第14讲 函数的应用（一）（思维导图+2知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第14讲 函数的应用（一） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律． 2．能结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，解决实际问题 知识点 1 常见函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)分式函数模型 (4)分段函数模型 拓广：函数f (x)＝x＋(a>0)的性质及最值： (1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x>0时，x＝ 时取最小值2， 当x<0时，x＝－ 时取最大值－2. 知识点 2 函数应用问题解法 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 考点一：用函数图象刻画变化过程 例1.（2023高一上·上海·专题练习）如下图所示，向高为的水瓶 A，B，C，D 同时以等速注水，注满为止；若水深 与注水时间 的函数图象如图，则水瓶的形状是（    ）    A．    B．  C．   D．   【答案】D 【分析】依据水瓶的形状来决定水面的高度上升的速率，由此得出结论． 【详解】A中的水瓶水面上升的速率越来越慢，不符合题意； B中的水瓶水面上升的速率越来越快，不符合题意； C中的水瓶的水面上升是均匀的，图象是一条直线，不符合题意； D中的水瓶的水面上升的速率先变慢再变快，和给出的图象相符， 故选：D． 【变式1-1】（23-24高一上·贵州安顺·期末）为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图（四个选项）所示，其中运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的选项是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意可得运输效率逐步提高则函数增长逐渐加快判断即可. 【详解】由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足. 故选：B 【变式1-2】　(2022·广东广州检测)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f (t)的图象大致是( 　) 【答案】　B 【解析】水位由高变低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B． 【变式1-3】（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断. 【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误； 对于A：由等边三角形可知：线段的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误； 对于D：由圆可知：线段的长度不会是线性变化，故D错误； 对于C：由正方形可知：线段的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确； 故选：B. 考点二：已知函数模型解决实际问题 例2．（23-24高一上·河北沧州·期末）中国信通院近期公布的最新数据显示，2023年9月，国内手机出货量同比增长近六成，多个市场咨询报告也显示，国内手机市场在逐渐回暖．新一波“换机潮”即将到来，主要原因是今年秋季多个市场品牌发布旗舰机型，受到不少消费者的青睐，市场大卖．某手机生产厂家看到了商机，为了进一步增加市场竞争力，计划2024年利用更先进的技术生产某款高端手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本360万元，预售价每部1.5万元，且最多生产8万部，若每生产x千部手机，需另投入成本万元，（全年内生产的手机当年能全部销售完） (1)求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（利润=销售额-成本） (2)2024年此款手机产量为多少部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元 【分析】（1）根据利润与销售额、成本的关系列出解析式，代入分段函数，即得利润的函数关系式； （2）就（1）中得到的利润的分段函数式，分段求出每段函数的最大值，进行比较后即得. 【详解】（1）当时， ； 当时．， 所以 （2）当时．， 则（万元）； 当时．单调递增， 所以（万元）， 因为， 所以2024年此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元． 【变式2-1】（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【答案】(1) (2)当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元 【分析】（1）由建造费与能源消耗费求和可得； （2）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， ∴. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值， ∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元. 【变式2-2】（22-23高一上·贵州六盘水·期末）心理学家根据高中生心理发展规律，对高中生的学习行为进行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：），满足以下关系： (1)上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？ (2)有一道数学难题，需要54的接受能力及的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？ 【答案】(1)上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟 (2)老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题 【分析】（1）在上利用二次函数求得最大值；时，，在利用一次函数求得最大值即可； （2）当，，时分别令求解. 【详解】（1）解：由题知在上单调递增， 所以， 又时， ， 在上单调递减，， 所以上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟. （2）当时，令，即， 化简得，解得，又， 所以，此时有效时间为2分钟 ， 当时，，有效时间为10分钟， 当时，令，解得，有效时间为1分钟， 由于讲授时间需15分钟，但有效时间分钟，， 所以老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题. 【变式2-3】（23-24高一上·四川德阳·期末）连续两年，世界清洁能源装备大会在德阳召开，德阳已成为世界清洁能源装备之都．已知德阳市某重装企业从2021年起，每年投入百万元（代表年份，，为常数）用于研发清洁能源新产品．2023年世界清洁能源装备大会后，该企业决定进一步加大对清洁能源新产品的研发力度，从2024年起，在原计划投入的基础上，再追加投入百万元． (1)若2024年投入10百万元，求的值； (2)若要保证每年的投入持续增加，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）列出方程，求出答案； （2）求出的解析式，需当时单调递增，考虑当，和两种情况，结合特殊点的函数值，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）由题意， 即，，解得； （2）设第年投入百万元，则 由题意，必须当时单调递增， ①当时，显然单调递增， ②， ③接下来，只需当时单调递增， ，当且仅当时取等， ， 因为， 解得， 综上，的取值范围为． 考点三：构建一次函数模型解决实际问题 例3.（24-25高一上·全国·课后作业）某公司每年需要某种计算机元件8000个，每次购买元件需手续费500元，每个元件的库存费是每年2元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，8000个元件的库存费也不少．若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？ 【答案】 【分析】根据题意，设总费用记为F元，总库存费记为E元，总手续费记为H元，费用记为C元，得到，假设用完q个元件的时间为，得到，结合函数的性质和基本不等式，即可求解. 【详解】解：将8000个元件所需的总费用记为F元，一年总库存费记为E元，购买元件总手续费记为H元，其他费用记为C元（C为常数），则． 若每年平均进货n次（），则每次的进货量为个， 假设用完q个元件的时间为，在内，t时刻的库存量为， 满足，，， 解得． 如图所示，阴影部分的面积是第一个时间段内需支付库存费的库存量的综合， 相当于在年内每一时刻需支付库存费均为（个）． 在年内，每个元件的库存费为，则个元件的库存费为（元）， 一年总库存费为（元）． 另外，元，所以． 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，上面的不等式取等号，此时总费用最少， 故每年进货4次最经济． 【变式3-1】（21-22高一上·安徽合肥·期末）全球淡水资源不仅短缺而且地区分布极不平衡. 我国是世界第一人口大国，虽然我国是水资源大国，但人均淡水资源只占世界人均淡水资源的四分之一. 为了倡导节约用水，保护淡水资源，某城市对居民的生活用水实行“阶梯式”水价. 计费方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 2.3元 超过但不超过的部分 2.8元 超过的部分 3.8元 若某户居民本月交纳的生活用水费用为38.8元，则此户居民本月的用水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先观察选项分析得此户居民本月的用水量的范围，结合题中信息得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】观察选项，可知不需要考虑此户居民本月的用水量不超过与超过的情况， 设此户居民本月的用水量为，， 则，解得， 所以此户居民本月的用水量为. 故选：C. 【变式3-2】（2024·北京丰台·一模）按国际标准，复印纸幅面规格分为系列和系列，其中系列以，，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为： ①规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为； ②将（）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）．    某班级进行社会实践活动汇报，要用规格纸张裁剪其他规格纸张．共需规格纸张40张，规格纸张10张，规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供规格纸张的张数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设一张规格纸张的面积为，从而得到一张、、纸的面积，再求出所需要的纸的总面积，即可判断. 【详解】依题意张规格纸张可以裁剪出张，或张或张， 设一张规格纸张的面积为， 则一张规格纸张的面积为， 一张规格纸张的面积为， 一张规格纸张的面积为， 依题意总共需要的纸张的面积为， 所以至少需要提供张规格纸张， 其中将张裁出张和张；将张裁出张； 将剩下的张裁出张， 即共可以裁出张、张、张. 故选：C 【变式3-3】（23-24高一上·广东揭阳·期末）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用1个单位量的水清洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为． (1)试确定的值，并解释其实际意义； (2)设． 方案1：用3个单位量的水，清洗一次； 方案2：每次用1.5个单位量的水，清洗两次； 方案3：每次用1个单位量的水，清洗三次． 试问用哪个方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)方案2，理由见解析； 【分析】（1）根据题意直接可得，表示未冲洗时残留的农药量保持不变； （2）分别计算出每种方案清洗后的残留量，比较出大小即可得出结论. 【详解】（1）由题意可得， 实际意义：表示未用清水冲洗蔬菜时蔬菜上残留的农药量保持原样； （2）设清洗前残留的农药量为，用第套方案清洗后残留的农药量为， 则； ； ， 易知，所以， 即用方案2清洗后蔬菜上残留的农药量最少； 考点四： 构建二次函数模型解决实际问题 例4.（23-24高一上·四川成都·自主招生）甲､乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元. 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元. 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费-月维护费；③两公司月利润差月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润. 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是__________元；当每个公司租出的汽车为__________辆时，两公司的月利润相等； (2)求两公司月利润差的最大值； (3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围. 【答案】(1)48000；37 (2)33150 (3) 【分析】（1）直接根据条件列式计算即可； （2）分甲公司的利润大于乙公司和乙公司的利润大于甲公司两种情况分别计算，算出最大利润差； （3）根据利润差最大，利用二次函数的性质列不等式求解. 【详解】（1）元， 当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元； 设每个公司租出的汽车为辆， 由题意可得：， 解得：或（舍）， 当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等； （2）设两公司的月利润分别为甲，乙，月利润差为， 则甲 ， 当甲公司的利润大于乙公司时， ， 当时，利润差最大，且为18050元； 当乙公司的利润大于甲公司时， ， 对称轴为直线， 当时，利润差最大，且为33150元； 综上：两公司月利润差的最大值为33150元； （3）捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为， 对称轴为直线， 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大， ， 解得：. 【变式4-1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值. 【答案】当定价为8.5元时，该商品的日均销售利润最大，且最大值为1210元. 【分析】设定价为元，日均销售利润为元，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意表格中的数据可知，当售价为4元时，日销售量为400件， 售价每增加1元，日销售量就减少40件. 设定价为元，日均销售利润为元， 则， 故当时，有最大值. 所以定价为8.5元时，日均销售利润最大，且最大值为1210元. 【变式4-2】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件.他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件. (1)设销售单价提高元（为正整数），写出每天销售量（个）与（元）之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ (3)假设这种商品每天的销售利润为元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元. 【答案】(1) (2)10元 (3)当售价为11元时，利润最大为144元 【分析】（1）根据提价与销售量之间的变化关系写出函数关系式即可； （2）列出利润的表达式，使其等于140并解方程即可求得结果，根据实际需求作出取舍即可给出定价； （3）根据二次函数性质可得出利润最大时的售价. 【详解】（1）设售价单价提高元，则； （2）由题可知售价为元，利润为， 即，解得，， 故售价为或， 又因为需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，故售价定为10元， 当售价定为10元时，每天的利润为140元； （3）易知利润， 对于二次函数来说， 易知当时，取最大值为144，故售价为， 即售价为11元时，利润最大为144元. 【变式4-3】（23-24高一上·上海奉贤·期末）要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为米，居室总面积平方米. (1)若居室总面积不少于48平方米，求的取值范围； (2)当宽为多少米时，才能使所建造的居室总面积最大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，得到长方形的长为米，且，从而得到，再根据条件建立不等关系，即可求出结果； （2）由，利用二次函数的性质即可求出结果. 【详解】（1）由题知长方形的长为米， 所以，由，得到， 由，得到，即，解得， 所以的取值范围为. （2）由（1）知， 又，所以当时，有最大值为平方米. 考点五： 构建分段函数模型解决实际问题 例5.（2024高三上·广东·学业考试）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元. (1)请写出关于的函数解析式； (2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费. 【答案】(1) (2)156元 【分析】（1）根据题意分和两种情况讨论即可； （2）结合（1）将代入函数解析式即可. 【详解】（1）由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； （2）当用电为时，由（1）知， 所以元， 所以此用户本月应交156元. 【变式5-1】（23-24高一上·北京·期中）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式； 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，函数是分段函数，分段求出关系式，再写成分段函数的形式即得. 【详解】由题意，当时，；当时，. 则机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式为：. 故答案为：. 【变式5-2】（23-24高三上·浙江金华·期末）某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到之间，而用户期望电价为．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为．已知，为保证电力部门的收益比上年至少增长，则最低的电价可定为 ． 【答案】0.6/ 【分析】设出电价定为元，由题意可得不等式，解出后结合即可得. 【详解】设电价定为元，， 则由题意可得， 整理可得，又， 故，即，故最低的电价可定为. 故答案为：. 【变式5-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．武汉新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1600人：当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值． 【答案】(1) (2)发车间隔为分钟时，每辆列车的日均车票收入最大，且最大值为万元 【分析】（1）当时，直接求得；当时，代入数据先求解出比例系数，则可知；由此可求y关于t的函数表达式； （2）根据反比例函数、二次函数的单调性分别求解出、时的最大值，由此可知结果. 【详解】（1）当时，，； 当时，，且当时，， 解得，，； 故. （2）当时，，当时有最大值为； 当时，，当时有最大值为， 综上所述：当发车间隔为分钟时，每辆列车的日均车票收入最大，且最大值为万元. 考点六： 构建分式函数模型解决实际问题 例6.（23-24高一上·江苏宿迁·期末）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．设长为（单位：）． (1)用表示的长度，并求的取值范围； (2)当的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)，； (2)当时，总造价最小为240000元. 【分析】（1）根据题意结合矩形的面积分析求解； （2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得：矩形的面积为，因此， 因为，所以． （2）由题意可得： ，（） 由基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 【变式6-1】（23-24高一上·河南南阳·期末）要建造一段500m的高速公路，工程队需要把60人分成两组，一组完成一段200m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的300m的硬土地带公路的建造任务.据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是5人天和3人天.要使全队筑路工期最短，则需安排到硬土地工作的人数是 人. 【答案】28 【分析】设安排到硬土地工作的人数为x人，求出两地带的工作时间，确定两地带同时完工，全队筑路工期才最短，解方程并结合函数的单调性说明，即可得答案. 【详解】设安排到硬土地工作的人数为x人，则安排到软土地工作的人数为人， 则在软土地带工作时间为，在硬土地带工作时间为， 要使全队筑路工期最短，需两地带同时完工， 即，即，解得， 由于，而， 由于为增函数，在上单调递减， 故只有当时，两地带最接近于同时完工， 故需安排到硬土地工作的人数是28人， 故答案为：28 【变式6-2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【答案】(1)， (2)当为时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围. （2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）因为，所以，， 因为，，所以. （2） 当且仅当，即时，等号成立， 所以当为时，取得最大值，最大值为. 【变式6-3】（23-24高一上·广西河池·期末）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农业，为提升特色农产品的知名度，让广告公司设计一个长米，宽米，面积为平方米的长方形广告牌，其中. (1)求关于的函数，并写出的取值范围； (2)如何设计才能使广告牌的周长最小. 【答案】(1)； (2)长、宽分别为米、米. 【分析】（1）根据矩形的面积公式列式求解即得. （2）由（1）列出周长的表达式，再利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】（1）依题意，，整理得，由，得，解得， 所以关于的函数. （2）由（1）知，，， 因此广告牌的周长， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以广告牌的长、宽分别为米、米时，广告牌的周长最小. 1．（23-24高一下·江西赣州·期中）春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的销售价格（元/盒）与时间t（天）的关系：一位顾客在这两周里在该水果店购买了若干盒草莓，总共消费212元，其中在后6天买了4盒，则前8天一共买了（   ） A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒 【答案】B 【分析】设前3天共买了m盒，第4天到第8天共买了n盒，列式得，结合m，n均为非负整数，求得. 【详解】设前3天共买了m盒，第4天到第8天共买了n盒，则，整理得， 因为m，n均为非负整数，所以是11的整数倍，当时，，得． 故选：B． 2．（23-24高一上·北京东城·期末）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设铁丝的一段长度为，则另一段铁丝长为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设铁丝的一段长度为，（其中），则另一段铁丝长为， 两个正方形的面积之和为， 根据题意，可得， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故选：D. 3．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（    ） A．10000 B．10480 C．10816 D．10818 【答案】C 【分析】设矩形场地的长为米，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】设矩形场地的长为米，则宽为米， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以平整这块场地所需的最少费用为元. 故选：C 4．（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期末）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 【答案】ACD 【分析】根据图象可直接判断A，B选项；对C，计算出采用A，B方案核算的计件工资可判断；对D，由图可知产品件数为1000时，A方案核算的计件工资最多，求出函数关系式运算得解. 【详解】从图中可得，A正确，B错误； 若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用A方案核算的计件工资为3000元，采用方案核算的计件工资为元， 因为，所以该员工采用方案核算的计件工资更多，C正确； 从图中易得当时，员工采用A方案核算的计件工资（单位：千元） 与生产的产品件数（单位：百件）的函数关系式为， 则当时，，即当某员工生产的产品件数为1000时， 该员工的计件工资最多为14200元，D正确. 故选：ACD. 5．（2011高一·全国·竞赛）图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，请你提出符合图（2）、（3）所示的调整建议 ． 【答案】降低成本，并保持票价不变，提高票价，并保持成本不变 【分析】根据题意知图像反映了收支差额和乘客量的情况变化，即直线的斜率说明票价的问题，当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明. 【详解】在图象中，直线纵截距的绝对值表示的是成本，图（2）中纵截距的绝对值变小，说明成本降低；图（3）中纵截距不变，说明成本不变． 图象中，横截距的值表示不亏本时最小的客容，图（3）中客容减少，可能是成本降低也可能是票价提高，排除了成本降低，所以应该是票价提高． 图象中直线斜率表示搭载每位乘客的平均利润，图（2）中直线斜率不变，因此票价不变，所以对应图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；对应图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变． 故答案为：降低成本，并保持票价不变，提高票价，并保持成本不变. 6．（23-24高一上·北京平谷·期末）在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论： ①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多； ②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等； ③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆； ④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆． 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】因为分母是二次函数，通过分析二次函数的单调性来分析整个函数的单调性，可判断①②的正确性；通过自变量的范围分析分母的范围，从而得出整个函数的值域，可判断③④的正确性. 【详解】对于①，因为， 令； 则在内单调递减，在内单调递增， 所以先增后减，命题①错误； 对于②，因为是二次函数，函数图象的对称轴是，所以， 所以，命题②正确； 对于③，因为的最小值是， 所以的最大值是， 即在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆，命题③正确； 对于④，因为， ，且，所以的最小值为， 即在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆，命题④正确. 综上，所有正确结论的序号是②③④. 故答案为：②③④. 【点睛】结论点睛： （1）函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调； （2）如果与单调性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函数. 7．（23-24高一上·全国·课后作业）下图是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．    (1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系； (2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）以测试序号为横坐标，成绩为纵坐标描点即可的函数图象； （2）根据各人成绩与平均成绩比较分析即可. 【详解】（1）不宜用解析法表示，用图象法表示为宜． 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：    （2）王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀． 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大． 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高． 8．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. (1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 【答案】(1)40 (2)102万平方米，售价为30欧元. 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得； （2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 则有， 解得：， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）， 整理得：， 除以得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时， 才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和， 此时的售价为30欧元/平方米. 9．（23-24高一上·湖北·期末）湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕，市六运会有两个吉祥物孝孝、感感．它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本，融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象，寓意运动员敢于拼搏，微笑面对胜负，体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点．由市场调研分析可知，当前该吉祥物的产量供不应求，某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为千元．，且生产的成本包括固定成本4千元，材料等成本2千元/千件．记该企业每生产销售x千件该吉祥物的利润为千元． (1)求函数的解析式； (2)该企业要使利润最大，应生产多少千件该吉祥物？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)该企业应该生产11千件，最大利润为154千元 【分析】（1）利用给定函数模型结合利润与成本关系式计算即可； （2）利用二次函数与基本不等式计算即可. 【详解】（1）依题意可知总成本为，即， 又， 则， 即； （2）当时，， 其图象为开口向上的抛物线的一部分，该抛物线对称轴为， 则函数在为增函数， 所以当时，函数取最大值136， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为154＞136，所以当时，取得最大值154． 所以该企业应该生产11千件，最大利润为154千元 10．（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 明天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想 是 的什么函数，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价） (3)为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，求 的取值范围． 【答案】(1) (2)50元/件；9000 (3) 【分析】（1）根据表格中数据进行描点作图，并猜想函数关系为一次函数，从而求解； （2）求出利润的关系式，从而可求解； （3）求出捐赠后的利润，根据二次函数性质求得，从而可求解. 【详解】（1）如下图，由图猜想与是一次函数，设这个函数为， 又这个函数图象过两点，， 所以，解得， 所以函数关系式为. （2）由（1）知总销售额为，设利润为， 所以总利润为， 当时，有最大值元. （3）由题意可得设扣除捐赠后的利润为， 因为，所以抛物线开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大。 所以时，有最大值， 又因为当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大， 所以，解得，又因为， 所以的取值范围为. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 函数的应用（一） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律． 2．能结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，解决实际问题 知识点 1 常见函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)分式函数模型 (4)分段函数模型 拓广：函数f (x)＝x＋(a>0)的性质及最值： (1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x>0时，x＝ 时取最小值2， 当x<0时，x＝－ 时取最大值－2. 知识点 2 函数应用问题解法 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 考点一：用函数图象刻画变化过程 例1.（2023高一上·上海·专题练习）如下图所示，向高为的水瓶 A，B，C，D 同时以等速注水，注满为止；若水深 与注水时间 的函数图象如图，则水瓶的形状是（    ）    A．    B．  C．   D．   【变式1-1】（23-24高一上·贵州安顺·期末）为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图（四个选项）所示，其中运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的选项是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】　(2022·广东广州检测)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f (t)的图象大致是( 　) 【变式1-3】（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（    ） A． B． C． D． 考点二：已知函数模型解决实际问题 例2．（23-24高一上·河北沧州·期末）中国信通院近期公布的最新数据显示，2023年9月，国内手机出货量同比增长近六成，多个市场咨询报告也显示，国内手机市场在逐渐回暖．新一波“换机潮”即将到来，主要原因是今年秋季多个市场品牌发布旗舰机型，受到不少消费者的青睐，市场大卖．某手机生产厂家看到了商机，为了进一步增加市场竞争力，计划2024年利用更先进的技术生产某款高端手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本360万元，预售价每部1.5万元，且最多生产8万部，若每生产x千部手机，需另投入成本万元，（全年内生产的手机当年能全部销售完） (1)求2024年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（利润=销售额-成本） (2)2024年此款手机产量为多少部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式2-1】（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【变式2-2】（22-23高一上·贵州六盘水·期末）心理学家根据高中生心理发展规律，对高中生的学习行为进行研究，发现学生学习的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.上课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：），满足以下关系： (1)上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？ (2)有一道数学难题，需要54的接受能力及的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？ 【变式2-3】（23-24高一上·四川德阳·期末）连续两年，世界清洁能源装备大会在德阳召开，德阳已成为世界清洁能源装备之都．已知德阳市某重装企业从2021年起，每年投入百万元（代表年份，，为常数）用于研发清洁能源新产品．2023年世界清洁能源装备大会后，该企业决定进一步加大对清洁能源新产品的研发力度，从2024年起，在原计划投入的基础上，再追加投入百万元． (1)若2024年投入10百万元，求的值； (2)若要保证每年的投入持续增加，求的取值范围． 考点三：构建一次函数模型解决实际问题 例3.（24-25高一上·全国·课后作业）某公司每年需要某种计算机元件8000个，每次购买元件需手续费500元，每个元件的库存费是每年2元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，8000个元件的库存费也不少．若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？ 【变式3-1】（21-22高一上·安徽合肥·期末）全球淡水资源不仅短缺而且地区分布极不平衡. 我国是世界第一人口大国，虽然我国是水资源大国，但人均淡水资源只占世界人均淡水资源的四分之一. 为了倡导节约用水，保护淡水资源，某城市对居民的生活用水实行“阶梯式”水价. 计费方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 2.3元 超过但不超过的部分 2.8元 超过的部分 3.8元 若某户居民本月交纳的生活用水费用为38.8元，则此户居民本月的用水量为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·北京丰台·一模）按国际标准，复印纸幅面规格分为系列和系列，其中系列以，，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为： ①规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为； ②将（）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）．    某班级进行社会实践活动汇报，要用规格纸张裁剪其他规格纸张．共需规格纸张40张，规格纸张10张，规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供规格纸张的张数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-3】（23-24高一上·广东揭阳·期末）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用1个单位量的水清洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为． (1)试确定的值，并解释其实际意义； (2)设． 方案1：用3个单位量的水，清洗一次； 方案2：每次用1.5个单位量的水，清洗两次； 方案3：每次用1个单位量的水，清洗三次． 试问用哪个方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由． 考点四： 构建二次函数模型解决实际问题 例4.（23-24高一上·四川成都·自主招生）甲､乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元. 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元. 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费-月维护费；③两公司月利润差月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润. 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： (1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是__________元；当每个公司租出的汽车为__________辆时，两公司的月利润相等； (2)求两公司月利润差的最大值； (3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围. 【变式4-1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）某商场销售型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量（件） 400 360 320 280 240 200 160 请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润的最大值. 【变式4-2】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件.他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件. (1)设销售单价提高元（为正整数），写出每天销售量（个）与（元）之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ (3)假设这种商品每天的销售利润为元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元. 【变式4-3】（23-24高一上·上海奉贤·期末）要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示.已有材料可建成的围墙总长度为30米，宽为米，居室总面积平方米. (1)若居室总面积不少于48平方米，求的取值范围； (2)当宽为多少米时，才能使所建造的居室总面积最大？ 考点五： 构建分段函数模型解决实际问题 例5.（2024高三上·广东·学业考试）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元. (1)请写出关于的函数解析式； (2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费. 【变式5-1】（23-24高一上·北京·期中）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式； 【变式5-2】（23-24高三上·浙江金华·期末）某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到之间，而用户期望电价为．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为．已知，为保证电力部门的收益比上年至少增长，则最低的电价可定为 ． 【变式5-3】（23-24高一上·湖北武汉·期末）地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．武汉新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1600人：当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值． 考点六： 构建分式函数模型解决实际问题 例6.（23-24高一上·江苏宿迁·期末）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．设长为（单位：）． (1)用表示的长度，并求的取值范围； (2)当的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【变式6-1】（23-24高一上·河南南阳·期末）要建造一段500m的高速公路，工程队需要把60人分成两组，一组完成一段200m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的300m的硬土地带公路的建造任务.据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是5人天和3人天.要使全队筑路工期最短，则需安排到硬土地工作的人数是 人. 【变式6-2】（23-24高一上·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【变式6-3】（23-24高一上·广西河池·期末）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农业，为提升特色农产品的知名度，让广告公司设计一个长米，宽米，面积为平方米的长方形广告牌，其中. (1)求关于的函数，并写出的取值范围； (2)如何设计才能使广告牌的周长最小. 1．（23-24高一下·江西赣州·期中）春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的销售价格（元/盒）与时间t（天）的关系：一位顾客在这两周里在该水果店购买了若干盒草莓，总共消费212元，其中在后6天买了4盒，则前8天一共买了（   ） A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒 2．（23-24高一上·北京东城·期末）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（    ） A．10000 B．10480 C．10816 D．10818 4．（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期末）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 5．（2011高一·全国·竞赛）图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，请你提出符合图（2）、（3）所示的调整建议 ． 6．（23-24高一上·北京平谷·期末）在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论： ①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多； ②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等； ③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆； ④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆． 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是 ． 7．（23-24高一上·全国·课后作业）下图是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．    (1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系； (2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析． 8．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. (1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 9．（23-24高一上·湖北·期末）湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕，市六运会有两个吉祥物孝孝、感感．它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本，融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象，寓意运动员敢于拼搏，微笑面对胜负，体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点．由市场调研分析可知，当前该吉祥物的产量供不应求，某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为千元．，且生产的成本包括固定成本4千元，材料等成本2千元/千件．记该企业每生产销售x千件该吉祥物的利润为千元． (1)求函数的解析式； (2)该企业要使利润最大，应生产多少千件该吉祥物？最大利润为多少？ 10．（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 明天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想 是 的什么函数，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价） (3)为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，求 的取值范围． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$