精品解析：云南省大理州祥云县第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

祥云一中2027届高一年级下学期5月月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次不等式的求解与交集的定义求解即可. 【详解】由题意得，，所以． 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，利用复数的乘法运算法则即可得出答案. 【详解】由题意可得. 故选：B. 3. 已知是周期为4的函数，且时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故选：A. 4. 设，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，满足，但是不符合，故不是的一个充分条件，故A错误； 对于B，，即，即，所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，，即，故是充要条件，故C错误； 对于D，，即，，故是的一个充分不必要条件，故D正确. 故选：D 5. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，然后利用倍角公式求解即可. 【详解】因为为锐角， 所以， 又， 所以， , 故选：B. 6. 已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的定义及运算律，结合投影向量的定义求解. 【详解】由向量与的夹角为，且， 得， 则， 所以在上的投影向量为. 故选：D 7. 已知某八面体是由两个共底面且棱长均相等的四棱锥拼接而成，其顶点都在同一个球面上，则该八面体与球的体积之比为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意判断为该八面体为正八面体，设棱长为2，结合几何关系求出外接球半径，再计算体积比可得. 【详解】根据题意可知该八面体为正八面体， 设该八面体的棱长为2，则共底面的两四棱锥的底面中心到底面正方形的顶点的距离为， 所以两四棱锥的高均为， 所以该八面体的外接球的球心为底面正方形的中心，且半径为， 所以该八面体与球的体积之比为. 故选：B． 8. 已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将向量对应的复数表示为，再由给定信息求出向量对应的复数即可. 【详解】设射线为终边的角为，而，则， ，， 向量对应复数， 所以向量的坐标为. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数满足，则（ ） A. B. C D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的模的运算，共轭复数的性质，复数的乘除法运算逐项分析即可. 【详解】设， 由，则， 所以，即，故A正确； 代入可得，，所以，故B错误； 由，故C正确； 由，故D错误. 故选：AC. 10. 某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，，，，，，，，，则（ ） A. 中位数是88.5 B. 上四分位数是91 C. 下四分位数80 D. 极差是30 【答案】BCD 【解析】 【分析】由中位数，下四分位数，上四分位数，极差概念结合题目数据可得答案. 【详解】将数据从小到大排列，有，，，，，，，，. 对于A，因数据个数为9，则中位数为第5个数据，即89，故A错误； 对于B，上四分位数为分位数，因，则上四分位数为第7个数据， 即91，故B正确； 对于C，下四分位数为分位数，因，则下四分位数为第3个数据， 即80，故C正确； 对于D，极差为，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 当时，的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换得到，再由函数图象的变换得到，结合余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项即可求解. 【详解】函数， 对于A选项：函数的最小正周期为，所以A选项正确； 对于B选项：函数的定义域为，， 则函数是上的偶函数，所以B选项错误； 由题意，将函数的图象向右平移个单位长度得到：， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到：， 即函数， 对于C选项：令（），解得：（）， 当时，，此时， 即函数的图象关于点对称，所以C选项正确； 对于D选项：当时，， 由余弦函数的图象和性质得：，即， 所以D选项正确. 故选：ACD. 第Ⅰ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的内角所对的边分别是，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解. 【详解】依据正弦定理，由，得， 两边同乘，得，解得， 又因为，所以． 故答案为：. 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 14. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，. （1）求向量与的夹角； （2）若，且.求及. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积运算律和数量积定义即可求出； （2）根据向量数量积运算律求得，再平方计算即可. 【小问1详解】 由，可得，因为， 所以，解得，，所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 整理得，解得，所以， 所以 ， 所以. 16. 某市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值以及所有样本的平均用电量；（每组数据用该组的区间中点值作代表） （2）该市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值（保留整数），并说明理由． 【答案】（1），395千瓦时． （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求，再根据频率分布直方图求平均数； （2）根据频率分布直方图求第85百分位数. 【小问1详解】 由题意有， 解得， 则所有样本的平均用电量为 千瓦时． 【小问2详解】 前5组的频率和为， 前6组的频率和为， ， ， 解得． 17. 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. （1）求证：平面； （2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）利用柱体和锥体的体积公式，分别求得和，根据题意，结合，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示， 在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； 【小问2详解】 解：在正三棱柱中，因为，且， 可得正三棱柱的体积为, 又由三棱锥的体积为， 所以剩余部分的体积为. 18. 已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C对边，. （1）求角； （2）若，D为中点，，求b； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形内角和定理和两角和的三角函数即可求解； （2）由已知可得，两边完全平方即可求解； （3）由正弦定理可得，，借助三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理，得， 所以， 所以， 即， 因为，所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为D为中点，所以， 所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理：， 所以，， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以， 所以，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 19. 德国数学家狄利克雷（1805-1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的一个函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集. （1）已知函数. ①判断函数的奇偶性（直接写结果），并求的值； ②记函数，求的零点； （2）对任意集合，定义.已知集合，证明：对，（其中符号表示不大于的最大整数）. 【答案】（1）①偶函数，；②0 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据奇偶性的定义判断即可，再根据函数解析式计算可得；②首先求出的解析式，再令，转化为关于的一元二次方程，求出的值，再代入计算可得； （2）当时分，；，；，；三种情况讨论，分别求出，，即可得到，当，同理可证 【小问1详解】 ①函数是偶函数， 函数的定义域为， 若，则，所以； 若，则，所以； 即对任意的，都有，所以为偶函数； 因为， 所以； ②，， 则， 令，则， 令解得或（舍去）， 由得，所以，即的零点为. 【小问2详解】 当时，， 若，时，，， 则， 若，时，，，则， 若，时，，，则， 当时，则，，则， ， 综上，对，. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第二问关键是分类讨论全面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 祥云一中2027届高一年级下学期5月月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2 已知，则（ ） A B. C. D. 3. 已知是周期为4的函数，且时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 4. 设，则的一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 5. 已知为锐角，且，则（ ） A B. C. D. 6. 已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某八面体是由两个共底面且棱长均相等的四棱锥拼接而成，其顶点都在同一个球面上，则该八面体与球的体积之比为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，，，，，，，，，则（ ） A. 中位数是88.5 B. 上四分位数是91 C. 下四分位数是80 D. 极差是30 11. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ） A. 最小正周期为 B. 为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 当时，的取值范围为 第Ⅰ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的内角所对的边分别是，且，，则______． 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 14. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，. （1）求向量与的夹角； （2）若，且.求及. 16. 某市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照，，，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值以及所有样本的平均用电量；（每组数据用该组的区间中点值作代表） （2）该市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值（保留整数），并说明理由． 17. 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. （1）求证：平面； （2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 18. 已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. （1）求角； （2）若，D为中点，，求b； （3）若，求的取值范围. 19. 德国数学家狄利克雷（1805-1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的一个函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集. （1）已知函数. ①判断函数的奇偶性（直接写结果），并求的值； ②记函数，求的零点； （2）对任意集合，定义.已知集合，证明：对，（其中符号表示不大于的最大整数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$