精品解析：云南省大理白族自治州2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

云南省大理白族自治州2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占，必修第二册第六、七、八、九章占． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某工厂生产A，B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零件6000件．质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行质检，则B型号的零件被抽到的数量是（ ） A. 240 B. 200 C. 300 D. 100 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正四棱锥中，是棱PC的中点，，则异面直线PD与BE所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在上奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在所在平面内，且，若，则（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 我国在2024年的全国发电装机容量为33.5亿千瓦，包括水电、火电、核电、风电、太阳能发电，其占比如图所示，根据此扇形图，下列说法错误的是（ ） A. 2024年我国太阳能发电装机容量部分的扇形圆心角小于 B. 2024年我国火电发电装机容量超过15亿千瓦 C. 2024年我国火电发电装机容量超过新能源（太阳能、风电、核电）的发电装机容量 D. 若2025年核电规模要达到2024年全国发电装机容量规模的，则还要再建设的核电的发电装机容量为3.35亿千瓦 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息，石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同.如图2，设，则下列说法正确的是（ ） A. 该多面体的表面积为 B. 过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 C. 设O为平面截该多面体所得截面多边形内一点（包括边界），则的取值范围为 D. 该多面体外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则____________． 13. 小华为测量旗杆高度OP，在与旗杆底部同一水平面上选取相距20米的A，B（在线段OB上）两处作为测量点，在A处测得旗杆顶部的仰角为，在处测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度____________米． 14. 已知函数在上恰有5个零点，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 16. 已知某校组织了一次安全知识竞赛，所有参赛学生得分（满分100分）都在［70，100］内．为了解参赛学生的得分情况，现从参赛学生中随机抽取100名学生，统计其竞赛得分，按分成6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这100名学生竞赛得分的第75百分位数； （3）估计这100名学生竞赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，是棱BC的中点． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． 18. 已知定义在上的奇函数． （1）求实数a，b的值． （2）用定义法证明：在上单调递增． （3）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． （1）证明：平面PAC． （2）若，求三棱锥体积． （3）若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省大理白族自治州2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占，必修第二册第六、七、八、九章占． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简再结合复数的几何意义得出对应点即可求解. 【详解】因为，所以在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A. 2. 某工厂生产A，B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零件6000件．质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行质检，则B型号的零件被抽到的数量是（ ） A. 240 B. 200 C. 300 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样的定义列出比例式即可求解. 【详解】由题意可得B型号的零件被抽到的数量是． 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】化简不等式，再根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由，得，即，则或， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 4. 若是关于的方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用韦达定理可得答案. 【详解】由题意可得关于的方程的另一个根为， 则，解得． 故选：D. 5. 在正四棱锥中，是棱PC的中点，，则异面直线PD与BE所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取棱CD的中点，连接EF，BF，BE，分析可得是异面直线PD与BE所成的角或补角，进而结合勾股定理及余弦定理求解即可. 【详解】取棱CD的中点，连接EF，BF，BE， 因为E，F分别是棱PC，CD的中点，所以， 则是异面直线PD与BE所成的角或补角． 设，则，， 则． 因为，所以， 所以， 则． 故选：C. 6. 已知为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数平方关系求得，再利用两角差正弦求解. 【详解】因为为钝角，所以，所以，则， 因为，所以， 则． 故选：D 7. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 8. 已知点在所在平面内，且，若，则（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】利用表示，再结合投影即可得出，进而求解. 【详解】因为，所以， 所以，则， 因为，所以是的外接圆的圆心， 所以， 则. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 我国在2024年的全国发电装机容量为33.5亿千瓦，包括水电、火电、核电、风电、太阳能发电，其占比如图所示，根据此扇形图，下列说法错误的是（ ） A. 2024年我国太阳能发电装机容量部分的扇形圆心角小于 B. 2024年我国火电发电装机容量超过15亿千瓦 C. 2024年我国火电发电装机容量超过新能源（太阳能、风电、核电）的发电装机容量 D. 若2025年核电规模要达到2024年全国发电装机容量规模的，则还要再建设的核电的发电装机容量为3.35亿千瓦 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据扇形图结合水电、火电、核电、风电、太阳占比计算判断各个选项即可. 详解】太阳能发电装机容量占，超过，则扇形圆心角大于，A错误． 2024年我国火电发电装机容量占，因为，所以B错误． 2024年我国火电发电装机容量占，新能源（太阳能、风电、核电）的发电装机容量占比和为，C错误． 还要再建设的核电的发电装机容量为亿千瓦，所以D正确． 故选：ABC. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式和重要不等式，分别判断各选项的正误. 【详解】因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以，A错误． 因为，所以．因为，所以0，解得，B正确． 因为，所以，所以．因为2，所以，即，C正确． 因为，所以，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：BCD. 11. 如图1，某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息，石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同.如图2，设，则下列说法正确的是（ ） A. 该多面体的表面积为 B. 过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 C. 设O为平面截该多面体所得截面多边形内一点（包括边界），则的取值范围为 D. 该多面体外接球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据多面体的表面积公式可判断A选项；做出截面，结合截面形状及向量数量积的坐标运算可判断BC选项；根据外接球性质及体积公式即可判断D. 【详解】对于A，由，得正方体的棱长， 所以该多面体的表面积，A正确； 对于B，由平面的性质可知过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面是边长为的正六边形，其面积为，B正确； 对于C，以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设点，且，， 则，， 所以，即，C错误； 对于D，由多面体性质可知其外接球球心为该多面体的体心，即正方体体心，设为为， 外接球的半径为， 所以该多面体外接球的体积为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标运算，计算的坐标，结合向量垂直的关系列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得． 故答案为：. 13. 小华为测量旗杆的高度OP，在与旗杆底部同一水平面上选取相距20米的A，B（在线段OB上）两处作为测量点，在A处测得旗杆顶部的仰角为，在处测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度____________米． 【答案】 【解析】 【分析】设米，分别，中，，用表示出来，从而得到方程，可得答案. 【详解】在A处测得旗杆顶部的仰角为，即， 在处测得旗杆顶部的仰角为，即， 设米，则米，米， 从而，解得． 故答案为： 14. 已知函数在上恰有5个零点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出的范围，结合余弦函数的图象可得. 【详解】因为，且，所以， 结合余弦函数的图象可知，欲使函数在上恰有5个零点， 则，解得． 故的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，结合三角函数的基本关系式，即可求解； （2）由（1）得，利用余弦定理和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得，所以， 又由，可得，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1），可得， 由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立， 所以，可得， 所以的面积，即面积的最大值为. 16. 已知某校组织了一次安全知识竞赛，所有参赛学生的得分（满分100分）都在［70，100］内．为了解参赛学生的得分情况，现从参赛学生中随机抽取100名学生，统计其竞赛得分，按分成6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这100名学生竞赛得分第75百分位数； （3）估计这100名学生竞赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1） （2）92分 （3）87分 【解析】 【分析】（1）利用面积和为即可计算； （2）利用百分位数的定义即可； （3）利用平均数的定义. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得 【小问2详解】 因为， 所以这100名学生竞赛得分的第75百分位数在内． 设这100名学生竞赛得分的第75百分位数为， 则，解得， 即这100名学生竞赛得分的第75百分位数的估计值为92分． 【小问3详解】 这100名学生竞赛得分的平均数的估计值为 分． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，是棱BC的中点． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）利用三棱锥的体积公式，结合等体积法求出点到平面距离. 【小问1详解】 连接，交于点，连接EF． 由棱柱的性质知四边形是平行四边形，则为线段的中点， 而是棱BC的中点，则，又平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 由是棱BC的中点，得，则的面积， 三棱锥的体积， 由直棱柱的定义得，则， 由四边形ABCD是矩形，得，则， 则的面积， 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积， 由，得，所以. 18. 已知定义在上的奇函数． （1）求实数a，b的值． （2）用定义法证明：在上单调递增． （3）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义建立关于参数的方程组，求解并验证即得参数值； （2）利用函数的单调性定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式，将其化成二次函数在给定区间上的恒成立问题，数形结合列出不等式即可求得参数范围. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以 即解得． 经验证符合题意. 【小问2详解】 由（1）可知． 任取，则 因为，所以，所以， 则在上单调递增. 【小问3详解】 由，得， 因为为奇函数，所以， 因为在上单调递增，所以，即， 因为对任意，关于的不等式恒成立， 即关于不等式在上恒成立， 故 解得，即实数的取值范围是． 19. 如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． （1）证明：平面PAC． （2）若，求三棱锥的体积． （3）若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）利用棱锥的体积公式计算即可； （3）作出二面角的平面角，再结合三角函数值求出的长度即可判断. 【小问1详解】 如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点，连接CF． 因为，所以， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且，所以平面 【小问2详解】 如图2，取棱AC的中点，连接PG， 由（1）可知平面PAC，且平面ABC，则平面平面ABC， 因为，且为线段AC的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积． 【小问3详解】 假设存在满足条件的点． 如图2，作，垂足为，作，垂足为． 由（2）可知平面平面ABC，又，且平面平面， 所以EH平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，且平面，，所以平面EHK． 因为平面EHK，所以，则为二面角的平面角． 设，则． 因为，且，所以，则． 易证，则，故． 由题意可得，则． 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 所以， 则，解得，故． 因为在棱PC上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$