精品解析：四川省荣县中学校2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

荣县中学校高2024级第二学期6月月考数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的正余弦的平方关系，以及二倍角的正弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法及共轭复数的概念求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度： D. 问右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移变换即可求解. 【详解】， 故将的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，故D正确； 经检验，ABC错误. 故选：D 4. 在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可. 【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面； 对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面 对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面； 对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面． 故选：B 5. 已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量投影的概念直接计算. 【详解】由，，其中，的夹角为， 则在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故选：D. 6. 已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台母线长与侧面展开图扇环内外圆半径的关系得到一个等式，再利用圆台上下底面圆周长与扇环内外圆周长的比例关系，进而求出圆台上下底面圆周长之差. 【详解】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为，外圆半径为，（） 则圆台母线长为， 设圆台上、下底面圆半径分别为，（）， 则，，∴， 圆台上下底面圆周长之差的绝对值为. 故选：A. 7. 筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】依题意可得，即，又，所以， 所以， 则当时， 即当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米. 故选：B 8. 如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解. 【详解】设，， 则， 而与不共线，∴，解得，∴. 故选：A. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理判断，即可判断. 【详解】显然A正确； 由面面垂直的性质定理可知，只有当时，才能推出，B错误； 当时，与矛盾，C错误； 借助直二面角的定义及法向量的定义可知成立，即D正确. 故选：AD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分别由两角差的正弦公式，两角和的正切公式和倍角公式即可依次判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：AB． 11. 已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，计算出，故不存在一个正实数，使得对都成立，A错误；BC选项，可找到，，，…，，…的周期，故满足要求；D选项，计算发现的实部和虚部的绝对值均趋向于，故D错误. 【详解】A选项，，，……，， 其中，不存在一个正实数，使得对都成立，A错误； B选项，，， ， 故此时，，，…，，…的周期为3，且， 不妨取，满足要求，B正确； C选项，，， 故此时，，，…，，…的周期为2，且， 不妨取，满足要求，C正确； D选项，， ， ， ， ， ……， 依次计算，可以发现的实部和虚部的绝对值均趋向于， 故不存在一个正实数，使得对都成立，D错误； 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知和向量若，则实数m的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据、两点坐标求出向量的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解的值. 【详解】； 故答案为： 13. 在中，，，，则的内切圆半径为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，即可求出，再由等面积法计算可得. 【详解】由余弦定理，即，解得， 又，所以为锐角，所以， 设内切圆的半径是， ∵，即， ∴． 故答案为： 14. 一个正三棱锥的侧棱长为1，底面边长为，它的四个顶点在同一个球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设为正三角形的中心，则⊥平面，正三棱锥的外接球的球心在上，在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的值，从而得到球的表面积． 【详解】如图所示： 设为正三角形ABC的中心，连接，则⊥平面，正三棱锥的外接球的球心在上， 设球的半径为，连接，， ∵的边长为， ∴， 又∵， ∴在中，， 在中，，，， ∴，解得， 此时说明球心在点的下方，即如下图所示： ∴球的表面积为． 故答案为：． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 平面内给定两个向量，． （1）求，夹角的余弦值； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，可得答案； （2）由向量的坐标，利用线性运算以及模长公式，可得答案． 【小问1详解】 由题意可得，， 则，夹角的余弦值. 【小问2详解】 由题意可得，即. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角C的大小； （2）设D是上一点，且，，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换即可求解； （2）方法一：在、中，分别利用余弦定理得到， 方法二：分解向量得，平方也可得，再结合以及正弦定理可求出，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理知：， ∴， ∵，，∴，∵，． 【小问2详解】 由题意得，，，， 方法一：在中，， 在中，， ∵，∴，化简得． 在中，， ∴，整理得． 又∵，则，∴，则， ∴，即为的面积． 方法二：∵，∴， ， ∵且得：， 又∵，则，∴，则， ∴． 17. 如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理，即可证明； （2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，，即可证明线面垂直； （3）利用等体积，求点到平面的距离. 【小问1详解】 如图，连接，设，连接， 因，，可得是平行四边形，则， 又，则得， 因平面，平面，故平面. 【小问2详解】 由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面 平面则， 又平面，故平面. 【小问3详解】 在中，， 因平面 平面则 在中，，同理，，， 故满足勾股定理，则， 故 而 ，设点D到平面的距离为d， 由等体积法得 ， 得 = 故点D到平面的距离为 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，，为的中点，求的长； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）依题意可得，将两边平方，根据数量积的运算律计算可得； （3）利用正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 则， 所以， 所以， 解得，所以的长为1. 【小问3详解】 由正弦定理知， 所以，， 所以 ， 因为，所以，所以， 则， 所以的取值范围为. 19. 如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出平面，可得出直线与平面所成角，求出、的长，即可求解； （2）取的中点，连接、，则，证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立； （3）过点在平面内，作垂直于直线，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知二面角的平面角为，计算出三边边长，即可求得的余弦值. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 不妨设， 因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则， 因为为的中点，且， 因为，所以，即点为的中点， 翻折前，，翻折后，则有，则，即， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面，故直线与平面所成角， 易知，，， 故，即， 所以，故. 【小问2详解】 取的中点，连接、，则， 因为，则， 因为平面，则平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. 【小问3详解】 过点在平面内作垂直于直线，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故，故二面角的平面角为， 因为，为的中点，故， 在平面内，，，则， 所以，故，所以， 故， ， 由勾股定理可得， 故， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣县中学校高2024级第二学期6月月考数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度： D. 问右平移个单位长度 4. 在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 7. 筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（ ）米． A. B. C. D. 8. 如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知和向量若，则实数m的值为_________． 13. 在中，，，，则的内切圆半径为________. 14. 一个正三棱锥的侧棱长为1，底面边长为，它的四个顶点在同一个球面上，则球的表面积为__________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 平面内给定两个向量，． （1）求，夹角的余弦值； （2）求． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角C的大小； （2）设D是上一点，且，，且，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，，为的中点，求的长； （3）若，求的取值范围. 19. 如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $