精品解析：云南省2024～2025学年高二秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试题

云南省2024年秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式： 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 球的表面积公式：，体积公式：，其中表示球的半径. 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高. 锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高. 选择题（共66分） 一、选择题：本题共22个小题，每小题3分，共66分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，，都是实数.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为虚数单位，设复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 5. 的内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知平面向量，.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方体中，直线与直线（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交且垂直 D. 相交但不垂直 10. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 11. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知点是角终边上的点，则（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 13. 已知为虚数单位，设复数，则（ ） A B. C. D. 14. 函数在上最大值为（ ） A. B. C. 6 D. 36 15. （ ） A. B. 0 C. D. 1 16. 某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 17. 已知函数的图象关于轴对称.若，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 18. 已知为第一象限角.若，则（ ） A. B. C. D. 19. （ ） A B. C. D. 20. 某住宅小区有、两种不同的户型，共有居民1万户，从中随机抽取200户，调查空调安装情况.调查结果如下表所示： 空调 户型住户（单位：户） 户型住户（单位：户） 已安装 50 30 未安装 60 60 则该小区已安装空调的住户估计有（ ） A. 2500户 B. 3000户 C. 3500户 D. 4000户 21. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 22. 某校学生会体育部有4名学生，其中高一年级、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织学校篮球比赛，则这2名学生来自相同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 非选择题（共34分） 二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分. 23. 甲、乙两人独立地解答一道相同数学题，若甲解对概率是，乙解对的概率是，则甲、乙两人都解对这道题的概率为______. 24. 若，则的取值范围为______. 25. 在中，三个内角，，的对边分别为，，.若，则______. 26. 已知，则______. 三、解答题：本题共3个小题，共18分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 27. 某数学兴趣小组通过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速区的时速（单位：），并绘制成如图所示的频率分布直方图，这100辆汽车时速的范围是，其中时速不低于的汽车有辆，数据分组为，，，，. （1）求直方图中的值； （2）求的值. 28. 如图，在四棱锥中，，. （1）证明：平面； （2）若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 29. 记锐角三角形的内角分别为，，，平面向量，平面向量，已知. （1）证明：； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省2024年秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 参考公式： 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 球的表面积公式：，体积公式：，其中表示球的半径. 柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高. 锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高. 选择题（共66分） 一、选择题：本题共22个小题，每小题3分，共66分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集定义可得答案. 【详解】由题可得. 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法法则求解. 【详解】由向量加法法则知. 故选：B 3. 已知，，都是实数.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于AB，，，A正确，B错误； 对于CD，当时，，都无意义，CD错误. 故选：A 4. 已知为虚数单位，设复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共轭复数的意义直接判断. 【详解】由复数，得。 故选：D 5. 的内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，由正弦定理得. 故选：C 6. 已知平面向量，.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 7. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦型函数周期公式列式得解. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：B 8. 已知点，点，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解. 【详解】点，点，则. 故选：B 9. 如图，在正方体中，直线与直线（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交且垂直 D. 相交但不垂直 【答案】A 【解析】 【分析】由图正方体结构特点及异面直线的定义可得答案. 【详解】由图知平面，平面，， 根据异面直线的定义，直线与直线异面. 故选：A 10. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数有意义列式求解. 【详解】函数的意义，则，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B 11. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数、对数函数单调性逐项判断. 【详解】函数、、在上都单调递减，ABC不是； 函数在上单调递增，D是. 故选：D 12. 已知点是角终边上的点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义直接求解. 【详解】依题意，. 故选：B 13. 已知为虚数单位，设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数加减法运算求解. 【详解】复数，得. 故选：A 14. 函数在上的最大值为（ ） A. B. C. 6 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数单调性求出最大值. 【详解】函数在上单调递增，当时，. 所以函数在上的最大值为6. 故选：C 15. （ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 分析】利用对数运算计算即得. 【详解】. 故选：D 16. 某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球的表面积公式求解. 【详解】依题意，球的表面积为（）. 故选：C 17. 已知函数的图象关于轴对称.若，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 分析】根据偶函数定义计算求解. 【详解】函数的图象关于轴对称，所以函数是 偶函数， 因为，则. 故选：A. 18. 已知为第一象限角.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角的平方和为1，结合为第一象限角，可求的值. 【详解】因为，，所以， 又因为为第一象限角，所以. 故选：D. 19. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用两角和的正弦公式可得答案. 【详解】由两角和的正弦公式可得：. 故选：A 20. 某住宅小区有、两种不同的户型，共有居民1万户，从中随机抽取200户，调查空调安装情况.调查结果如下表所示： 空调 户型住户（单位：户） 户型住户（单位：户） 已安装 50 30 未安装 60 60 则该小区已安装空调的住户估计有（ ） A. 2500户 B. 3000户 C. 3500户 D. 4000户 【答案】D 【解析】 【分析】由样本数据确定安装比例，即可求解. 【详解】由表格可知安装空调共计户，所以安装空调的住户比例为， 所以该小区已安装空调的住户估计有， 故选：D 21. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号. 故选：C 22. 某校学生会体育部有4名学生，其中高一年级、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织学校篮球比赛，则这2名学生来自相同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算得解. 【详解】从4名学生中任取2名的试验有个基本事件， 这2名学生来自相同年级的事件有个基本事件， 所以所求概率为. 故选：B 非选择题（共34分） 二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分. 23. 甲、乙两人独立地解答一道相同数学题，若甲解对的概率是，乙解对的概率是，则甲、乙两人都解对这道题的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】甲、乙两人解对这道题的概率相互独立，根据独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】根据题意，甲、乙两人解对这道题的概率相互独立，则甲、乙两人都解对这道题的概率为. 故答案为：. 24. 若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用平方差公式分解因式，再根据一元二次不等式与方程的关系，即可求解. 【详解】，方程的两根分别是和2， 所以不等式的取值范围是. 故答案为： 25. 在中，三个内角，，的对边分别为，，.若，则______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】应用余弦定理计算求解. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 26. 已知，则______. 【答案】2 【解析】 分析】根据分段函数解析式求函数值即可. 【详解】因为， 所以, 故答案为：2 三、解答题：本题共3个小题，共18分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 27. 某数学兴趣小组通过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速区的时速（单位：），并绘制成如图所示的频率分布直方图，这100辆汽车时速的范围是，其中时速不低于的汽车有辆，数据分组为，，，，. （1）求直方图中的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出时速在，，，范围内的汽车的频率，依据频率之和为1，可得时速在范围内的汽车的频率，再除以组距即为的值； （2）求出时速不低于的汽车频率，乘以汽车总数即为的值. 【小问1详解】 时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 可得时速在范围内的汽车的频率为：， 故. 【小问2详解】 由（1）知，时速不低于的汽车频率为， 故. 28. 如图，在四棱锥中，，. （1）证明：平面； （2）若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据棱锥体积公式计算即可得解. 【小问1详解】 因为，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为. 29. 记锐角三角形的内角分别为，，，平面向量，平面向量，已知. （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先对题干中的等式进行化简，求出的值，进而可求出的正切值. （2）首先将向量的数量积表示出来，并进行化简，然后根据角的范围求出向量数量积的范围即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以. 因为为锐角的内角，所以， 所以，所以， 所以. 小问2详解】 因为， 所以. 又，，所以， 而，所以， 所以. 所以，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$