精品解析： 四川省绵阳实验高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

绵阳实验高级中学高2023级高二（下）6月考试试题 数学 命题人：杨萍钰 审题人：李春艳 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 第 Ⅰ卷 选择题（共 58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，，那么（ ） A. 2 B. -3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为4的周期数列，根据可得结果. 【详解】 . 故选：A 2. 已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.3 则（ ） A. 2.4 B. 6.4 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列性质可得，再由期望公式以及期望值性质计算可得结果. 【详解】易知，解得， 所以， 可得. 故选：D 3. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图象可判断原函数切线斜率的变化，结合选项中的图象即可判断． 【详解】由图可知在上单调递减，在上单调递增， 则的切线斜率在上递减，在上递增，选项A符合题意； 选项B，的切线斜率在上递增，在上递减，不符合题意； 选项C，的切线斜率在上递减，不符合题意； 选项D，的切线斜率在上递增，不符合题意. 故选：A． 4. 学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为p；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．已知王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.5，则p的值为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式，分别计算出第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率，以及第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率，然后将这两个概率相加，即可得到王同学第二天去餐厅用餐的概率，计算求得结果. 【详解】因为只有、两家餐厅，随机选择一家，去每家的概率都是， 所以王同学第一天去餐厅的概率为 又已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为 可得第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为： ， 同理，第一天去餐厅的概率为. 已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为 根据条件概率公式，可得第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为： 因为“第一天去餐厅且第二天去餐厅”与“第一天去餐厅且第二天去餐厅” 这两个事件是互斥的， 所以王同学第二天去餐厅用餐的概率为： ，解得：. 故选：A 5. 5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数 B. 线性回归方程中 C. 当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.24个单位 D. 可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只） 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断A选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B选项；根据回归方程判断CD选项. 【详解】从数据看随的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数，故A正确； 由已知数据得，， 代入中得到，故B错； 根据线性回归方程可得每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故C正确. 将代入中得到，故D正确. 故选：B. 6. 已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由叠加法求出数列通项公式，再代入，求出数列通项公式，再由列项相消法求出. 【详解】由得，，，…，，， 叠加得， 由题可知也适合上式，故； 所以， 则数列前n项的和. 故选：B. 7. 运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（ ） A. 32种 B. 24种 C. 18种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】按照跳高项目安排人数，分成两种情况讨论即可. 【详解】按照跳高项目安排人数，可以分以下两类： 第一类，跳高项目安排1人，共种安排方法， 第二类，跳高项目安排2人，共种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法. 故选：B. 8. 若函数，则的零点个数为（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得或，分，求导判断的单调性及极值，进而可得，的解的个数，进而可得的零点个数. 【详解】令，则，所以， 解得，解得或， 当时，，求导得， 令，则，解得， 若时，，若，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 当时，在上单调递增，且， 所以有3个解，有2个解， 所以的零点个数为5个. 故选：D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法，其中正确的是（    ） A. 若随机变量，则 B. 若，且，则C，D相互独立 C. 若随机变量，则 D. 在回归分析中，对一组给定的样本数据，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正态分布计算可判断A，利用条件概率公式与对立事件概率公式计算可判断B；利用二项分布的方差公式计算可判断C，根据残差定义可判断D. 【详解】随机变量，所以， 所以则，故A正确； 因为，所以， 所以，所以， 所以C，D相互独立，故B正确； 随机变量，则， 所以，故C错误； 按照残差的意义，在回归分析中，若残差平方和越小，则模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：AB. 10. 现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（ ） A. 可以组成720个没有重复数字的六位数 B. 若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C. 可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D. 若0必选，则可以组成832个五位数 【答案】BCD 【解析】 【分析】由分步乘法原理，最高位不能是零，其余全排列可得A错误；采用插空法，先排5，4，3，1，再将剩余的数插空可得B正确；利用分步乘法原理先五个数全排再将剩余数字2插空，然后减去数字0排在第一位的情况可得C正确；分四种情况，由分步乘法原理，特殊的元素先排列，再四种情况求和可得D正确. 【详解】对于A选项，5，4，3，2，1，0，最高位不能是零，其余数字全排列,则A选项错误. 对于B选项，B选项正确. 对于C选项，C选项正确. 对于D选项，分四种情况，若不选2，则有个； 若选1个2，则有个； 若选2个2，则有个； 若选3个2，则有个， 一共有个，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知数列的前n项和为，为数列的前n项积，满足，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 数列的最大项的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过中赋值n可判断A选项，由代入化简可得是以2为首项，1为公差的等差数列，求出，再求出，即可判断BC选项，令，通过解不等式组即可判断D选项. 【详解】因为，所以，即，故A正确； 因为为数列的前n项积，故， 所以， 故，又 故是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，易知不为等比数列，故B不正确； ，故C正确； 令， 解不等式组，得， 当时，， 当时，， 所以数列的最大项的值为，D正确， 故选：ACD. 第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中二项式系数的最大值为__________.（用数字作答） 【答案】70 【解析】 【分析】二项式系数中间项最大． 【详解】，所以二项式系数最大值为：； 故答案为：70. 13. 甲､乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【详解】甲以3：0获胜的概率为，以3：1获胜的概率为， 以3：2获胜的概率为， 所以甲获胜的概率为. 故答案为： 14. 已知函数在定义域上为偶函数，并且时,，若，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令函数，得到在上单调递增，在上单调递减，且为偶函数，结合和，即可求解. 【详解】由题意知，当时，，即， 因为，令函数，则在上单调递增， 又由在上的偶函数，可得， 所以函数在上为偶函数，且在上单调递减， 因为，因此，且，即， 即，即，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据关系求数列的通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比数列的前n项和公式求. 【小问1详解】 由题设，知， 当时，， 当时，， 经验证，满足， ． 【小问2详解】 ， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， ， ． 16. 已知函数. （1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极值； （2）若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）由求得，由此求得的极值. （2）由，结合判别式来求得的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 所以在区间递增； 在区间递减. 所以的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 依题意在上恒成立， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 17. 为了研究DeepSeek（AI学习助手）对学生数学成绩的影响，将20名学生均分为两组，分别为使用组（使用DeepSeek）和非使用组.一段时间后，测得20名学生的数学成绩变化如下（单位：分）： 使用组 1 1 2 2 3 3 3 4 非使用组 0 0 1 1 2 3 （1）从使用组中随机抽取两名学生，设其中成绩进步的人数为，求的分布列和数学期望； （2）求20名学生数学成绩变化的中位数，并分别统计两组中低于与不低于的人数，完成如下列联表： 低于 不低于 总计 使用组 非使用组 总计 （3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 （2），列联表见解析 （3）有 【解析】 【分析】（1）利用组合数公式计算离散型随机变量取不同值的概率，进而得到分布列，再根据期望公式计算期望； （2）根据中位数的定义确定的值并列出列联表； （3）依据独立性检验的公式计算值，并与临界值比较，判断是否有把握认为两个变量有关联. 【小问1详解】 由题意知：的可能取值为， ， 的分布列为： 0 1 2 【小问2详解】 由题意知：20名学生成绩变化的中位数为 列联表如下： 低于 不低于 总计 使用组 2 8 10 非使用组 6 4 10 总计 8 12 20 【小问3详解】零假设：认为使用DeepSeek与数学成绩变化无关， ，则不成立， 有的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数， （1）当时，求函数在点处的切线方程; （2）证明:恒成立； （3）证明: 【答案】（1） （2） 易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. （3） 由（2）中结论可知； 所以， 因此； 可知 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）根据不等式构造函数和分别证明大于等于零恒成立即可； （3）依据（2）中结论可得，再利用等比数列前项和公式计算可得证明得出结论. 【小问1详解】 当时，可得，所以； 可得，又， 所以在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束. （1）设员工在游戏过程中累计得分的概率为. ①求； ②求证数列为等比数列. （2）得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元） 【答案】（1）①；②证明见解析； （2）1499元. 【解析】 【分析】（1）①根据事件发生概率，依次分类进行求解即可； ②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为，所以，结合数列递推关系，即可证明是公比为的等比数列. （2）由（1），运用累加法可求得，进而可求得员工获得二等奖和一等奖的概率，设一等奖的奖金为元，进而可得，解不等式即可. 【小问1详解】 ①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为； 累计得2分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为；累计得3分，即前两次投掷一次为偶数，一次为偶数或连续三次投掷都是奇数，其概率为； ②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为. 所以， 则，又 故为首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知， 将所有等式相加得， 所以， 所以， 设一等奖的奖金为元，二等奖的奖金为元， 由题意知元， 解得，即一等奖的奖金最多不超过1499元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳实验高级中学高2023级高二（下）6月考试试题 数学 命题人：杨萍钰 审题人：李春艳 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 第 Ⅰ卷 选择题（共 58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，，那么（ ） A. 2 B. -3 C. D. 2. 已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.3 则（ ） A. 2.4 B. 6.4 C. 12 D. 16 3. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 4. 学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为p；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．已知王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.5，则p的值为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 5. 5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数 B. 线性回归方程中 C. 当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.24个单位 D. 可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只） 6. 已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（ ） A. B. C. D. 7. 运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（ ） A. 32种 B. 24种 C. 18种 D. 12种 8. 若函数，则的零点个数为（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法，其中正确的是（    ） A. 若随机变量，则 B. 若，且，则C，D相互独立 C. 若随机变量，则 D. 在回归分析中，对一组给定的样本数据，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好 10. 现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（ ） A. 可以组成720个没有重复数字的六位数 B. 若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C. 可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D. 若0必选，则可以组成832个五位数 11. 已知数列的前n项和为，为数列的前n项积，满足，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 数列的最大项的值为 第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中二项式系数的最大值为__________.（用数字作答） 13. 甲､乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为__________. 14. 已知函数在定义域上为偶函数，并且时,，若，则不等式的解集为__________. 四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 16. 已知函数. （1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极值； （2）若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围. 17. 为了研究DeepSeek（AI学习助手）对学生数学成绩的影响，将20名学生均分为两组，分别为使用组（使用DeepSeek）和非使用组.一段时间后，测得20名学生的数学成绩变化如下（单位：分）： 使用组 1 1 2 2 3 3 3 4 非使用组 0 0 1 1 2 3 （1）从使用组中随机抽取两名学生，设其中成绩进步的人数为，求的分布列和数学期望； （2）求20名学生数学成绩变化的中位数，并分别统计两组中低于与不低于的人数，完成如下列联表： 低于 不低于 总计 使用组 非使用组 总计 （3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为使用DeepSeek与数学成绩变化有显著关联？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数，其中为自然对数的底数， （1）当时，求函数在点处的切线方程; （2）证明:恒成立； （3）证明: 19. 某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束. （1）设员工在游戏过程中累计得分的概率为. ①求； ②求证数列为等比数列. （2）得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $