预习09 均值不等式及其应用（2知识点+8题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习09 均值不等式及其应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 均值不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 知识点 2 ：均值不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 【题型1 直接利用均值不等式求最值】 1． 的最小值为 . 2．若，，且，则的最小值为 . 3．已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 4．已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 5．已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 配凑法求最值】 6．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 8．已知，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 10．若函数在处取最小值，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 【题型3 二次与二次（或一次)的商式的最值】 11．函数 的最大值为 . 12．已知，求的最小值 13．，则的最小值是 ，此时a＝ ． 14．函数 的最小值为 ． 15．已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【题型4 “1”的代换求最值】 16．已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 17．已知，，则的最小值是 . 18．设，则的最小值为 ． 19．已知，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D． 20．已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【题型5 消参法求最值】 21．已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 22．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．已知，且，则的最小值是 ． 24．若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【题型6 和、积、平方和的转化】 25．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 26．若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．已知、为正实数，且，则的最小值是 . 28．若正实数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 29．已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【题型7 恒成立问题】 30．设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 31．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 33．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 34．设，且恒成立，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 35．若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【题型8 实际问题】 36．一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 37．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 38．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 39．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 40．如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 一、单选题 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．函数在上的最小值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若，则的最小值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 7．已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 二、多选题 8．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最大值为1 B．若，则的最小值为2 C．若，则有最大值1 D．若，则的最小值为2 9．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 10．已知，，且，则的最小值为 . 11．已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 12．某天数学课上，老师介绍了均值不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，有最小值. （1）请你模仿小明的解法，得出，上的最小值为 . （2）当时，，的最小值为 . 四、解答题 13．若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 14．（1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 15．为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 16．已知，． (1)者，求的最小值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求的最大值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习09 均值不等式及其应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 均值不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 知识点 2 ：均值不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 【题型1 直接利用均值不等式求最值】 1． 的最小值为 . 【答案】2 【详解】依题意，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 2．若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 3．已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】C 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最大值. 故选：C. 4．已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【答案】A 【详解】， 当且仅当， 即，等号成立， 所以的最小值为6， 故选：A 5．已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 【题型2 配凑法求最值】 6．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 7．已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 8．已知，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为. 故选：A 9．函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 【答案】 【详解】由知，所以，当且仅当，即时取等号． 方法总结 对不满足使用均值不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换等． 10．若函数在处取最小值，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得. 故选：B 【题型3 二次与二次（或一次)的商式的最值】 11．函数 的最大值为 . 【答案】/ 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 12．已知，求的最小值 【答案】6 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 13．，则的最小值是 ，此时a＝ ． 【答案】 2； 0 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 14．函数 的最小值为 ． 【答案】7 【详解】令，；则 (当且仅当，即时，等号成立)， 故函数 ，的最小值为 故答案为：7 15．已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 【题型4 “1”的代换求最值】 16．已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 【答案】D 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为5． 故选：D 17．已知，，则的最小值是 . 【答案】9 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 18．设，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 19．已知，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 故选：D 20．已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 【题型5 消参法求最值】 21．已知，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得且所以 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为 故选：C. 22．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 23．已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号． 24．若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】27 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【题型6 和、积、平方和的转化】 25．已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C 26．若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，则， 当且仅当时，等号成立， 即 ， 解得 ，或 （舍）， 解得， 故选：C. 27．已知、为正实数，且，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为、为正实数，由均值不等式可得， 即， 因为，所以，，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 28．若正实数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，当且仅当时取等号， 故选：B 29．已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【详解】解：因为正数a，b满足， 所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. 故选：D 【题型7 恒成立问题】 30．设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即． 31．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 32．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 33．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 34．设，且恒成立，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】等价于， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故，则的最大值是4． 故选：C 35．若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 【题型8 实际问题】 36．一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 【答案】D 【详解】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则（小时），当且仅当，即时取等号． 37．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（   ） A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元 【答案】C 【详解】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 38．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 【答案】 【详解】设矩形菜园的长为，宽为，可得， 则围成的菜园的面积， 当且仅当即时等号成立， 所以围成菜园的最大面积为. 故答案为：. 39．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 【答案】 【详解】设直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， 故， 当且仅当，即时，等号成立． 当直角梯形的高为时，用纸量最少． 故答案为： 40．如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【答案】 【详解】设所建矩形鱼池的一边长为，则另一边唱为， 于是鱼池与路的占地面积为： ， 当，即时，取最小值为， 故鱼池与路的占地最小面积是. 一、单选题 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由均值不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．函数在上的最小值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设， 则，当且仅当时等号成立， 所以函数在上的最小值是， 故选：C． 3．若，则的最小值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【详解】依题意有，当且仅当时取等号． 4．已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，且有，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 5．某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】依题意，且，即， 又，所以，当且仅当时取等号，由，解得， 故当，时该同学的得分最高. 故选：A 6．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】B 【详解】由题意，， 又，当且仅当时取等号， 所以，即目标式最小值为7. 故选：B. 7．已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】已知，且，，其中, ， 当且仅当时取等号. 故选：B 二、多选题 8．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最大值为1 B．若，则的最小值为2 C．若，则有最大值1 D．若，则的最小值为2 【答案】ACD 【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为1，故A正确；因为的等号成立条件是，不成立，所以B错误；当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，故有最大值1，故C正确；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确． 9．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 三、填空题 10．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 故答案为：1 11．已知命题，恒成立是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，恒成立， 所以． 又因为， 所以， 根据均值不等式可得： ，当且仅当，即时取等号， 所以，即． 故答案为：. 12．某天数学课上，老师介绍了均值不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，有最小值. （1）请你模仿小明的解法，得出，上的最小值为 . （2）当时，，的最小值为 . 【答案】 －3 【详解】（1）由知： ， 当且仅当时，取到最小值； （2）由，知： 当且仅当时，取到最小值. 故答案为：；. 四、解答题 13．若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由条件等式与均值不等式，得，即， 即，解得，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与均值不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即， 所以的取值范围为. 14．（1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）4；（2） 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 15．为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 【答案】(1)， (2)5，2 【详解】（1）根据题意知，抛物线的顶点为，过点，开口向下， 设二次函数的解析式为， 所以，解得， 所以， （2）由（1），得营运的年平均利润， 当且仅当，即时取等号．最大值为2. 16．已知，． (1)者，求的最小值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. （2）由，得，而， ， 当且仅当，即时取等号，而，因此，则， 所以实数的取值范围为. （3）由，得，，当且仅当时取得等号， 因此， 所以的最大值为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$