精品解析：广东省汕头市潮阳区六校2024-2025学年上学期九年级期末联考数学试卷

2024—2025学年度第一学期期末考试试卷 九年级 数学 说明： 1.全卷共4页，满分120分，考试时间为120分钟． 2.答卷前，考生必须将自己的姓名、考号、座位号按要求填写在试卷相应的位置上． 3.考生答题时，务必用黑色字迹的中性笔或签字笔将答案书写在答题卡规定的范围内． 一．选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答． 【详解】解：A．，是一元二次方程； B．不是方程； C．，未知数x的最高次数是4次，所以该方程不是一元二次方程； D．不是整式方程，所以不是一元二次方程． 故选：A． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意； B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，不合题意； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，不合题意； D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7， 故选A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4. 已知抛物线的顶点在第四象限，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式写出顶点坐标，再根据第四象限点的坐标特点做出判定即可． 【详解】∵抛物线的解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为 ∵第四象限点横坐标大于0，纵坐标小于0 ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式和第四象限点的坐标特点，正确理解定义，性质是解题的关键． 5. 如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意确定反比例函数图像所在象限，并确定每个象限内图像的增减性，再利用，判断出每个点所在象限，进而得出结论． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图像在二、四象限，并且在每个象限内y随x的增大而增大， ， A、B两点在第四象限，C在第二象限， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的增减性，解题的关键是掌握反比例函数图像所在象限，并且在每个象限内的增减性． 6. 将二次函数y=2x2-4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ） A. y=2(x+1)2+1 B. y=2(x+1)2+3 C. y=2(x-3)2+1 D. y=-2(x-3)2+3 【答案】A 【解析】 【分析】先配方成顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可． 【详解】由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2-4x+4配方成的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得以新的抛物线的表达式是y=2(x+1)2+1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，由y=ax2平移得到y=a（x-h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可． 7. 边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为（）cm． A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示： △ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm， ∵62+82=102，即AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， 设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F， ∵CD=CE，BE=BF，AF=AD， ∵OD⊥AC，OE⊥BC， ∴四边形ODCE正方形，即CD=CE=R， ∴AC﹣CD=AB﹣BF，即6﹣R=10﹣BF①， BC﹣CE=AB﹣AF，即8﹣R=BF②， ①②联立得，R=2cm． 故选B． 8. 已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 24或 D. 48或 【答案】B 【解析】 【分析】解，可得，，如图，，，则，由，可得，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，，， 如图，，，则， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，菱形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9. 若一个圆锥底面积为，圆锥的高为，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数． 【详解】解：∵圆锥的底面积为4πcm2， ∴圆锥的底面半径为2cm， ∴底面周长为4π， 圆锥的高为4cm， ∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm， 设侧面展开图的圆心角是n°， 根据题意得：=4π， 解得：n=120． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 10. 某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为(　　) A. 5000元 B. 8000元 C. 9000元 D. 10000元 【答案】C 【解析】 【详解】设单价定为x，总利润为W， 则可得销量为：500-10（x-100），单件利润为：（x-90）， 由题意得，W=（x-90）[500-10（x-100）]=-10x2+2400x-135000=-10（x-120）2+9000， 故可得当x=120时，W取得最大，为9000元， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W关于x的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则时，x的取值范围________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0）， 由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜-4或x＞2． 故答案为：x＜-4或x＞2． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 14. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为_____度． 【答案】55． 【解析】 【分析】连接BC，根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得∠ADC的度数． 【详解】解：连接BC ∵AB是⊙O的直径. ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝35°， ∴∠CBA＝55°， ∵∠ADC＝∠CBA， ∴∠ADC＝55°． 故答案为55． 【点睛】此题考查圆周角的性质，直径所对的圆周角为直角，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 15. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点，三角形的面积，熟练掌握反比例函数的图象，理解反比例函数图象上的点满足函数的表达式是解决问题的关键．首先设点的坐标为，则点，，，，…，，进而得，，，，，…，，然后根据直角三角形的面积公式可求出． 【详解】解：设点坐标为， ∵…， ∴点，，，，…，， ∴，，，，，…，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：共三小题，每小题7分，共21分． 16. 已知关于x的方程．若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根． 【答案】， 【解析】 【分析】将代入方程，求得m的值，再求解方程即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得， 将代入方程得， 即 解得，， 方程的另一个根为 故答案为：， 【点睛】此题考查了一元二次方程根的含义以及一元二次方程的求解，解题的关键是理解方程根的含义以及掌握一元二次方程的求解方法． 17. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分；若从这四部著作中随机抽取两本，请你画树状图或者列表求抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是论语和大学的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【详解】解：把论语孟子大学中庸分别记 为、、、，画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是论语和大学的结果有种，即、，所以抽取的两本恰好是论语和大学的概率是． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，点A坐标为（2，4），解答下列问题． （1）画出△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）若△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，直接写出点A2的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）A2（−4，2） 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点绕原点O逆时针旋转90°后得到的对称点，再首尾顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（−2，−4）． 【小问2详解】 解：如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（−4，2）． 【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 【答案】（1）;(2) 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）∵关于x的方程总有两个实数根， ∴ ， 解得：． （2）∵为方程的两个根， ∴． ∵， ∴， ∴， 整理，得：，即， 解得：（不合题意，舍去），， ∴m的值为1． 【点睛】本题考查了根判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是一元二次有两个实数根的等价条件. 20. 已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC． （1）求证：△BAP≌△CAQ． （2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）直接利用旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案； （2）直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ， ∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°， ∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC， ∴∠BAP＝∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中， ， ∴△BAP≌△CAQ（SAS）； （2）∵由（1）得△APQ是等边三角形， ∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°， ∵∠APB＝150°， ∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°， ∵PB＝QC， ∴QC＝4， ∴△PQC是直角三角形， ∴PC＝＝＝5． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键． 21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线 （2）若，，则的长 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 五、解答题（三）：共两小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，E是正方形边上不与B，C重合的一动点，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于G，交于H，连接． 【知识技能】（1）写出和的数量关系，并证明你的结论： 【数学理解】（2）①若．求面积的最大值． ②若，，则正方形的边长为______． 【拓展探索】（3）求证：． 【答案】（1），见解析；（2）①，②；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）如图1，将绕点顺时针旋转得到，得到，，，证明，得到，根据线段的和差关系结合等量代换，即可得出结论． （2）①作交的延长线于点，可证明，得，则，设，则，所以，当时，，所以△面积的最大值是； ②设正方形的边长为，则，而，，所以，，，由勾股定理得，求得符合题意的值为，于是得到问题的答案； （3）作交于点，作交的延长线于点，则，，推导出，所以，则，所以，则，所以四边形是平行四边形，则，再证明，得，所以． 【详解】解：（1）， 由旋转得： 如图1，将绕点顺时针旋转得到， 则，，， ， ， ，， ， ∴L、B、E三点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图1，作交的延长线于点，则， 在和中， ， ∴， ， ， 设， ， ， ， ， 当时，， ∴面积的最大值是． ②如图1，设正方形的边长为，则， ，， ，，， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 正方形的边长为， 故答案为：． （3）证明：如图2，作交于点，作交的延长线于点，则， 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ，且， ． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 23. 如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． （1）一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； （2）在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）存在， （3）①，；②点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数与反比例函数中求解，即可解题； （2）根据点C的横坐标为3，求出点C，的坐标，结合勾股定理进而得到，，设，记点E到的距离，利用等面积法推出，再根据“点E到的距离等于它到x轴的距离”建立等式求解，即可解题； （3）①记点O到对应点向右平移了个单位长度，得到，根据平移的特点进而得到，，再根据在一次函数图象上，建立等式求解，即可解题； ②设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，记直线向右平移个单位长度得到直线，得到直线的解析式，进而得到，即，联立与，求出，进而推出，，结合勾股定理得到、、，再根据以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，分以下三种情况①当、为菱形的边时，②当、为菱形的边时，③当、为菱形的边时，结合菱形性质建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点， ，， 解得，， 一次函数表达式为；反比例函数表达式为； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：存在， 点C的横坐标为3， ，即， 轴，且在反比例函数上， ，，即， 点E在线段上， 设（）， ，， 记点E到的距离， 有， 即， 解得， 点E到的距离等于它到x轴的距离， 或， 解得或（不合题意，舍去）， ； 【小问3详解】 解：①记点O到对应点向右平移了个单位长度， 点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上， ， 由平移的性质可知，，， 在一次函数图象上， ， 解得或（不合题意，舍去）， ，； ②， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 记直线向右平移个单位长度得到直线， 由平移的性质可知，直线的解析式为， 射线与x轴交于点F， ，即， 联立与，有， 整理得， 将代入中有：， 即， ，， ，，， 以、、F、Q为顶点的四边形是菱形， ①当、为菱形的边时， 有，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即； ②当、为菱形的边时， 有，即， 整理得， 解得， 即； ③当、为菱形的边时， 有，即， 解得， 即； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，等面积法，勾股定理，平移的性质，菱形的性质和判定，坐标与图形等，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末考试试卷 九年级 数学 说明： 1.全卷共4页，满分120分，考试时间为120分钟． 2.答卷前，考生必须将自己的姓名、考号、座位号按要求填写在试卷相应的位置上． 3.考生答题时，务必用黑色字迹的中性笔或签字笔将答案书写在答题卡规定的范围内． 一．选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形是( ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正方形 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的顶点在第四象限，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如果有点在反比例函数（）的图像上，如果，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 6. 将二次函数y=2x2-4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ） A. y=2(x+1)2+1 B. y=2(x+1)2+3 C. y=2(x-3)2+1 D. y=-2(x-3)2+3 7. 边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为（）cm． A. B. 2 C. 3 D. 6 8. 已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 24或 D. 48或 9. 若一个圆锥的底面积为，圆锥的高为，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为(　　) A. 5000元 B. 8000元 C. 9000元 D. 10000元 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______． 13. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则时，x的取值范围________． 14. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为_____度． 15. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则______． 三、解答题（一）：共三小题，每小题7分，共21分． 16. 已知关于x方程．若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根． 17. 中国古代“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分；若从这四部著作中随机抽取两本，请你画树状图或者列表求抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是多少？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，点A坐标为（2，4），解答下列问题． （1）画出△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）若△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，直接写出点A2的坐标． 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 20. 已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC． （1）求证：△BAP≌△CAQ． （2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度． 21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线 （2）若，，则的长 五、解答题（三）：共两小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，E是正方形边上不与B，C重合的一动点，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于G，交于H，连接． 【知识技能】（1）写出和的数量关系，并证明你的结论： 【数学理解】（2）①若．求面积的最大值． ②若，，则正方形的边长为______． 【拓展探索】（3）求证：． 23. 如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、． （1）一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ； （2）在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）将沿射线方向平移一定的距离后，得到． ①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标； ②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$