精品解析：浙江省9+1联盟2024-2025学年高二下学期6月学业水平模拟考试数学试题

2024学年第二学期浙江省9+1高中联盟学业水平模拟考试 数学 考生须知： 1．本卷满分100分，考试时间80分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析. 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合A={1,2}，B={2,3}，则AB=（ ） A. {2} B. {1,2,3} C. {1,3} D. {2,3} 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】因为集合A={1，2}，B={2，3}， 所以AB= {2}. 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶次方根下的数非负，可直接得到答案. 【详解】由题意知：，解得. 故选：B 3. 已知，且，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 任何实数 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积坐标运算计算即可得解. 【详解】已知，且，那么，即． 故选：B． 4. 下列直线为函数的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式得到，令即可求出对称轴． 【详解】对于函数， 当时取到对称轴． 所以是函数的一条对称轴， 故选：A． 5. 已知平面与直线，则“”是“直线与平面无公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面平行的定义可判断. 【详解】根据直线与平面平行的定义，若直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行， 记作：， 因此“”是“直线与平面无交点”的充要条件， 故选：C． 6. 已知随机事件是互斥事件，且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对立事件的概率公式可得到选项A;由和事件的概率公式及对立事件积事件的概率可得到选项B,C;由对立事件以及选项B可得到选项D. 【详解】事件A，B互斥，则A，B不能同时发生． A选项：，A正确； B选项：互斥，，B正确： C选项：互斥事件，C正确； D选项：，D错误． 故选：D． 7. 已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可. 【详解】函数是函数向左平移1个单位得到， 因函数的周期，则周期也为4， A选项：对应中的值，由图象知，错误； B选项：对应中的值，由图象知，错误； C选项：，则，又对应中的值， 由图象知，即，正确； D选项：，则，错误． 故选：C． 8. 若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为在区间上恒成立，即可求出的取值范围. 【详解】由题意可得，在区间上恒成立， 因，则，故ABC错误，D正确. 故选：D 9. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件，分别先求出，，，再利用公式求解即可． 【详解】由题可知，， 由得，即． 又因为． 所以． 故选：C． 10. 某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨或下跌（两种情况概率各）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略： 策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件； 策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为元）． 不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（ ） A. 策略P B. 策略Q C. 平均总成本相同 D. 需根据价格波动幅度判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出两种策略的平均总成本，进行比较即可判断． 【详解】先分析策略（分两次购买）：当前成本：100元（第1件）．下个月价格：上涨后为元，下跌后为元，概率各，则下月购买第2件的平均成本为元； 所以总平均成本：元． 再看策略（一次性囤货2件）：无论下个月价格如何波动，总成本固定为元（享受折扣后无价格风险）． 所以策略平均总成本197.5元＞策略固定成本190元，尽管价格波动非对称，但策略通过固定折扣直接降低了总成本，且折扣后的单价（95元／件）低于策略P的预计单价（97.5元／件），因此策略更优， 故选：B． 11. 已知正边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，可用表示的正余弦值，进一步化简，再求的值即可得解. 【详解】如图（以正六边形为例），设正边形中心为， 连接，过点作于点，则． 由题意得. 在直角中，，， 所以，， 所以. 故选：A. 12. 定义分段函数，其中、为实数．已知函数在区间内恰好有个零点，则满足条件的组合可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，由，可得；当时，由，可得，，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，作出图象，对函数在区间、上的零点个数进行分类讨论，数形结合可得出合适的选项. 【详解】当时，由，可得，如下图所示： 当时，由，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，的极小值为，如下图所示： 若在区间上的零点个数为，则在区间上的零点个数为， 则，B合乎题意； 若在区间上的零点个数为，则在区间上的零点个数为， 则或，没有选项合乎题意； 若在区间上的零点个数为，则在区间上的零点个数为， 则，没有选项合乎题意. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 13. 下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据开平方，对数，幂的运算，分别判断各选项正误. 【详解】选项A：，所以，A错误． 选项B：，根据对数性质，则，B正确． 选项C：根据指数运算法则（时，运算有意义），C正确． 选项D：成立的前提是，题目未保证的正负，D错误． 故选：BC． 14. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ） A. 图象过定点 B. 值域为 C. 在定义域上单调 D. 函数一定存在单调增区间 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由奇函数性质即可判断；对于B，只需求得时，值域，结合奇函数性质即可判断；对于C，D，由二次函数性质即可判断. 【详解】选项A：是定义域为的奇函数，所以，图象过，A正确； 选项B：时，时，值域为；时，值域为，又，值域为． 时，时，值域为；时，值域为，又，值域也为，B正确． 选项C：当时，在上单调递减，在上单调递增，在定义域上不单调，C错误； 选项D：当时，是单调递增区间；当时，是单调递增区间，D正确． 故选：ABD． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱上的动点（不包括端点），则（ ） A. 直线与直线相交 B. 存在点，使得 C. 当取最小值时，点为中点 D. 过三点的截面为五边形 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正方体的性质得到四点共面，建立空间直角坐标系得到与不平行，进而确定与相交判断A，设出关键点的坐标，求出关键点的向量，利用空间直线垂直的坐标表示建立方程，求解参数并结合参数范围判断B，利用两点间距离公式得到，再利用导数判断其取最小值时，点不为中点判断C，利用相交线的性质确定截面五边形判断D即可. 【详解】对于A，如图，连接，，，且以为原点建立空间直角坐标系， 由正方体性质得，故四点共面， 由题意得正方体的棱长为，则，，，， 则，，两个向量不成比例， 则与不平行，得到直线与直线相交，故A正确， 对于B，如图，连接，易得，设， 则，， 若，则，得到， 解得，与不符， 则不存在点，使得，故B错误， 对于C，如图，连接，设， 由两点间距离公式得， ， 则， 令，则， 而，则不可能是的最小值，故C错误， 对于D，如图，延长交延长线于，连接交于， 连接，，延长交于，连接交于， 此时，则四点共面， 而，，可得五点共面， 易得不与所在棱的顶点重合， 则五边形即为所求截面五边形，故D正确. 故选： AD． 三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 16. 已知复数满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查了复数模的运算公式，考查了数学运算能力，属于基础题. 17. 袋中装有3个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，1个黑球，从中任取两个球，则取出的球颜色不相同的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从3个球中任取2个，共有3种取法． 颜色全相同的情况只有1种． 所以颜色不相同的概率为． 故答案为：. 18. 如图，是根据某家长某月的通话明细清单，按每次通话时间长短画出的频率分布直方图，估计这组数据的第50百分位数为__________.（保留小数点后面一位） 【答案】 【解析】 【分析】先根据频率之和等于求出，再根据百分位数的定义求解即可. 【详解】由题意， 解得， 因为， 所以第50百分位数在区间内，设为， 则，解得， 所以第50百分位数为. 故答案为：. 19. 已知为正实数，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将化为，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以 因为， 所以，当且仅当时取等． 所以则的最小值为， 故答案为：． 四、解答题（本题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 已知函数． （1）求的值； （2）把函数化成的形式，并求的最小正周期； （3）求出满足方程的所有的取值集合． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）直接将代入函数解析式，结合特殊角的三角函数求解即可； （2）化简，再利用两角差的正弦公式化简，结合正弦函数的周期公式求解即可； （3）由，得，根据正弦函数性质可得答案. 【小问1详解】 将代入， 【小问2详解】 的最小正周期． 【小问3详解】 由，得． 根据正弦函数性质可得或 解得或． 所以的取值集合为． 21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，为线段上的动点． （1）求四棱锥的体积； （2）求证：平面平面； （3）若点为中点，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1） （2）证明： 因为是中点，所以． 底面，底面，则； 又底面是正方形，，且，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为且，，平面， 所以平面．又平面， 所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）根据棱锥的体积公式计算得解； （2）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）设，作辅助线，分析可知二面角的平面角为，计算出三边边长，由此可求得的余弦值，即可得解. 【小问1详解】 体积公式为，其中底面是正方形，边长， 所以底面积，高． 所以． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 过作于， 因为是中点，， 所以，且，是中点． 在中，，由勾股定理得． 过作于，连接． 所以就是二面角的平面角． 因为，则，即． 在中，，由勾股定理得． 所以二面角的平面角的余弦值为． 22. 已知定义在R上的二次函数，且在上的最小值是7． （1）求实数的值； （2）设函数，方程在上是否存在两个不等实根？若存在，请说明与的大小关系，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）分三种情况讨论对称轴与区间的关系，分别利用在上的最小值是7列方程求解即可； （2）先判断方程存在解，则一定有，可得方程在上有两不等实根．方法一，判断，利用余弦函数的单调性求解；方法二，先证明，再根据函数单调性,结合放缩法证明即可. 【小问1详解】 函数，对称轴为． 当即时，在单调递增，最小值为． 由，解得，满足． 当即时，函数最小值为，无解． 当即时，函数最小值为，解得，不满足，舍去． 综上，． 【小问2详解】 在内，结合的取值范围与的取值范围， 可得根所在区间满足：且 时，解得，即或； 时，解得． 所以，若方程存在解，则一定有． 记， 则 可知方程在上有两不等实根． 而的图象如图所示： 故在上有且只有两个交点， （法一）由以上分析可知 则， 所以． 因为在单调递增，所以，即． （法二）则， 因为对称轴为，所以， 且整理可得，且， 显然在上单调递增，所以，即． 又因为且在该区间单调递减， 所以，即． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期浙江省9+1高中联盟学业水平模拟考试 数学 考生须知： 1．本卷满分100分，考试时间80分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析. 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合A={1,2}，B={2,3}，则AB=（ ） A. {2} B. {1,2,3} C. {1,3} D. {2,3} 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 任何实数 4. 下列直线为函数的对称轴是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面与直线，则“”是“直线与平面无公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知随机事件是互斥事件，且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 9. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 10. 某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨或下跌（两种情况概率各）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略： 策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件； 策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为元）． 不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（ ） A. 策略P B. 策略Q C. 平均总成本相同 D. 需根据价格波动幅度判断 11. 已知正边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 定义分段函数，其中、为实数．已知函数在区间内恰好有个零点，则满足条件的组合可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 13. 下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ） A. 图象过定点 B. 值域为 C. 在定义域上单调 D. 函数一定存在单调增区间 15. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱上的动点（不包括端点），则（ ） A. 直线与直线相交 B. 存在点，使得 C. 当取最小值时，点为中点 D. 过三点的截面为五边形 三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 16. 已知复数满足，则_________. 17. 袋中装有3个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，1个黑球，从中任取两个球，则取出的球颜色不相同的概率是______． 18. 如图，是根据某家长某月的通话明细清单，按每次通话时间长短画出的频率分布直方图，估计这组数据的第50百分位数为__________.（保留小数点后面一位） 19. 已知为正实数，且，则的最小值为______． 四、解答题（本题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20. 已知函数． （1）求的值； （2）把函数化成的形式，并求的最小正周期； （3）求出满足方程的所有的取值集合． 21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，为线段上的动点． （1）求四棱锥的体积； （2）求证：平面平面； （3）若点为中点，求二面角的平面角的余弦值． 22. 已知定义在R上的二次函数，且在上的最小值是7． （1）求实数的值； （2）设函数，方程在上是否存在两个不等实根？若存在，请说明与的大小关系，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $