精品解析：浙江省宁波市海曙区宁波荣安实验中学2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题

宁波荣安实验中学2024学年第二学期6月期末考试 高一年级 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 化简（ ） A. 0 B. C. D. 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5. 已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 为纯虚数 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线 10. 对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则 D. 若与相互独立，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的众数为___________； 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________． 14. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，，. （1）若，求. （2）若与共线，求m的值 16. 如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求证：. 17. 某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． （1）求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？ （2）由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） （3）在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 18. 在四棱锥中， 底面是边长为2的正方形， 平面. （1）求证：； （2）若与底面所成的角为45°； ①求点B到平面的距离； ②求二面角的余弦值. 19. 三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. （1）求角B的大小; （2）若，求的值； （3）若点G是三角形的重心，求 的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波荣安实验中学2024学年第二学期6月期末考试 高一年级 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的定义直接求解即可. 【详解】由题知，复数的虚部为. 故选：B 2. 化简（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法运算法则即可求解. 【详解】, 故选：B 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式计算概率 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，点数有6种可能:，其中是偶数的有3种:，概率为， 故选：A． 4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积. 【详解】由的直观图可知原图中，， 所以的面积为. 故选：C 5. 已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，利用线面平行的性质及线面垂直的性质得到答案. 【详解】A选项，若，，则或相交或异面，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，若，不妨设，则， 又，，则，所以，C正确； D选项，若，，则，或相交，D错误. 故选：C 6. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式可求. 【详解】圆锥母线， 则圆锥的表面积， 故选：D. 7. 投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求事件的概率转化为求对立事件的概率，再利用公式相减即可. 【详解】由题意得事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生， 而事件不发生的概率为，事件不发生的概率为， 所以事件，都不发生的概率为， 故事件，中至少有一个发生的概率是，故D正确. 故选：D 8. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据边角互化得，再结合，化简整理得，进而得或，即的形状一定是等腰或直角三角形. 【详解】解：因为， 所以由正弦定理边角互化得， 因为， ， 所以， 整理得 所以， 所以或， 因为， 所以或，即的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 为纯虚数 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【解析】 【分析】借助复数的加减、乘除运算法则，复数的几何意义与共轭复数的定义逐项判断即可得. 【详解】对于A：，故为纯虚数，故A正确； 对于B：，其在复平面内对应的点在轴正半轴上，故B错误； 对于C：， ，故，故C错误； 对于D：令，，则由， 可得，即， 故复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，故D正确. 故选：AD. 10. 对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则 D. 若与相互独立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB，由，则，即可判断C，由相互独立事件的定义，即可判断D 【详解】因为，， 若与互斥，则，，故A错误，B正确； 若，则，所以，故C错误； 若与相互独立，则，故D正确； 故选：BD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B：分别取，的中点H，G，连接，，，；证明平面平面，从而得到点F的轨迹为线段GH.选项C：根据选项B可得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，从而可得到三棱锥的体积为定值.选项D：设为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面， 从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高. 【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 可知正方体的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得， 且平面，平面，所以∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面， 所以点F的轨迹为线段GH，故B正确； 对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面， 则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，平面平面，所以． 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点． 在四棱锥中，侧棱最长，且． 设棱锥的高为h， 因为，所以四边形为菱形， 所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又， 则，， 所以，解得． 综上，可知长度的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的众数为___________； 【答案】5 【解析】 【分析】根据众数的定义确定已知数据的众数即可. 【详解】由题设，给定数据中5出现次数最多，故众数为5. 故答案为：5 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据投影向量的坐标公式计算即可. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为： 14. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【详解】以为原点，，所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，   设，， ，， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，，. （1）若，求. （2）若与共线，求m的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加法和模长的坐标运算直接求解即可； （2）根据向量减法的坐标运算和向量共线可构造方程求得. 【小问1详解】 当时，，.. 【小问2详解】 又与共线， . 解得：. 16. 如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1） 在正方体中， 又平面，平面，所以平面； （2） 连接、，在正方体中为正方形， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组． （1）求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？ （2）由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替） （3）在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求x的值，进而估算人数； （2）根据频率分布直方图求平均数，分析可知，结合中位数的概念运算求解； （3）求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 则， 所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人. 【小问2详解】 由题意可得：， 又因为， 可知，则解得：. 【小问3详解】 中的人数：，分别记为； 中的人数：，分别记为 中的人数：，记为 则任选两人的情况有 ，共种， 其中来自同一组有 ，共种， 所以两个人来自同一组的概率为. 18. 在四棱锥中， 底面是边长为2的正方形， 平面. （1）求证：； （2）若与底面所成的角为45°； ①求点B到平面的距离； ②求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为底面是正方形，可得， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得和，得到平面，进而证得； （2）①解法1、记点到平面的距离为，根据，列出方程，即可求得点到平面的距离；解法2、由平面，转化为点到平面的距离，在直角中，结合三角形的面积相等，即可求解； ②过点作过点作，证得，得到二面角的平面角为，在直角中，求得，进而求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①解法1、因为平面，平面，所以， 所以与平面所成的角为， 所以，且，所以，所以， 因为正方形边长为，所以，所以， 又因为平面，平面，所以，所以， 在中，，所以， 记点到平面的距离为，由，可得， 所以点到平面的距离为. 解法2、因为平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 过点作，由平面平面，且平面， 所以平面，即为点到平面的距离， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离，设距离为， 在直角中，，，， 由，可得，即点到平面的距离为. ②过点作于点， 设交于点，过点作于点，连接， 由①知，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为，所以， 因为为的中点，，所以， 在正方形中，， 所以，在直角中，，可得， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】 19. 三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. （1）求角B的大小; （2）若，求的值； （3）若点G是三角形的重心，求 的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值； （3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以. 【小问2详解】 如图， 由题意可得， 因为三点共线，故可设  ， 又因三点共线，故， 所以，故. 【小问3详解】 因为 所以， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即. 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $