云南省昆明市东川区高级中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

**基本信息** 高一下数学月考试卷涵盖集合、复数、立体几何、函数、三角函数等核心知识，通过基础题（如集合运算）与综合题（如四棱锥证明）的梯度设计，考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）及语言（模型意识），适配阶段性诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、复数模、三棱柱容器几何体识别等|基础题考查抽象能力，如第4题向量夹角结合单位向量定义| |多选题|3题|三角函数定义、正方体中异面直线判断等|第11题解三角形结论判断，培养推理意识| |填空题|3题|函数求值、圆台体积、新定义最值|第14题最大者定义求最值，发展创新意识| |解答题|5题|正四棱柱面面垂直证明、函数图像与不等式、四棱锥线面角计算等|第18题线面垂直证明与线面角计算，体现空间观念与逻辑推理|

《东川高级中学高一下学期数学第二次月考数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B A D C D AD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】由，，则， 又，故. 2．B 【详解】依题意，，所以. 3．C 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形，又平面平面， 平面分别与平面和相交于，所以，同理， 又，所以互相平行，所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 4．B 【分析】根据题意，利用向量数量积的运算，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量为单位向量，可得， 因为，可得， 解得，所以， 又因为，可得，所以与的夹角为. 5．A 【详解】因为为奇函数，且时，， 所以.故选：A 6．D 【分析】根据对数函数的单调性和二次函数的单调性计算即可. 【详解】由题得，解得．因为在定义域内单调递减， 所以当函数在定义域内单调递减时，函数单调递增， 在定义域内，函数的单调递减区间为， 故函数的单调递增区间是． 故选：D． 7．C 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解. 【详解】由，得， 即，所以. 所以 . 8．D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令，因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故选：D. 9．AD 【分析】由题意可判断角的终边落在第三象限，求出，，利用诱导公式即可得解. 【详解】点的纵坐标为，且．角的终边落在第三象限， 又，（负根舍去），，， ，，， 所以AD正确，BC错误. 10．ABD 【分析】根据平行直线、异面直线的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A，B中平行，D中直线与相交（或），即直线与共面，均不是异面直线；C中的直线与是两条既不平行，又不相交的直线，即直线与是异面直线．故选：ABD 11．ABD 【分析】利用正弦定理判断A；余弦定理判断角C，然后可判断B；举反例可判断C；利用诱导公式和正弦函数的单调性可判断D.. 【详解】对于A，若，，在中，由正弦定理可得， 则，故选项A正确； 对于B，若，则由余弦定理可得，， 因为，所以角为锐角，所以角或有可能是直角， 则可能是直角三角形，故选项B正确； 对于C，若，由正弦定理可得，即得，并不能得出，故选项C错误；对于D，因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，即， 同理，则 ，故选项D正确， 故选：ABD. 12． 【详解】因为， 所以 13． 【分析】首先求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为，轴截面为梯形，如图，   ，过作的垂线，垂足为，则，由勾股定理知，即圆台的高为3， 所以圆台的体积为，故答案为：. 14．9 【分析】令，根据的定义，通过配凑系数法，结合条件，求得的最小值； 【详解】令，则．为非负实数，且，，． 且当时，的最小值为9. 15．(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用正四棱柱的性质可得线线平行，再证明线面平行，即可证明面面平行； （2）利用正四棱柱的性质可得线面垂直和线线垂直，再通过线面垂直证明面面垂直即可. 【详解】（1） 由正四棱柱性质可得：， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）连接，由正四棱柱可知，平面，因为平面，所以，又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 16．(1)图象见解析，单调减区间为，最大值为4； (2)或； (3). 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图像，并根据图像求单调递减区间和最值； （2）分段求解不等式，再求并集； （3）根据图像，画出与有两个交点，求k的取值范围. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象： 则函数的单调减区间为 当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以，综上可知，或， 所以不等式的解集为或； 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得，即，解得， 因为，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，且交于，所以平面. （3）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面，则为直线与平面所成角， 其中，故，因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 19．(1) (2)（i）单调递增区间为，单调递减区间为；（ii） 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可； （2）（i）由题意易得，可得，，再结合正弦函数的单调性求解即可； （ii）先求出的取值范围，进而求解即可. 【详解】（1）因为的最小正周期为，所以，得. （2）（i）因为直线是曲线的一条对称轴，所以，则.又，所以，则，. 令，得. 令，得. 可得的单调递增区间为，单调递减区间为. （ii）由 . 因为，所以，则， 则. 由，得，则， 则. 由题可知，则，解得， 则A的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东川高级中学高一下学期数学第二次月考试题 一、单选题 1．设全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则 A．5 B．3 C． D． 3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是 A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 4．已知单位向量满足则与的夹角为 A．30° B．60° C．120° D．150° 5．已知函数为奇函数，且时，，则 A． B． C． D． 6．函数的单调递增区间为 A． B． C． D． 7．已知，则 A． B． C． D． 8．函数在区间内有零点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题 9．已知角的终边经过点，且，则 A． B． C． D． 10．点、、、分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则下图中，直线与不是异面直线的是 A．  B．  C．  D．   11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有 A．若 则 B．若 则可能是直角三角形 C．若 则 D．若  是锐角三角形， 三、填空题 12．已知函数，则_____． 13．圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________. 14．对于实数x、y、z，记是x、y、z中的最大者，例如：，，．若非负实数a、b满足，则的最小值是______． 四、解答题-问答题 15．如图，在正四棱柱中，，垂足为E． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面． 16．已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式； 17．在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 19．已知函数的最小正周期为. (1)求的值. (2)已知直线是曲线的一条对称轴. （i）求的单调区间； （ii）若对于任意的，总存在，使得，求A的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $■ 东川区高级中学高一下学期数学第二次月考 数学答题卡 考号 姓名 班级 考场号 座位号 缺考☐ 一、选择题（共11题，共58分） 1 A B D 6 B C D 11AIBC☒D A B D 7 C A B D 8 A B D 4 A B D 9 B C 5 ABC DT 10 A丙 D 填空题（共3题，共15分） 12. 13. 14. 三解答题（共6题，共77分） 15.(13分) D A D---- 16.15 -r- 一'小U 1-----1 1----- -F 17.(15分) 157339514269501 □□□■ ■ 18.(17分) M D A 19.(17分) -2- ■ 此处不答题 157339514269501 ■ IOS697FIS6SELSI ■