天津市新华中学2024-2025学年高三下学期高考校模拟2数学试题

2024－2025学年高三级部第二学期高考校模拟2数学学科 一、单选题（9小题，共45分） 1. 设全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 具有相关关系的变量满足的线性回归直线方程为，的数据如下： -1 1 3 5 0 0.8 1.2 2 求的最小值 A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 5. 下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ，，， B. ，， C. ， D. ， 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D. 在上的最小值为 9. 如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（6小题，共30分） 10. 已知为虚数单位，，则的虚部为______． 11. 展开式中第4项的系数是__________. 12. F是抛物线的焦点，P是C上且位于第一象限内的点，点P在C的准线上的射影为Q，且，则外接圆的方程为_____. 13. 某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有__________种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为__________． 14. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点满足，则_______；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是_________． 15. 设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为_____． 三、解答题（5小题，共75分） 16. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 17. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 （1）求的方程. （2）证明：的斜率为定值. （3）设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 19. 已知等差数列和等比数列满足：，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知函数. （1）当时，设的一个极值点为． （i）判断是否成立，并说明理由；（已知） （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； （2）当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”. 2024－2025学年高三级部第二学期高考校模拟2数学学科 一、单选题（9小题，共45分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 二、填空题（6小题，共30分） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. 54 ②. ## 【14题答案】 【答案】 ①. ②. [1，2] 【15题答案】 【答案】 三、解答题（5小题，共75分） 【16题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【17题答案】 【答案】（1）证明：设，为中点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 取的中点，底面是等腰梯形，. 连接 ， 在中，， 在中，. ， ，且平面， 平面； （2）； （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）设的方程为，，. 联立方程组整理得， 即， 则，， ， 整理得，则或， 若，则，则过点，不符合题意， 故，即的斜率为定值. （3） 【19题答案】 【答案】（1），； （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1）由题意得， 当时，，下面我们开始研究各个小问， （i）因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解， 故的一个极值点满足， 所以； （ii）设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根， 且满足，， 所以， 因为，，， 则，由，可得， 故得证. （2）由题意得， 当时，， 设对应的切点为，， 对应的切点为，， 由于，所以，， 由余弦函数的周期性，只要考虑的情形， 又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形， 则，， 其中，得到， 又，， 即，， 当时，，， 令（），则，， 在上单调递减，又，所以， 所以，此时，则， 故得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $