3.4 二元一次方程组及其解法 课件 2025—2026学年沪科版七年级数学上册

一次方程与方程组 3 第 章 3.4 二元一次方程组及其解法 3.4 二元一次方程组及其解法 知识回顾 3.4 二元一次方程组及其解法 “鸡免同笼”是我国古代数学著作《孙子算经》上的一道题。今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何. 新课导入 3.4 二元一次方程组及其解法 3 1.通过从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，进一步体会方程是有效刻画现实世界的数学模型，体会代数方法的优越性和多样性. 2.了解二元一次方程组及二元一次方程组的解的概念. 3.掌握消元法，会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组 4.了解“消元”的思想,体会“化未知为已知”的转化思想在数学中的应用. 学习目标 3.4 二元一次方程组及其解法 设鸡有x只，免有y只，由“上有三十五头”，得 x+y=35. ① 又由“下有九十四足”，得 2x+4y=94 ② 这里的x，y既要满足“上有三十五头”, 又要满足“下有九十四足”,就是说它必须同时满足上面①②两个方程。因此，我们把上面两个方程加上括号联立在一起，写成 3.4 二元一次方程组及其解法 像①和②这样，含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程. 几个方程联立在一起，称为方程组. 由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组. 3.4 二元一次方程组及其解法 某班同学在植树节时植樟树和白杨树共50棵. 已知樟树苗每棵10元，白杨树苗每棵3元，购买这些树苗用了290元. 樟树苗、白杨树苗各买了多少棵? 设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，可得二元一次方程组 3.4 二元一次方程组及其解法 1.根据题意，列出二元一次方程组： （1）小华买了60分与80分的邮票共10枚，花了7元2角，那么60分和80分的邮票各买了多少枚? 解：设60分的邮票买了x枚，80分的邮票买了y枚. 根据题意，得 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 1.根据题意，列出二元一次方程组： （2）植树节七(1)班和七(2)班共植树138棵，七(1)班植树数量比七(2)班的多8棵. 两班分别植树多少棵? 解：设七(1)班植树x棵，七(2)班植树y棵. 根据题意，得 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 1.根据题意，列出二元一次方程组： (3)将一摞笔记本分给若干同学. 每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本. 共有多少本笔记本、多少个同学? 解：设共有x本笔记本，y个同学. 根据题意，得 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 2.请你根据生活实例，编一道应用二元一次方程组的问题，并列出方程组. 解：小芳花了20元钱买了4支钢笔和5支铅笔，其中每支钢笔比铅笔贵3.2元，求钢笔、铅笔各多少钱一支. 解：设钢笔x元一支，铅笔y元一支. 根据题意，得 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 由①，得 y=35－x, ③ 这一步就是用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数. 3.4 二元一次方程组及其解法 把③代入②，得 2x＋4(35－x)=94 这是一个一元一次方程. 解方程，得 x=23. 把x=23代入③，得 y=12. 3.4 二元一次方程组及其解法 把x=23，y=12代入原方程组的两个方程中检验，两个方程都成立. 所以它们是这个二元一次方程组的解. 我们将其写成如下形式： x=23, y=12. 即笼中有鸡 23 只，兔子 12 只. 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值,叫作二元一次方程组的解. 3.4 二元一次方程组及其解法 上面解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就是要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化成解一元一次方程. 从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法. 3.4 二元一次方程组及其解法 例1 解方程组: 分析：考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. 方程②中x的系数是1，可以先将方程②变形,用含y的代数式表示x，再代入方程①求解. 典例精析 3.4 二元一次方程组及其解法 解 由②，得 x=3－2y ③ 把③代人①，得 2(3－2y)＋3y=－7 －y = －13. y = 13 把 y=13 代入③，得 x=3－2×13 x=－23. 所以 思考：本节例1中可以用x表示y吗？试试看. 3.4 二元一次方程组及其解法 1.把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式： （1）3x－2y=4； （2）5x－y=5； （3）5x+2y+1=0. 解：（1） ； （3） . （2）y=5x－5； 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 2.用代入法解下列方程组： ① ② 解：把②代入①，得y＋10＋y=300，2y=290，y=145. 把y=145代入②，得x=145＋10，x=155， 所以 ① ② 解：由①，得x=50－y， ③ 把③代入②，得10(50－y)＋3y=290，解得y=30. 把y=30代入③，得x=50－30，x=20， 所以 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 2.用代入法解下列方程组： 解：由②，得y = 2x， ③ 把③代入①，得3x－2×2x =10， 解得x=－10. 把 x=－10代入③， 得y =2×(－10) ，y= －20， 所以 ① ② ① ② 解: 由①，得3m = 7＋4n，m= (7＋4n)，③ 把③代入②，得9×(7＋4n) －10n＋23=0 解得n=－22. 把 n=－22代入③， 得m = [7＋4×(－22)]， m= －27, 所以 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 3.已知关于x，y的二元一次方程组 的解为求a，b的值. 解：把 代入原方程组，整理，得 解得： 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 方程②的两边分别减去方程①的两边，得 2y－y=47－35 这样也得到一个一元一次方程. 根据等式的基本性质，可这样来考虑. ① ② 3.4 二元一次方程组及其解法 解方程，得 y=12 把y=12代入①，得 x＋12=35 解方程，得 x=23. 所以 像这种把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减消元法，简称加减法. 3.4 二元一次方程组及其解法 例2 解方程组: 分析：在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减，都不能消去未知数x或y，怎么办？我们可以利用等式的基本性质2对其中一个(或两个)方程进行变形，使得这个方程组中x或y的系数相等或互为相反数，再来求解. 典例精析 3.4 二元一次方程组及其解法 典例精析 3.4 二元一次方程组及其解法 例3 解方程组: 分析：比较方程组中的两个方程，y的系数的绝对值比较小，①×3.②×2，就可使y的系数绝对值相等，再用加减法即可消去y. 典例精析 3.4 二元一次方程组及其解法 解：①×3，得12x＋6y=－15. ③ ②×2得，10x－6y=－18 ④ ③＋④， 得22x=－33 x=－. 把x=－代入①，得－6＋2y=－5 y=－ 所以 典例精析 3.4 二元一次方程组及其解法 加减消元法通过“把两个方程相加减”实现消元，加减的条件是“两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数”. 3.4 二元一次方程组及其解法 1.用加减法解下列方程组： ① ② ① ② 解：①－②，得－y=6，y=－6， 把y=－6代入②，得x=－6.5， 所以 解：②×2＋①，得7x－7=0，x=1， 把x=1代入①，得z=4， 所以 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 1.用加减法解下列方程组： 解：①×2－②，得5x=60，x=12， 把x=12代入②，得y=， 所以 ① ② ① ② 解：②×9－①，得x=80，x=3， 把x=3代入①，得y=6， 所以 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 两种方法的基本思路都是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程. 用代入消元法解方程组的一般步骤 (1)变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. (2)代入：将变形后的表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. (3)求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 3.4 二元一次方程组及其解法 (4)回代：将求得的未知数的值代入变形后的表达式中，求出另一个未知数的值. (5)写解：把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来. 用加减消元法解方程组的一般步骤： (1)变形：利用等式的基本性质对方程进行变形，使其中一个未知数的系数化成绝对值相等的形式. (2)加减：通过相加(或相减)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程. (3)求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. (4)回代：将这个求得的未知数的值代入原方程组中的较简单的一个方程中，求得另一个未知数的值. (5)写解：把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来. 3.4 二元一次方程组及其解法 例4 解方程组: 典例精析 3.4 二元一次方程组及其解法 代入法和加减法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程. 我们应该根据方程组的具体情况，选择合适的解法. 典例精析 3.4 二元一次方程组及其解法 1.解下列方程组： ① ② ① ② 解：将①化简，得8x－9y=2， ③ ②×3，得18x－9y=12， ④ ④－③，得10x=10，x=1 把x=1代入②，得y=， 所以 解：将①化简，得7m＋n=24， ③ 将②化简，12m＋n=24， ④ ④－③，得5m=0，m=0, 把m=0代入③，得n=24， 所以 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 1.解下列方程组： ① ② ① ② 解：将①＋②化简，得x＋y=4， ③ 将①－②化简，得x－y= －2， ④ ③＋④，得2x=2，x=1, 把x=1代入③，得y=3， 所以 解：将②化简，得x＋2y=20， ③ ③－①，得y=－40， 把y=－40代入①，得x=100， 所以 当堂练习 3.4 二元一次方程组及其解法 课堂小结 3.4 二元一次方程组及其解法 谢谢观看 3.4 二元一次方程组及其解法 $$