的最后一个数相等. 法二， ， 同理； 【小问3详解】 当，时，，，当时，此时显然不成立. 猜测：存在正整数，使得恒成立，的最大值为3. 下证：当时，恒成立 由（1）知，，则， 因为 . 又，当时， 当时，，所以. 综上：存在正整数，的最大值为3，使得恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$