福建省三明第一中学2025届高三下学期4月月考数学试题

三明一中2024-2025学年下学期高三年段4月月考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，，若，则实数的取值构成的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 设，是两个平面，，是两条直线，若，，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量的夹角为，且，，若与向量垂直的非零向量满足（其中，则（ ） A. B. 1 C. 6 D. 4. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，得到第2个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第3个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的，则（ ）（参考数据：） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 若函数满足对任意，恒有，且，则的最小值是（ ） A. 408 B. 400 C. 204 D. 200 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，关于方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ） A. 复数对应的点在第四项象限 B. C. D. 10. 已知函数在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是：（ ）. A. ， B. 的单调区间为： C. 在区间上有且仅有2个零点 D. 先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位后是奇函数 11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线有4个顶点 C. 曲线与直线有4个交点 D. 曲线上动点到原点距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为，在已知的条件下，的概率为__________. 13. 已知，则满足的实数的取值范围是__________． 14. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与的左右两支分别交于两点，且，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 16. 已知单调递增的等比数列满足，且是的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）设，其前项和为，若对于恒成立，求实数取值范围． 17. 如图①，在等腰梯形中，为边的中点．将沿翻折，使点到达点的位置，得到四棱锥，如图②． （1）证明：在翻折过程中，始终满足； （2）当时，求平面与平面夹角正弦值． 18. 在直角坐标平面内，设是圆上的动点，轴，垂足为点，点在的延长线上，且，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设是过点的动直线． ①当直线的斜率为时，曲线上是否存在一点，使得点到直线的距离最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②若直线与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值． 19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? （3）若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 三明一中2024-2025学年下学期高三年段4月月考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2）①存在， ② 【19题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $