精品解析：广东省惠州市惠东县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第二学期八年级期中教学质量监测 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 为任意实数 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 1，2，3 D. 5，7，11 3. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A OB＝OD B. AB＝BC C. AC⊥BD D. ∠ABD＝∠CBD 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点、分别是边、的中点，，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A表示的数为（ ） A. 1.414 B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 9. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方形，，，的边长分别是，，，，则最大正方形的面积是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，一只蚂蚁从边长是正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题．本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 化简：=__________ 12. 如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD的周长是__________. 13. 在中，，则的面积等于___________． 14. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简：________． 15. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是____（填序号） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 17. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求边长，，； （2）判断的形状，并说明理由． 18. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮 解：原式 小芳 解：原式 （1）_____的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_______； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 21. 在四边形中，，对角线交于点O，点O是中点，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作，交延长线于点E，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形（除外）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，22题14分，共27分． 22. 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是_______； （2）化去式子分母中根号：______．（直接写结果） （3）比较与大小，并说明理由； （4）利用你发现规律计算下列式子的值： 23. 如图，矩形中，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒． （1）若、分别是、的中点，且，求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形． （2）在（1）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为矩形？ （3）若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为菱形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级期中教学质量监测 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式的定义，被开方数，则问题可解. 【详解】解：∵ ∴ 故应选A 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解答关键是根据被开方数为非负数构造不等式． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 1，2，3 D. 5，7，11 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，即可一一判定． 【详解】解：A、，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形； B、，故不符合勾股定理逆定理，不能组成直角三角形； C、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形； D、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握和运用勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 3. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A. OB＝OD B. AB＝BC C. AC⊥BD D. ∠ABD＝∠CBD 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可． 【详解】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意； 平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意； 平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意； 平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减、二次根式的乘除运算法则需逐一验证各选项的正确性即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【分析】解：A、二次根式相加需为同类二次根式（即被开方数相同），而与被开方数不同，无法直接相加，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，点、分别是边、的中点，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求的长. 【详解】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半，可求得 ，故选D． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理. 6. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形判断即可． 详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，点A表示的数为（ ） A. 1.414 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理可得，再根据数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴点A表示的数为， 故选：D． 8. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形面积是． 故选：C． 9. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方形，，，的边长分别是，，，，则最大正方形的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理的几何意义可得，然后代入即可求解，解题的关键是熟悉勾股定理的几何意义． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义， 可知 ， 故选：． 10. 如图，一只蚂蚁从边长是正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵展开后由勾股定理得：， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故选：． 二、填空题．本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 化简：=__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质计算． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD的周长是__________. 【答案】21 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC=10，AO=CO=AC=4，BO=DO=BD=7，即可求△AOD的周长 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC=10，AO=CO=AC=4，BO=DO=BD=7 ∴△AOD的周长=AD+AO+DO=21 故答案为21 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键． 13. 在中，，则的面积等于___________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再利用面积公式求解． 【详解】解：，，，即， 为直角三角形， 直角边为，， 根据三角形的面积公式有： 故答案为：30． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，需要学生利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形的和直角三角形的面积公式结合求解．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 14. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据数轴确定的取值范围，再依据绝对值和二次根式的性质化简式子，最后计算得出结果．本题主要考查了数轴、绝对值的性质以及二次根式的性质，熟练掌握绝对值和二次根式的化简规则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知． ∴，， ∴． ∴． 故答案为： 15. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的是____（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】综合运用正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，对四个结论逐一分析，证，利用正方形对角线性质找边、角相等条件；结合全等得，判断形状，再看与数量关系；通过全等将其转化为面积，关联正方形面积推导四边形面积，；借助勾股定理得到，，从而推导． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线、交于， ∴，，． 又，即， ∴． 在和中， ， ∴，故①正确． ∵ ∴， 又， ∴是等腰直角三角形，． 但与无倍数关系（是等腰直角三角形直角边，是正方形边上线段 ），故，②错误． ∵， ∴． ∴． 又， ∴四边形正方形，③正确． 判断 在中，由勾股定理：； 在中，由勾股定理：． ∴，即，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形对角线性质（如、 ）找全等条件，灵活运用全等性质转化面积、线段关系，结合勾股定理推导等式，是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 17. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求边长，，； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），， （2）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【小问1详解】 解：（1），，， ，，； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是求边长，，． 18. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮 解：原式 小芳 解：原式 （1）_____的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_______； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮； （2）；8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值是解题的关键． （1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质将原式化简，再将代入计算即可． 【小问1详解】 解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴原式． 20. 由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 【答案】元． 【解析】 【分析】如图，连接，运用勾股定理求出，在中利用勾股定理逆定理证明得，最后根据求出草坪面积从而求出费用． 【详解】解：如图，连接， ， ， 在中， ， ， ， ， ， （元）． 答：若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需元． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的实际应用；掌握勾股定理求边长和逆定理证垂直是解题的关键． 21. 在四边形中，，对角线交于点O，点O是中点，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作，交延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形（除外）． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，由角平分线的定义及平行线的性质可得，由等角对等边得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点O是中点， ∴， 在和中， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴图中所有与面积相等的三角形有，，，． 【点睛】本题考查了菱形的判定，主要利用了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及平行四边形和菱形的判定，全等三角形的判定和性质． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，22题14分，共27分． 22. 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1）的有理化因式是_______； （2）化去式子分母中的根号：______．（直接写结果） （3）比较与大小，并说明理由； （4）利用你发现的规律计算下列式子的值： 【答案】（1） （2） （3）；理由见解析 （4）2024 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式定义，找与相乘后积不含二次根式式子． （2）利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式来化去分母根号． （3）通过求两个式子的倒数，比较倒数大小，进而得出原式大小关系． （4）先将每一项分母有理化，化简后再利用平方差公式计算． 【小问1详解】 解：，积不含二次根式， 的有理化因式是． 故答案为： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：， ， ， ， 又，，分子相同，分母大的分数小， ． 【小问4详解】 解： 【点睛】本题主要考查了二次根式的有理化因式、分母有理化以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式有理化的方法和平方差公式是解题的关键． 23. 如图，矩形中，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒． （1）若、分别是、的中点，且，求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形． （2）在（1）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为矩形？ （3）若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为菱形？ 【答案】（1）证明见解析 （2）4.5秒或0.5秒 （3）秒 【解析】 【分析】（1）要证四边形是平行四边形，根据矩形性质得出边和角的关系，结合中点条件得到线段相等，再利用全等三角形证明一组对边平行且相等 ． （2）平行四边形变矩形需对角线相等，先确定长度，再分、运动的不同阶段，根据与的数量关系列方程求解 ． （3）菱形需对角线垂直且平分，先由菱形性质推出四边形是菱形，设未知数，利用勾股定理求出相关线段长度，进而得出运动时间 ． 【小问1详解】 解：∵ 四边形是矩形 ∴ ，，， 又、分别是、中点 ∴ ，，即 、速度均为，运动时间，则， 在和中 ∴ ∴ ，，即 ∴ 四边形是平行四边形 【小问2详解】 解：连接， ∵ 四边形是平行四边形，、是中点 ∴ 当时，四边形是矩形，分两种情况： ① 、未相遇前，，则 解得 ② 、相遇后， 解得 【小问3详解】 解：连接、， ∵ 四边形是菱形 ∴ ，，，又 ∴ ，四边形是菱形，故 设，则 在中，由勾股定理，即 解得 则，运动路程为 速度为， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形与矩形及菱形的判定、全等三角形判定与性质、勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质，结合图形分情况分析，运用勾股定理等建立方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $