精品解析：福建省宁德市福鼎市2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中七年级质量检测 数学试题 （满分100分；考试时间90分钟） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的概念，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、图形中， ∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； B、图形中，∠1与∠2是对顶角，符合题意； C、图形中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； D、图形中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； 故选：B． 2. 蔚来神玑是业界首款采用（即）车规工艺制造的高阶智能驾驶芯片，芯片和底层软件均已实现自主设计．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 根据几何概率求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：观察这个图可知：白色区域（4块）的面积占总面积（9块）的， 则它最终停留在白砖上的概率是． 故选：B． 4. 计算的结果是（ ） A. 6a B. 3a2 C. 6a2 D. 9a2 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】 故选：D． 【点睛】本题主要考查积的乘方，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键． 5. 如图，如果要把河流中的水引到水池中，那么在河岸的处（已知）挖渠就能使得水渠的长度最短，这样做的数学依据是（ ） A. 点到直线的距离 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】由垂线的基本性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短，进行判断即可． 【详解】解：在河岸的处（已知）挖渠就能使得水渠的长度最短，这样的科学依据是，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短， 故选：． 【点睛】本题考查垂线的性质，掌握垂线的基本性质是解答本题的关键． 6. 甲同学做完四道整式乘法的题目后，乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（ ） 练习 ① √ ② × ③ √ ④ √ A. 第①、②题 B. 第①、④题 C. 第②、③题 D. 第③、④题 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法，根据整式的乘法运算法则，结合乘法公式逐个判断即可． 【详解】解：①，原计算正确，批改正确，符合题意； ②，原计算错误，批改正确，符合题意； ③，原计算错误，批改错误，不符合题意； ④，原计算错误，批改错误，不符合题意； 故选：A． 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币，前5次都正面朝上，第6次正面朝上的概率是（ ） A. 不能确定 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 利用概率的意义直接得出答案． 【详解】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上， 则他第6次抛掷这枚硬币，有两种等可能的结果：正面向上与反面向上． 正面朝上的概率为：， 故选D． 8. 如图，边长的正方形纸片，剪去一个边长为m的正方形之后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形宽为2，则长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何图形与平方差公式的应用，先求出剩余部分的面积，而拼成的长方形宽为2，利用长方形的面积公式即可求出长，即可作答． 【详解】解：依题意得，剩余部分面积为：， 而拼成的长方形宽为2， 则长是， 故选：C． 9. 两个三角尺如图摆放，直角顶点C与F重合，，则的度数是（ ） A. 90° B. 95° C. 100° D. 105° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：如图，过点F作， 由题意，得： ∵， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】 10. “杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题关键是找出规律，并用规律求解． 先写出前几个式子，再用表示出，然后求出，即可得出其末位数字． 【详解】解：第n行的数字之和记为， 第1行的数字之和记为， 第2行的数字之和记为， 第3行数字之和记为， 第4行的数字之和记为， 第5行数字之和记为， … 依次类推，第n行的数字之和记为， 所以， 即的末位数字是2， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加的法则即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12. 影院正在热映《哪吒2》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇数属于______事件．（填“不可能”“随机”或“必然”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件分类的概念“随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；必然事件是在一定条件下，不可能发生的事件；不可能事件是在一定条件下一定不发生的事件”，由此即可求解 ． 【详解】该票座位号码是奇数属于随机事件． 故答案为：随机． 13. 若，则的余角是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了余角的概念和计算，根据两个角的和为，这两个角互为余角，即可求解，掌握余角的概念是解题的关键． 【详解】解：， ∴的余角为， 故答案为： ． 14. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，，则______． 【答案】##125度 【解析】 【分析】利用平行线的性质和邻补角的定义求解即可． 【详解】解：如图， 则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 如图，两个正方形的边长分别为和（），如果，，那么阴影部分的面积是______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是关键．阴影部分的面积就是两个三角形的面积之和，用、的代数式表示后，整体代入，即可． 【详解】解：如图，连接， ， ． 故答案为：14． 16. 小明同学利用多项式乘多项式的知识解决多项式除多项式的问题．他在计算时，首先判断商式为一次二项式，且一次项的系数为1，因此设商式为，然后利用多项式乘多项式得：，即．所以． 请应用小明的方法计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法的逆运用，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 根据题意设商式为，通过展开并与被除式比较系数求解，即可得到答案． 【详解】解：设商式为， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共58分） 17. （1）计算：； （2）利用整式乘法公式计算：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）进行乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算即可； （2）利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 18. （1）化简：； （2）先化简再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查整式的混合运算—化简求值，重点考查了平方差公式完全平方公式和多项式乘以多项式，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解题的关键． （1）首先计算完全平方公式和多项式乘以多项式，然后合并即可； （2）先把中括号中利用平方差公式和单项式乘以多项式计算，然后合并后同类项，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 当，时，原式． 19. 将下面的推理过程及依据补充完整． 如图，点D在上，点B在上，，， 请说明． 理由：∵（已知）， （ ① ）， ∴（等量代换）． ∴ ② （ ③ ）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（ ⑤ ）． ∴（ ⑥ ）． 【答案】①对顶角相等，②，③同位角相等，两直线平行，④，⑤同旁内角互补，两直线平行，⑥两直线平行，内错角相等． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】理由：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 20. 2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n （1）表格中m的值为______，n的值为______； （2）估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； （3）若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 【答案】（1）294，0.98 （2）任抽一件该产品是不合格品的概率为0.02 （3）该工厂因不合格产品所造成的损失10400元 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握相关知识点是解题的关键． （）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （）根据抽取件数为时，合格的频率趋近于，可得估计产品合格的概率为，进而即可求解； （）用乘以不合格品的概率再乘以20即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，； 【小问2详解】 解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴估计衬衣合格的概率为， ∴估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； 【小问3详解】 解：（元）， 答：该工厂因不合格产品所造成的损失10400元． 21. 如图，线段是某个时刻太阳光（平行光线）下教学楼的影子． （1）画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示，要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，平行线的性质，三角形内角和定理． （1）作即可； （2）根据平行线的性质得到，再利用三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示为所求： 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 22. 形如，的代数式叫做完全平方式，我们经常将代数式通过配方得到完全平方式，再利用完全平方式的非负性求代数式的最大值或最小值，这种解题方法叫做配方法． 如：求的最小值． 解：． ∵不论a取何值，总是非负数，即， ∴，即当时，有最小值－4． 根据上述材料，解答下列问题： （1）若多项式是一个完全平方式，则常数______； （2）求代数式的最小值； （3）如图，在三角形中，为边上高，，，，求三角形面积的最大值． 【答案】（1）9 （2）4 （3）1 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据完全平方公式的形式求解即可； （2）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （3）首先表示出，然后根据得到，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵多项式是一个完全平方式， ∴ ∴； 【小问2详解】 ． ∵不论a取何值， ∴，即当时，有最小值4； 【小问3详解】 ∵，即， ∵， ∴． ∵，则 ∴，即当时，有最大值为1． 23. 折纸中的数学 综合实践课上，同学们探索折纸中的数学 任务一：用一张形状不规则的纸 （1）如图1，过点A折叠纸片，使得点B落在边上的处，展开得到折痕，此时______°； （2）过点D折叠纸片，使得点C落在边上的处，判断与的位置关系是______． 任务二：如图2，将长方形纸片进行两次折叠，先沿折痕向下折叠，使落在的位置，再沿折痕向上折叠，使得落在的位置，且、E、G、在同一直线上，折痕与平行吗？请说明理由． 任务三：如图3，点P是正方形纸片内一点，A，B两点分别在正方形纸片的两边上，连接AB，请用折纸的方法过点P作AB的平行线．画出折痕，并简要说明折叠方案． 【答案】任务一：（1），（2）；任务二：，理由见解析；任务三：见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图-复杂作图，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．任务一：根据折叠性质可以得到结论；任务二：根据平行线的判定与性质证明即可；任务三：过点P沿折叠纸片，使于点C；在图2的基础上，展平纸片，过点P沿折叠纸片，使折痕于点P，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4即可． 【详解】解：任务一：（1）点B落在边上的处， 点在一条直线上，且， ， 故答案为：90； （2）点B落在边上的处， 点在一条直线上，且，即， ，即， ， 故答案为：； 任务二：证明：， ， 由折叠的性质得， ， 又 ， 由折叠的性质得， ， ， ； 任务三：如图，过点P沿折叠纸片，使于点C；在图2的基础上，展平纸片，过点P沿折叠纸片，使折痕于点P，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期中七年级质量检测 数学试题 （满分100分；考试时间90分钟） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列图形中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 蔚来神玑是业界首款采用（即）车规工艺制造的高阶智能驾驶芯片，芯片和底层软件均已实现自主设计．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是（　） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. 6a B. 3a2 C. 6a2 D. 9a2 5. 如图，如果要把河流中的水引到水池中，那么在河岸的处（已知）挖渠就能使得水渠的长度最短，这样做的数学依据是（ ） A. 点到直线的距离 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 6. 甲同学做完四道整式乘法的题目后，乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（ ） 练习 ① √ ② × ③ √ ④ √ A. 第①、②题 B. 第①、④题 C. 第②、③题 D. 第③、④题 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币，前5次都正面朝上，第6次正面朝上的概率是（ ） A. 不能确定 B. C. D. 8. 如图，边长的正方形纸片，剪去一个边长为m的正方形之后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形宽为2，则长是（ ） A. B. C. D. 9. 两个三角尺如图摆放，直角顶点C与F重合，，则的度数是（ ） A. 90° B. 95° C. 100° D. 105° 10. “杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 11. 计算：______． 12. 影院正在热映《哪吒2》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇数属于______事件．（填“不可能”“随机”或“必然”） 13. 若，则的余角是_____． 14. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，，则______． 15. 如图，两个正方形边长分别为和（），如果，，那么阴影部分的面积是______． 16. 小明同学利用多项式乘多项式知识解决多项式除多项式的问题．他在计算时，首先判断商式为一次二项式，且一次项的系数为1，因此设商式为，然后利用多项式乘多项式得：，即．所以． 请应用小明的方法计算：______． 三、解答题（本题共7小题，共58分） 17. （1）计算：； （2）利用整式乘法公式计算：． 18. （1）化简：； （2）先化简再求值：，其中，． 19. 将下面的推理过程及依据补充完整． 如图，点D在上，点B在上，，， 请说明． 理由：∵（已知）， （ ① ）， ∴（等量代换）． ∴ ② （ ③ ）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（ ⑤ ）． ∴（ ⑥ ）． 20. 2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n （1）表格中m的值为______，n的值为______； （2）估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； （3）若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 21. 如图，线段是某个时刻太阳光（平行光线）下教学楼的影子． （1）画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示，要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 22. 形如，的代数式叫做完全平方式，我们经常将代数式通过配方得到完全平方式，再利用完全平方式的非负性求代数式的最大值或最小值，这种解题方法叫做配方法． 如：求的最小值． 解：． ∵不论a取何值，总是非负数，即， ∴，即当时，有最小值－4． 根据上述材料，解答下列问题： （1）若多项式是一个完全平方式，则常数______； （2）求代数式的最小值； （3）如图，在三角形中，为边上的高，，，，求三角形面积的最大值． 23. 折纸中的数学 综合实践课上，同学们探索折纸中的数学 任务一：用一张形状不规则纸 （1）如图1，过点A折叠纸片，使得点B落在边上处，展开得到折痕，此时______°； （2）过点D折叠纸片，使得点C落在边上的处，判断与的位置关系是______． 任务二：如图2，将长方形纸片进行两次折叠，先沿折痕向下折叠，使落在的位置，再沿折痕向上折叠，使得落在的位置，且、E、G、在同一直线上，折痕与平行吗？请说明理由． 任务三：如图3，点P是正方形纸片内一点，A，B两点分别在正方形纸片的两边上，连接AB，请用折纸的方法过点P作AB的平行线．画出折痕，并简要说明折叠方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$