第9讲 匀变速直线运动的常用结论 -2025年高中物理初升高暑假衔接

第9讲 匀变速直线运动的常用结论- 知识点目录 【知识点1】平均速度 2 【知识点2】逐差法求加速度 7 基础知识 一、平均速度公式的理解与应用 1．平均速度公式：＝＝ (1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半． (2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式＝及＝. 2．三个平均速度公式的比较 ＝适用于任何运动； ＝及＝仅适用于匀变速直线运动． 二、位移差公式Δx＝aT2 1．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx＝aT2. 2.推导：如图，x1＝v0T＋aT2，x2＝v1T＋aT2，所以Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2. 同理，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n. 3．应用 (1)判断物体是否做匀变速直线运动 如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2总成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动． (2)求加速度 利用Δx＝aT2，可求得a＝. 三、初速度为零的匀加速直线运动的比例式 1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则： (1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n. (2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2. (3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为： x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)． 2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式 (1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶. (2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶. (3)通过连续相同的位移所用时间之比为： t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)． 知识点1 知识点 【知识点1】平均速度 1．中点位置的瞬时速度公式：＝. (1)推导：如图所示，前一段位移－v02＝2a·，后一段位移v2－＝2a·，所以有＝·(v02＋v2)，即有＝. (2)适用条件：匀变速直线运动． (3)中点位置的速度与中间时刻的速度的比较：对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即. 典型例题 例1： 【例1】（多选）（2024秋•市南区校级月考）一辆汽车沿着一条平直的公路做匀变速直线运动，取汽车经过电线杆的时刻为零时刻，内汽车依次经过公路旁边的一排电线杆、、，已知相邻两电线杆间的距离为，则下列说法正确的是　　 A．汽车全程的平均速度大小为 B．汽车在时的速度大小为 C．汽车经过电线杆时的速度大小一定小于 D．汽车经过电线杆时的速度大小一定大于 【答案】 【分析】根据中间时刻的瞬时速度等于平均速度分析；根据做匀变速直线运动的物体中间位置的瞬时速度大小中间时刻的瞬时速度分析。 【解答】解：．由题意可知，相邻两电线杆间的距离为，所以汽车全程的平均速度大小为 ，所以汽车在时的速度大小为，故错误，正确； ．根据匀变速直线运动规律可知匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度小于中间位移处的速度，所以汽车经过电线杆时的速度大小一定大于，故错误，正确。 故选：。 【例2】（2024秋•高坪区校级月考）做匀加速直线运动的物体，先后经过、两点时的速度分别为和，经历的时间为，则　　 A．前半程速度增加 B．前时间内通过的位移为 C．后半程速度增加 D．后时间内通过的位移为 【答案】 【分析】求出中间位置的瞬时速度，从而得出前一半路程和后一半路程速度的增加量。根据匀变速直线运动的平均速度推论求出中间时刻的瞬时速度，通过平均速度推论求出前一半时间和后一半时间内的位移。 【解答】解：．根据匀变速直线运动中点位移公式 可得中间位置时的速度是 结合先后经过、两点时的速度分别为和，则前半程速度增加量为，后半程速度增加量为，故错误，正确； ．根据匀变速直线运动的规律可得中间时刻时的速度是 前一半时间内通过的位移为 后一半时间内通过的位移为 故错误。 故选：。 【例3】（多选）（2024秋•绿园区校级期中）一物体做匀变速直线运动，经过时间后，它的速度由变为，经过的位移为。下列说法中正确的是　　 A．这段时间内它的平均速度为 B．经过时，它的瞬时速度的大小为 C．这段时间的中点时刻的瞬时速度为 D．经过时，它的瞬时速度为 【答案】 【分析】根据匀变速直线运动的平均速度定义，中间时刻的瞬时速度和平均速度关系，以及中间位置的瞬时速度有关的推论列式求解判断。 【解答】解：因为位移为，运动时间为，则这段时间内的平均速度；故正确； 匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则经过，它的瞬时速度是，故错误； 物体做匀变速直线运动，则这段时间的中间时刻的瞬时速度为，故正确； 设中间位置的瞬时速度为，根据速度—位移公式有，，则，解得中间位置的瞬时速度为，故正确。 故选：。 【例4】（2023春•西安期末）光滑斜面的长度为，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为，则下列说法不正确的是　　 A．物体运动全过程中的平均速度是 B．物体在时的瞬时速度是 C．物体运动到斜面中点时瞬时速度是 D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是 【答案】 【分析】根据平均速度的定义式求出全程的平均速度；根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度求出中间时刻的瞬时速度；由斜面的长度和时间，求出加速度，由位移—速度公式求出斜面中点的瞬时速度；再根据位移—时间关系求解物体从顶点运动到斜面中点所需的时间。 【解答】解：、根据平均速度的计算公式可知物体在全程中的平均速度为：，故正确； 、匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可知物体在时的瞬时速度是，故错误； 、设物体的加速度为，运动到斜面中点时瞬时速度为，则由，解得，又，解得斜面中点的速度，故正确； 、设物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是，根据位移—时间关系可得：，解得：，故正确。 本题选错误的，故选：。 【例5】（多选）（2023秋•顺义区校级月考）一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为，经过时间后速度变为，位移为，则物体在　　 A．这段时间内的平均速度一定是 B．这段时间内的平均速度一定是 C．这段时间内中间时刻的瞬时速度一定是 D．这段时间内中间位置的瞬时速度一定是 【答案】 【分析】物体做匀变速直线运动，根据推论求得中间时刻的瞬时速度和平均速度，根据匀变速直线运动的规律可得中间位置的速度大小。 【解答】解：、根据平均速度的计算公式可知，平均速度为：，故正确； 、物体做匀变速直线运动，故平均速度等于初末速度矢量和的一半，故有：，故正确； 、物体做匀变速直线运动，故中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，为：，故错误； 、根据匀变速直线运动的规律可知，中间位置的瞬时速度为，故错误； 故选：。 知识点2 知识点 【知识点2】逐差法求加速度 1．纸带上提供的数据为偶数段． (1)若已知连续相等时间内的两段位移． 由x2－x1＝aT2，得a＝ (2)若已知连续相等时间内的四段位移． 可以简化成两大段AC、CE研究 xⅠ＝x1＋x2 xⅡ＝x3＋x4 tAC＝tCE＝2T a＝＝ (3)若已知连续相等时间内的六段位移 可以简化成两大段AD、DG研究 xⅠ＝x1＋x2＋x3 xⅡ＝x4＋x5＋x6 a＝＝. 2．纸带上提供的数据为奇数段 若第一段位移较小，读数误差较大，可以舍去第一段；也可以先舍去中间的一段的数据，选取偶数段数据再利用上述方法求解，例如已知连续相等时间段的五段位移． xⅠ＝x1＋x2，xⅡ＝x4＋x5 a＝＝. 典型例题 【例6】（2025•镇江校级模拟）在用打点计时器研究小车的运动时，实验装置如图甲，现得到一条点迹清晰的纸带如图乙所示： （1）纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，则两计数点间的时间间隔是 　　。 （2）测得，，，，由此可知，打点时纸带速度大小为 　　。 （3）通过上面数据得出小车的加速度为 　　。 【答案】（1）0.10；（2）0.25；（3）0.40。 【分析】（1）根据打点周期和间隔数确定两计数点间的时间间隔； （2）根据匀变速直线运动的推论：在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于该过程中的平均速度，来求打点时纸带速度大小； （3）根据匀变速直线运动的推论公式△可以求出加速度的大小。 【解答】解：（1）纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，则两计数点间的时间间隔是 （2）根据匀变速直线运动的推论：中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可得打点时瞬时速度大小为 （3）根据匀变速直线运动的推论公式△可得 可得加速度为 故答案为：（1）0.10；（2）0.25；（3）0.40。 【例7】（2024秋•深圳期末）如图，某同学分别设计了关于“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置如图甲，小车质量用、托盘及内部重物总质量或砂桶及其中砂子总质量用表示，。 （1）为便于测量合力的大小，并得到小车质量一定时，小车的加速度与所受合力成正比的结论。下列说法正确的是　　（填选项字母）。 ．实验时，先释放小车再接通打点计时器的电源 ．为了减小系统误差，本实验中需要满足远小于的条件 ．用图像法处理数据不仅可以减小偶然误差，还能直观的得出与的关系 （2）该同学在实验中得到如图乙所示的一条纸带（相邻两计数点间还有4个点没有画出）。已知打点计时器采用的是频率为的交流电，根据纸带可求出小车的加速度为　　（结果保留2位有效数字）。 （3）该同学在图甲所示的实验装置的操作下，处理数据时以弹簧测力计的示数为横坐标，加速度为纵坐标，作出关系图像如图丙所示。则小车的质量为　　，小车所受摩擦力与重力的比值为　　。 【答案】（1）；（2）0.79；（3）1、0.2。 【分析】（1）根据实验原理分析判断； （2）根据逐差公式求加速度； （3）根据牛顿第二定律和图中装置特点写出表达式，结合图像的斜率和截距计算。 【解答】解：（1）、为了充分利用纸带，实验时，应先接通打点计时器的电源再释放小车，故错误； 、实验中，由于细线拉力可以通过弹簧测力计测得，所以不需要满足远小于，故错误； 、用图像法处理数据不仅可以减小偶然误差，还能直观的得出与的关系，故正确。 故选：。 （2）由于相邻两计数点间还有4个点没有画出，则相邻计数点的时间间隔为： 根据逐差法可得小车的加速度为： （3）乙实验中，根据牛顿第二定律可得： 可得： 由上式结合图像的斜率和纵截距有：， 代入数据解得：， 故答案为：（1）；（2）0.79；（3）1、0.2。 【例8】（2024•衡阳县校级开学）如图所示为研究匀变速直线运动规律时打出的一条纸带，已知打点计时器的频率为，则打下标号2、3两点之间的时间间隔为 　 　，小车的加速度大小为 　　。 【答案】0.1、1.8。 【分析】纸带实验中，若纸带匀变速直线运动，测得纸带上的点间距，利用匀变速直线运动的推论，可计算出打出某点时纸带运动的瞬时速度和加速度。 【解答】解：相邻计数点间有四个计时点，则2、3两点之间的时间间隔为： 小车的加速度大小为： 故答案为：0.1、1.8。 【例9】（2023秋•顺义区期末）某同学实验中获得一条纸带，如图所示，其中两相邻计数点间有四个点未画出。已知所用电源的频率为，则打点时小车运动的速度大小　 　，小车运动的加速度大小　　。 【答案】0.38；0.39。 【分析】根据匀变速直线运动的特点得出小车在点的瞬时速度，结合逐差法计算出小车的加速度。 【解答】解：所用电源的频率为，则周期为，其中两相邻计数点间有四个点未画出，所以两相邻计数点间时间间隔。 在匀变速直线运动或者，中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，则： 根据逐差法可是小车的加速度为：。 故答案为：0.38；0.39。 【例10】（2024秋•天宁区校级期中）在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中： （1）实验提供了以下器材：打点计时器、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸、弹簧测力计。其中在本实验中不需要的器材是 　 　。 （2）如图甲所示是某同学由打点计时器得到的表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的时间间隔。其中、、、、、。如表列出了打点计时器打下、、、时小车的瞬时速度，请在表中填入打点计时器打下点时小车的瞬时速度。 位置 速度 0.737 0.801 　　 0.928 0.994 （3）以点为计时起点，在图乙所示坐标系中作出小车的速度—时间关系的图线。 （4）计算出的小车的加速度 　　。（保留二位有效数字） （5）若实验时交流电源的频率稍偏大，则测量的加速度大小 　　。（填“偏大”“不变”“偏小” 【答案】（1）复写纸，弹簧测力计；（2）0.863；（3）图像如图所示： ； （4）0.64；（5）偏小。 【分析】（1）解决实验问题首先要掌握该实验原理，了解实验的仪器、操作步骤和数据处理以及注意事项； （2）在匀变速直线运动中，时间中点的速度等于该过程中的平均速度，由此可求出点速度大小； （3）利用描点法可画出速度—时间图象； （4）图象的斜率大小表示加速度大小，由此可以求出小车的加速度大小； （5）由逐差法表达式进行误差分析。 【解答】解：（1）在本实验中不需要测量力的大小，因此不需要弹簧测力计；由于用电火花计时器，所以不需要复写纸； （2）纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的时间间隔，则相邻两个计数点间的时间间隔 根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度知：； （3）小车的速度—时间关系图线如图所示： （4）在图象中，图线的斜率表示加速度的大小：； （5）电源频率变大，则周期变小，计算中使用的周期偏大，由可知，则加速度的测量值与实际值相比偏小。 故答案为：（1）复写纸，弹簧测力计；（2）0.863；（3）图像如图所示： ； （4）0.64；（5）偏小。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 匀变速直线运动的常用结论- 知识点目录 【知识点1】平均速度 2 【知识点2】逐差法求加速度 4 基础知识 一、平均速度公式的理解与应用 1．平均速度公式：＝＝ (1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半． (2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式＝及＝. 2．三个平均速度公式的比较 ＝适用于任何运动； ＝及＝仅适用于匀变速直线运动． 二、位移差公式Δx＝aT2 1．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx＝aT2. 2.推导：如图，x1＝v0T＋aT2，x2＝v1T＋aT2，所以Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2. 同理，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n. 3．应用 (1)判断物体是否做匀变速直线运动 如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2总成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动． (2)求加速度 利用Δx＝aT2，可求得a＝. 三、初速度为零的匀加速直线运动的比例式 1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则： (1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n. (2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2. (3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为： x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)． 2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式 (1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶. (2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶. (3)通过连续相同的位移所用时间之比为： t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)． 知识点1 知识点 【知识点1】平均速度 1．中点位置的瞬时速度公式：＝. (1)推导：如图所示，前一段位移－v02＝2a·，后一段位移v2－＝2a·，所以有＝·(v02＋v2)，即有＝. (2)适用条件：匀变速直线运动． (3)中点位置的速度与中间时刻的速度的比较：对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即. 典型例题 例1： 【例1】（多选）（2024秋•市南区校级月考）一辆汽车沿着一条平直的公路做匀变速直线运动，取汽车经过电线杆的时刻为零时刻，内汽车依次经过公路旁边的一排电线杆、、，已知相邻两电线杆间的距离为，则下列说法正确的是　　 A．汽车全程的平均速度大小为 B．汽车在时的速度大小为 C．汽车经过电线杆时的速度大小一定小于 D．汽车经过电线杆时的速度大小一定大于 【例2】（2024秋•高坪区校级月考）做匀加速直线运动的物体，先后经过、两点时的速度分别为和，经历的时间为，则　　 A．前半程速度增加 B．前时间内通过的位移为 C．后半程速度增加 D．后时间内通过的位移为 【例3】（多选）（2024秋•绿园区校级期中）一物体做匀变速直线运动，经过时间后，它的速度由变为，经过的位移为。下列说法中正确的是　　 A．这段时间内它的平均速度为 B．经过时，它的瞬时速度的大小为 C．这段时间的中点时刻的瞬时速度为 D．经过时，它的瞬时速度为 【例4】（2023春•西安期末）光滑斜面的长度为，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为，则下列说法不正确的是　　 A．物体运动全过程中的平均速度是 B．物体在时的瞬时速度是 C．物体运动到斜面中点时瞬时速度是 D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是 【例5】（多选）（2023秋•顺义区校级月考）一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为，经过时间后速度变为，位移为，则物体在　　 A．这段时间内的平均速度一定是 B．这段时间内的平均速度一定是 C．这段时间内中间时刻的瞬时速度一定是 D．这段时间内中间位置的瞬时速度一定是 知识点2 知识点 【知识点2】逐差法求加速度 1．纸带上提供的数据为偶数段． (1)若已知连续相等时间内的两段位移． 由x2－x1＝aT2，得a＝ (2)若已知连续相等时间内的四段位移． 可以简化成两大段AC、CE研究 xⅠ＝x1＋x2 xⅡ＝x3＋x4 tAC＝tCE＝2T a＝＝ (3)若已知连续相等时间内的六段位移 可以简化成两大段AD、DG研究 xⅠ＝x1＋x2＋x3 xⅡ＝x4＋x5＋x6 a＝＝. 2．纸带上提供的数据为奇数段 若第一段位移较小，读数误差较大，可以舍去第一段；也可以先舍去中间的一段的数据，选取偶数段数据再利用上述方法求解，例如已知连续相等时间段的五段位移． xⅠ＝x1＋x2，xⅡ＝x4＋x5 a＝＝. 典型例题 【例6】（2025•镇江校级模拟）在用打点计时器研究小车的运动时，实验装置如图甲，现得到一条点迹清晰的纸带如图乙所示： （1）纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，则两计数点间的时间间隔是 　　。 （2）测得，，，，由此可知，打点时纸带速度大小为 　　。 （3）通过上面数据得出小车的加速度为 　　。 【例7】（2024秋•深圳期末）如图，某同学分别设计了关于“探究加速度与力、质量的关系”的实验装置如图甲，小车质量用、托盘及内部重物总质量或砂桶及其中砂子总质量用表示，。 （1）为便于测量合力的大小，并得到小车质量一定时，小车的加速度与所受合力成正比的结论。下列说法正确的是　　（填选项字母）。 ．实验时，先释放小车再接通打点计时器的电源 ．为了减小系统误差，本实验中需要满足远小于的条件 ．用图像法处理数据不仅可以减小偶然误差，还能直观的得出与的关系 （2）该同学在实验中得到如图乙所示的一条纸带（相邻两计数点间还有4个点没有画出）。已知打点计时器采用的是频率为的交流电，根据纸带可求出小车的加速度为　　（结果保留2位有效数字）。 （3）该同学在图甲所示的实验装置的操作下，处理数据时以弹簧测力计的示数为横坐标，加速度为纵坐标，作出关系图像如图丙所示。则小车的质量为　　，小车所受摩擦力与重力的比值为　　。 【例8】（2024•衡阳县校级开学）如图所示为研究匀变速直线运动规律时打出的一条纸带，已知打点计时器的频率为，则打下标号2、3两点之间的时间间隔为 　 　，小车的加速度大小为 　　。 【例9】（2023秋•顺义区期末）某同学实验中获得一条纸带，如图所示，其中两相邻计数点间有四个点未画出。已知所用电源的频率为，则打点时小车运动的速度大小　 　，小车运动的加速度大小　　。 【例10】（2024秋•天宁区校级期中）在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中： （1）实验提供了以下器材：打点计时器、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸、弹簧测力计。其中在本实验中不需要的器材是 　 　。 （2）如图甲所示是某同学由打点计时器得到的表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的时间间隔。其中、、、、、。如表列出了打点计时器打下、、、时小车的瞬时速度，请在表中填入打点计时器打下点时小车的瞬时速度。 位置 速度 0.737 0.801 　　 0.928 0.994 （3）以点为计时起点，在图乙所示坐标系中作出小车的速度—时间关系的图线。 （4）计算出的小车的加速度 　　。（保留二位有效数字） （5）若实验时交流电源的频率稍偏大，则测量的加速度大小 　　。（填“偏大”“不变”“偏小” 学科网（北京）股份有限公司 $$