精品解析：天津市微山路中学中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年度下学期高一年级数学学科 阶段练习（二） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中真命题的为（ ） A. 经过三点确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面 C. 经过两点可以作无数个平面 D. 经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 2. 在正方体中，与对角线异面的棱有（ ）条 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. 如图，已知圆柱体底面圆半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（ ）cm．（结果保留根式） A. B. C. D. 4 4. 如图所示正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. 12cm B. 16cm C. D. 5. 某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示加里一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线AF垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为________． 11. 如图，长方体中，是边长为1正方形，与平面所成的角为，则棱的长为__________：二面角的大小为__________. 12. 已知圆锥的底面半径为4，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________. 13. 如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝4且AB与CD所成的角为60°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF_____． 14. 在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为________． 15. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，，，，.则该阳马的外接球的表面积为_______. 三、解答题：本题共2小题，共25分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求证：平面平面 17. 如图，边长为4正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期高一年级数学学科 阶段练习（二） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中真命题的为（ ） A. 经过三点确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面 C. 经过两点可以作无数个平面 D. 经过一条定直线和一个定点的平面有且只有一个 【答案】C 【解析】 【分析】由平面的确定定理判断即可. 【详解】对于A，三点共线时不能确定一个平面，故A错误; 对于B，当两直线是异面直线时，不能确定一个平面，故B错误； 对于C，过两点平面可以转动，所以可以作无数个，故C正确； 对于D，当点在直线上时，此时平面有无数个，故D错误； 故选：C. 2. 在正方体中，与对角线异面的棱有（ ）条 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线的定义和正方体的特点即可得到答案. 【详解】与对角线异面的棱有六条， 故选：C. 3. 如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（ ）cm．（结果保留根式） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 4. 如图所示正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A 12cm B. 16cm C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过斜二测画法原则，通过直观图可作出原图形图像，然后计算边长即可. 【详解】在直观图中，， 则在原图形中，所以， 即原图形的周长为16. 故选：B. 5. 某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示加里一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体、正四棱锥体积公式，结合已知进行求解即可. 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的体积为， 每一个正四面体的体积为：， 由题意可知：， 故选：D 6. 已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】对于A，空间中，若，，则也可能异面，故A错误； 对于B，空间中，若，，则也可能异面，故B错误； 对于C，若，，则，异面，相交都有可能； 对于D，，，使， ，，又，所以，故D正确； 故选：D. 7. 战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作图，然后分别计算三棱锥和圆柱的体积，再相加即可. 【详解】由题意，铜镞的直观图如图所示， 三棱锥的体积， 因为圆柱的底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切， 所以圆柱的底面圆的半径，所以圆柱的体积 所以此铜镞的体积为 故选：A. 8. 如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质可得直角三角形，再利用线面垂直的判定得出BC⊥平面PAC，从而得到直角三角形的个数. 【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC． ∴△ABC为直角三角形． 又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内， ∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形， 又PA∩AC＝A，平面PAC,∴BC⊥平面PAC． ∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形， 从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形． 故选：D. 9. 如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线AF垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】对A：假设，再根据//，推出，再推出矛盾即可；对B：延拓平面，再根据线线平行，即可推出线面平行；对C：根据B中所得截面，再结合几何关系，求得截面面积即可；对D：判断不过中点，即可判断选项的正误. 【详解】对A：假设，因为//，则，； 因为为正方体，故面，又面，故，， 故，假设不成立，即与不垂直，故A错误； 对B：连接，如下所示： 因为分别为的中点，故//，又//，故//，故四点共面； 易知四边形为平行四边形，故//，又面，面，故//面，B正确； 对C：由B可知，平面截正方体所得截面为梯形； ，， 故梯形的面积为，故C错误； 对D：连接，记，若下所示： 若点与点到平面的距离相等，则过的中点，也即为的中点； 显然四边形为平行四边形，显然不为的中点，故不是中点， 则点与点到平面的距离不相等，故D错误； 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据正棱锥的定义可判断①正确；根据圆柱的定义判断②错误；根据直棱柱的侧面都是矩形，但不一定全等，可判断③是错误的；根据圆锥的轴截面是全等的等腰三角形，可得④正确. 【详解】由正棱锥的定义知①正确； 直棱柱的侧面都是矩形，但不一定全等，②错误； 由圆柱母线的定义知③正确； 由圆锥的轴截面是全等的三角形知④正确； 故答案为：3. 11. 如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为__________：二面角的大小为__________. 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】由已知条件，根据线面角，面面角的定义求解即可. 【详解】由题意，长方体中， 四边形是边长为的正方形，且与平面所成角为， 所以平面， 因为平面, 所以, 故与平面所成角为, 所以为等腰直角三角形，且, 所以. 又因为,且平面平面, 所以二面角为. 故答案为：①；②. 12. 已知圆锥的底面半径为4，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】先由圆锥的底面周长为侧面展开图的弧长，求得圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而利用圆锥的体积公式即可得解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则， 又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以，则， 所以， 则圆锥的体积， 故答案为：. 13. 如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝4且AB与CD所成的角为60°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF_____． 【答案】2或． 【解析】 【分析】取中点，连结，，则，，且，是与所成的角（或所成角的补角），从而，或，由此利用余弦定理能求出． 【详解】取中点，连结，， 在空间四边形中，且与所成的角为，，分别是，的中点， ，，且， 是与所成的角（或所成角的补角）， ，或， 当时，， 当时，， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 14. 在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比. 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面， 垂足为，连接，过作,垂足为. 因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面， 所以平面，且. 在中，因为，所以，所以， 在中，因为，所以， 所以. 故答案为：. 15. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，，，，.则该阳马的外接球的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题目条件有，则阳马外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 【详解】因平面，平面，平面， 则，又因为四边形为矩形，则. 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又，，， 则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：， 则外接球的表面积为：. 故答案为： 三、解答题：本题共2小题，共25分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图，连结，交于点，连结，则是的中位线，则，可得平面； （2）由平面，得，又可得平面； （3）由（2）知平面，得，由已知得，则得平面，又平面，可得平面平面. 【小问1详解】 如图，连结，交于点，连结， 因为底面为正方形，所以是中点，又为线段上的中点， 所以是的中位线， 所以， 又平面，平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 因为底面为正方形，所以， 又平面，平面，所以， ，，平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知平面，平面，所以， 因为为线段的中点，，底面为正方形， 所以，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 17. 如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论； （2）根据棱锥的体积公式即可求得答案; （3）作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案. 【小问1详解】 证明：因为在正方形中， 折叠后即有， 又平面， 所以平面，而平面, 故； 【小问2详解】 由题意知，故， 故； 【小问3详解】 取线段的中点G，连接， 因为， 所以有，平面,平面, 所以即为二面角的平面角， 又由（1）得平面，平面， 故,而,, 故, 即二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $