精品解析：2025年湖北省十堰市实验中学模拟预测数学试题

2025九年级综合考试数学试卷 一、单选题(3×10=30分) 1. 下列各图是中国古典花窗基本图案，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 科学家经过长期的精密测量，发现地球是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体．地球的表面积约为5.1亿平方千米．将5.1亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 2024年“村”球王争霸赛全国总决赛于2024年9月30日至10月4日在贵州省台江县台盘“村”篮球场举行．组委会将参赛球队平均分成2个小组进行单循环赛（同组所有对手之间都进行一次比赛），每个小组决出一二名进入4强交叉赛．已知每个小组的单循环比赛总场次为10场，若设每个小组有支球队，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 5. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 7. 已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（ ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A. 甲、乙的作法都正确 B. 甲、乙的作法都错误 C. 甲的作法错误，乙的作法正确 D. 甲的作法正确，乙的作法错误 8. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3×5=15分） 11. 黄伯云院士说：“所谓失败，就是做事过程中的一种状态我们做事，就要遇山打洞，逢水架桥，不要轻言放弃．”你能用学过的数学知识，来解释“遇山打洞，逢水架桥”的原因吗？____________________． 12. 如图，两条交叉水管的接口在处，为了测量两条交叉水管所在直线和的夹角，工程师傅在直线上选取点，并过点作直线，量得与的夹角，由此可知：的度数为______． 13. “接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，包公园的荷花绽放了．在平静的水平面上，如图，一朵荷花（）才露尖尖角，已知露出水面的部分为，突然一阵清风拂过，它随风倾斜（从倾斜至，为水平面），荷花尖恰好浸入水面，已知该朵荷花偏离原地，即，则水深的长为 ___________． 14. 如图1，跷跷板是常见的一种游戏．跷跷板一端着地时如图2，支柱地面，，为握把，且于C，，．跷跷板可以绕点转动，如图3是跷跷板水平时即，此时点A、C、D、B对应点分别为点E、G、H、F，恰有．则跷跷板的长为______． 15. 如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是_______． 三、解答题(共9题，75分) 16. 计算：． 17. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 18. “腊月二十五，推磨做豆腐”．嵊州市某新农村至今还保留着过除夕前磨豆腐的传统习俗．如图1是磨豆腐用的传统工具老石磨，主要部件为一条磨凳，上下两个磨盘，一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶手等．图2是老石磨静止时的示意图，推拉杆及扶手平行于水平面，E是天花板顶部的拉钩，两根拉绳与扶手恰好组成等腰三角形，此时拉钩E与扶手的中心点B所在的直线垂直于水平面．现测得推拉杆距地面的高度为，天花板顶部E距地面，若，求两根拉绳的总长度至少为多少m．（结果精确到．参考数据：，，） 19. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了_____名九年级学生，______； （2）若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中抽取5名学生，其中有3名男生．若从所抽取的5名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 20. 一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点的横坐标为， ①求的面积； ②请结合函数图象，直接写出不等式的解集； 21. 如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． （1）求证：是的切线； （2）的半径为_______；与相交于点M，求阴影部分的面积； （3）F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说的是否正确，并说明理由． 22. 弹力球是小朋友们比较喜欢的一种球，它在不断地弹起落下的过程中，轨迹为抛物线的一部分．如图是一个小朋友玩弹力球的轨迹图，小朋友从点开始抛球，设点到轴的距离为米，球沿抛物线运动，落到点后弹起，弹起后的运动轨迹为抛物线． （1）求的值，以及抛物线最高点到轴的距离； （2）若抛物线与抛物线的形状相同，在轴上距离坐标原点米处（）有两个并排的棱长为米的正方体纸箱． 当弹力球恰好落到点处时，求抛物线的解析式； 设抛物线的对称轴为直线．已知抛物线的最高点低于抛物线的最高点，弹力球能否落在纸箱内？若能，直接写出的取值范围；若不能，说明理由． 23. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； （2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； （3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 24. 如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C． （1）直接写出a，m的值； （2）嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．淇淇说：无论x为何值，恒小于0．请选择其中一人的说法进行说理； （3）作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线，求直线与抛物线，有三个交点时n的值； （4）直接写出抛物线与在四边形区域内（包括边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025九年级综合考试数学试卷 一、单选题(3×10=30分) 1. 下列各图是中国古典花窗基本图案，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：C 2. 科学家经过长期的精密测量，发现地球是一个两极稍扁、赤道略鼓的不规则球体．地球的表面积约为5.1亿平方千米．将5.1亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：5.1亿； 故选A． 3. 2024年“村”球王争霸赛全国总决赛于2024年9月30日至10月4日在贵州省台江县台盘“村”篮球场举行．组委会将参赛球队平均分成2个小组进行单循环赛（同组所有对手之间都进行一次比赛），每个小组决出一二名进入4强交叉赛．已知每个小组的单循环比赛总场次为10场，若设每个小组有支球队，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 设每个小组有支球队，根据题意，找到等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设每个小组有支球队， 由题意可得，， 故选：D． 4. 一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一元二次方程根的判别式，由一次函数的图象可得，，即得，进而可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 5. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为、，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关系是解题关键．设甲带了x钱，乙带了y钱，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．”列方程组即可． 【详解】解：解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意， 得， 故选：C． 6. 如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，首先在优弧上取点，连接，，由圆周角定理，求得的度数，然后由圆的内接四边形的性质，可求得的度数． 【详解】解：如图， 在优弧上取点，连接，， ， ， ． 故选． 7. 已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（ ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A. 甲、乙的作法都正确 B. 甲、乙的作法都错误 C. 甲的作法错误，乙的作法正确 D. 甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 8. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断一次函数经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，进一步得到，即可得出结果． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，四象限， 故选：A． 9. 如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是等腰三角形性的性质、三角形中线的性质等知识点，根据面积相等列出等式成为解题的关键． 利用三角形的面积相等列出来等式进行求解：，，然后根据面积相等列方程求解即可． 【详解】解：∵中，，于点D， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图象是解题的关键，根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数的解析式，画出函数的图象即可得到答案． 【详解】解：当时，， 整理得， 根据题意得， ∵二次函数经过点， ∴， 即， 整理得， 解方程组得， ∴函数的解析式为：， 整理得：， 函数的图象如下： ∵时，时，解得或，当时，， ∴， 故选：B． 二、填空题（3×5=15分） 11. 黄伯云院士说：“所谓失败，就是做事过程中的一种状态我们做事，就要遇山打洞，逢水架桥，不要轻言放弃．”你能用学过的数学知识，来解释“遇山打洞，逢水架桥”的原因吗？____________________． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，依据两点之间，线段最短可解答此题． 【详解】解：“遇山打洞，逢水架桥”反映了最短路径，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 12. 如图，两条交叉水管的接口在处，为了测量两条交叉水管所在直线和的夹角，工程师傅在直线上选取点，并过点作直线，量得与的夹角，由此可知：的度数为______． 【答案】125°##125度 【解析】 【分析】根据垂直的性质和对顶角的性质求出∠AOB、∠ABO的度数，即可求出β． 【详解】解：如图，设l3与l1的交点为O， ∵l3⊥l1， ∴∠AOB＝90°， ∵α＝35°， ∴∠ABO＝35°， ∴β＝∠ABO+∠AOB＝125°． 故答案为：125°． 【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，关键是找准这些角的关系． 13. “接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，包公园的荷花绽放了．在平静的水平面上，如图，一朵荷花（）才露尖尖角，已知露出水面的部分为，突然一阵清风拂过，它随风倾斜（从倾斜至，为水平面），荷花尖恰好浸入水面，已知该朵荷花偏离原地，即，则水深的长为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 由题意， 设水深为，则荷花的高，且水平距离为，在中，由勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：由题意， 设水深为，则荷花的高，且水平距离为， 在中，由勾股定理，， ， ， 所以水深， 故答案为：． 14. 如图1，跷跷板是常见的一种游戏．跷跷板一端着地时如图2，支柱地面，，为握把，且于C，，．跷跷板可以绕点转动，如图3是跷跷板水平时即，此时点A、C、D、B对应点分别为点E、G、H、F，恰有．则跷跷板的长为______． 【答案】265 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，平行线的性质等等，过点A作于P，由题意得，，，由三线合一定理得到，再由平行线的性质得到，设，则，由勾股定理得，，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于P， 由题意得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：265． 15. 如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、两点之间的距离公式、三角形的三边关系、点的坐标与图形等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．先求出，再根据圆周角定理可得在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上，设的中点为点，的中点为点，连接，从而可得当点共线时，取得最小值，然后利用点的坐标的中点公式求解即可得． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵， ∴在点的运动过程中，始终有， ∴如图，在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上， 设的中点为点，的中点为点，连接， ∴，，即， ∴， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 即当点共线时，取得最小值， ∴此时， ∵点为的中点， ∴， ∴点为的中点， 设点的坐标为，则， 又∵， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题(共9题，75分) 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 17. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ， ∴， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 18. “腊月二十五，推磨做豆腐”．嵊州市某新农村至今还保留着过除夕前磨豆腐的传统习俗．如图1是磨豆腐用的传统工具老石磨，主要部件为一条磨凳，上下两个磨盘，一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶手等．图2是老石磨静止时的示意图，推拉杆及扶手平行于水平面，E是天花板顶部的拉钩，两根拉绳与扶手恰好组成等腰三角形，此时拉钩E与扶手的中心点B所在的直线垂直于水平面．现测得推拉杆距地面的高度为，天花板顶部E距地面，若，求两根拉绳的总长度至少为多少m．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，先根据题意得出，再解直角三角形得出，最后求出结果即可． 【详解】解：由题意，可得， ∵，B为的中点， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴ 答：两根拉绳的总长度至少为． 19. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了_____名九年级学生，______； （2）若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中抽取5名学生，其中有3名男生．若从所抽取的5名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 【答案】（1）， （2）该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3300人 （3）恰好抽取一男一女的概率为 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，加权平均数． （1）先由组的人数除以所占百分比得出本次调查的学生人数，用组人数所占百分比乘以即可得出的值； （2）先求出组人数所占的比例，再乘以22000即可得解； （3）先求出组的女生人数，再画出树状图，即可求出概率． 【小问1详解】 解：本次抽测了名九年级学生， ， 故答案为：300，108； 【小问2详解】 解：E组人数所占的比例为：， （人）， 故该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3300人； 【小问3详解】 解：∵抽取5名学生有3名男生， ∴E组的女生人数为：（人）， 画出树状图如下： 由树状图可得，共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种， 故恰好抽取一男一女的概率为． 20. 一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点的横坐标为， ①求的面积； ②请结合函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】（1） （2）①8；② 或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用， （1）将代入一次函数可得的值为3，将代入反比例函数 可得的值，从而可得答案； （2）①先求解，再结合三角形的面积公式计算即可； ②根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：将代入一次函数中，得 ， ， ， 将代入反比例函数得： ， ， 反比例函数解析式为 ； 【小问2详解】 解：① 在中，当时， ， ， ∴， ； ②∵， ∴， 由图象可得：或． 21. 如图，在中，，，O是边上的点，与相切，切点为D，与相交于点E，且． （1）求证：是的切线； （2）的半径为_______；与相交于点M，求阴影部分的面积； （3）F为上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作的切线，分别与边，交于点G，H，连接，．嘉淇认为：随着点F位置的变化，的度数不变．请你判断他说的是否正确，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接． ∵与相切，切点为D， ∴． 在与中， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线； （2）2；； （3）正确， 理由如下： 如图所示，连接， ∵都与相切， ∴，． 又∵，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，即的度数不变． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，求不规则图形面积等等： （1）由切线的性质得到．再证明，得到，即．则可证明是的切线； （2）证明，得到，再根据阴影部分的面积列式求解即可； （3）由切线长定理得到，．再证明，，得到，，则．证明，则，即的度数不变． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； 【小问3详解】 略 22. 弹力球是小朋友们比较喜欢的一种球，它在不断地弹起落下的过程中，轨迹为抛物线的一部分．如图是一个小朋友玩弹力球的轨迹图，小朋友从点开始抛球，设点到轴的距离为米，球沿抛物线运动，落到点后弹起，弹起后的运动轨迹为抛物线． （1）求的值，以及抛物线最高点到轴的距离； （2）若抛物线与抛物线的形状相同，在轴上距离坐标原点米处（）有两个并排的棱长为米的正方体纸箱． 当弹力球恰好落到点处时，求抛物线的解析式； 设抛物线的对称轴为直线．已知抛物线的最高点低于抛物线的最高点，弹力球能否落在纸箱内？若能，直接写出的取值范围；若不能，说明理由． 【答案】（1），抛物线最高点到轴的距离为米； （2）； 不能，理由， 由题意易知，当抛物线恰好过点时，设， 把，代入， 得，解得， ∴， ∴顶点坐标为， ∴当抛物线恰好过点时最高点的纵坐标为， 由（）知，抛物线l1的最高点的纵坐标为， 又∵抛物线的最高点低于抛物线的最高点， ∴结合图象可得弹力球不能落在纸箱内． 【解析】 【分析】（）当时，即可求出；然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （）设抛物线的解析式为，求出，，然后代入即可求解； 当抛物线恰好过点时，设，把，代入求解析式，然后比较即可； 本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线得 当时， ∴点到轴的距离为米，即； 由， ∴顶点坐标为， ∴抛物线最高点到轴的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意可设抛物线的解析式为， 根据题意得：， 由，解得，（舍）， ∴， 把，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 略 23. 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； （2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； （3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解． （2）由可证，可得，，由可得，可得，可得结论． （3）先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值， 如图： ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点，点，点三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C． （1）直接写出a，m的值； （2）嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．淇淇说：无论x为何值，恒小于0．请选择其中一人的说法进行说理； （3）作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线，求直线与抛物线，有三个交点时n的值； （4）直接写出抛物线与在四边形区域内（包括边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数． 【答案】（1）， （2） 解：选择嘉嘉． 由（1）可知，的表达式为，顶点坐标为． 的表达式为，顶点坐标为， 两个表达式的二次项系数相同，说明抛物线形状相同，而是由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， 所以可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到； ∴嘉嘉的说法正确； 选择淇淇． 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴无论x取何值，恒小于0， ∴琪琪的说法正确； （3）或4 （4）6个 【解析】 【分析】（1）由抛物线与抛物线交于点，可求得a、m的值； （2）由抛物线的平移的性质，即可得可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位得到，说明嘉嘉的说法；由非负数的性质，即可证得，即可得无论x取何值，总是负数，说明琪琪的说法； （3）分直线l与抛物线有一个交点，过点两种情况分别求解即可． （4）首先求得点A、C、D、E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．结合图象求出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数． 【小问1详解】 解：∵抛物线与交于点， 把点B的坐标代入抛物线得： ， 解得：； 把点B的坐标代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵：的对称轴为直线，， ∴，， 设直线为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴将直线向下平移个单位长度后得到直线l的表达式为， 当直线l过点B时，直线l与抛物线，有三个交点， ∴， 解得； 当直线l与抛物线只有一个交点时，令，整理得， ， 解得， ∴当直线l与抛物线，有三个交点时，n的值为或4； 【小问4详解】 解：设与交于点F，如图， ∵当时，， 解得：或， ∴点， 当时，， 解得：或， ∴点， ∴，， ∵当时，，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； ∵，， 设直线为， 得， 解得， ∴， 由图象可知：点B、C、D、E在四边形内部（包括边界）， 当时， 或， ∴时，， 时，， ∴两图象的交点坐标为，， ∴抛物线的顶点也在四边形的边上， 综上所述，共有6个整点在四边形内部（包括边界），抛物线与在四边形区域内（包括边界）的整点为，，，，及的顶点； 【点睛】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，解答本题的关键是熟练掌握方程思想与数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $