专题16 一元一次不等式组（3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题16 一元一次不等式组 （3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练+大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列不等式组是一元一次不等式组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·单元测试）判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【答案】见解析 【分析】（1）中含有等号，是方程不是不等式； （2）x2的次数是二次，故不是一元一次不等式组； （3）符合一元一次不等式组的定义； （4）含有两个未知数，故不是一元一次不等式组； （5）符合一元一次不等式组的定义. 【详解】解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组； (2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； (3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； (4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组； (5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组． 综上，可知(3)(5)是一元一次不等式组． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组. 知识点2：一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【即时训练】 4．（2025·浙江杭州·三模）解不等式组：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集．分别解出两个不等式，然后找出它们的解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 故原不等式组的解集为． 5．（2025·浙江温州·三模）解不等式组：，并把不等式组的解表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解下列不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大 ；同小取小；大小小大中间找；大大小小 找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为． （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为． 知识点3：用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 【即时训练】 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某学校开设了篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元，购买3个篮球和5个足球共需费用810元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于32个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案，请列出购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为120元，足球的单价为90元 (2)2种购买方案，方案一：采购篮球32个，采购足球18个；方案二：采购篮球33个，采购足球17个 【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据要求篮球不少于32个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案． 本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 由题意可得：， 解得， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； （2）解：设采购篮球个，则采购足球为个， 要求篮球不少于32个，且总费用不超过5500元， ， 解得， 为整数， 的值可，32，33， 共有2种购买方案， 方案一：采购篮球32个，采购足球18个； 方案二：采购篮球33个，采购足球17个． 8．（2023八年级上·浙江·专题练习）龙泉驿水蜜桃已有80余年的种植历史，现有水蜜桃标准化基地面积达7.2万余亩，年产量8.3万吨，培育了白凤桃、皮球桃、晚湖景等50余个早中晚熟优良品种，有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．已知甲乙两果园今年预计水蜜桃的产量分别为200吨和300吨，打算成熟后运到A，B两个仓库存放，已知A仓库可储存240吨，B仓库可储存260吨．甲，乙两果园运往两仓费用的单价如表： 甲果园 乙果园 A仓库 150元/吨 140元/吨 B仓库 200元/吨 180元/吨 设从甲果园运往A仓库的水蜜桃重量为x吨，甲，乙两果园运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为元，元． (1)求出，的函数关系式； (2)甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费，在这种情况下，甲果园运往A仓库多少吨时，才能使两果园的运费之和最小？并求出最小值． 【答案】(1)， (2)甲果园运往A仓库的水蜜桃为140吨，两地运费之和最小，最小为83000元 【分析】本题考查了一次函数的应用和实际问题的最值问题， （1）设甲果园运往A冷库的水蜜桃重量为x吨，则运往B仓吨，乙农户运往A仓库的水蜜桃重量为吨，运往B仓吨，根据费用等于吨数乘以每吨的费用，即可写出函数解析式； （2）根据自变量x的取值范围，及总运费W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质得出当时，W最小求解即可； 【详解】（1）解：由从甲果园运往A仓库的水蜜桃为x吨，可得从甲果园运往B仓库吨，乙果园运往A仓库吨，乙果园运往B仓库吨， 根据题意：， ， ∴，； （2）∵甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费， ∴， 解得， 设两地运费之和为W元，由题意得： ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，， ∴甲果园运往A仓库的水蜜桃为140吨，两地运费之和最小，最小为83000元． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，某校计划组织960名学生和45名老师开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有A，B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载客75人，3辆A型车和2辆B型车可以载客180人． (1)一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客？ (2)若一辆A型车的租金为320元，一辆B型车的租金为400元．该校计划一共租A，B两种型号的客车25辆，在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过9550元，学校可以选择哪几种租车方案？ 【答案】(1)一辆A型车和一辆B型车分别可以载30人和45人 (2)共有三种租车方案：A型车租6辆，B型车租19辆；A型车租7辆，B型车租18辆；A型车租8辆，B型车租17辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用； （1）设一辆A型车可以载x个乘客，一辆B型车可以载y个乘客，根据1辆A型车和1辆B型车可以载客75人，3辆A型车和2辆B型车可以载客180人列出方程组，解方程组即可； （2）设A型车租a辆，则租用B型车辆，根据不等关系列出不等式组，解不等式组即可； 解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组． 【详解】（1）解：设一辆A型车可以载x个乘客，一辆B型车可以载y个乘客，由题意得： ， 解得， ∴一辆A型车和一辆B型车分别可以载30人和45人； （2）解：设A型车租a辆，则租用B型车辆， 由题意得， 解得， ∵a为整数， ∴a可以取：6，7，8， ∴共有三种租车方案：A型车租6辆，B型车租19辆； A型车租7辆，B型车租18辆； A型车租8辆，B型车租17辆． 【题型1 一元一次不等式组的定义】 1．在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 3．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 4．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 5．判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】（1）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （2）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （3）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答． 【详解】解：（1），符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； （2）中，是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； （3）中，是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，注意掌握把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组叫做一元一次不等式组． 【题型2 求不等式组的解集】 6．解不等式组，并把解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了不等式组的解法，用数轴表示不等式的解集，解题关键是正确求解不等式组． （1）分别求得两个不等式的解集，再将解集表示在数轴上； （2）分别求得两个不等式的解集，再将解集表示在数轴上． 【详解】（1）解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是，把解集表示在数轴上： （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是，把解集表示在数轴上： 7．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 分别解两个不等式，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集，最后利用数轴表示其解集． 【详解】解：， 解①得， 解②得 所以不等式组的解集为， 用数轴表示为： ． 8．解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【答案】不等式组的解集为，它的所有负整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为，它的所有负整数解为． 9．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的求解方法是解题的关键． 运用不等式的性质求解，再根据不等式组的求解方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②，有， ； 不等式组的解集是． 10．下面是小明作业本上解不等式组的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得： …第一步 ∴…第二步 ∴…第三步 任务一：小明的解答过程中，第_________步出现错误；不等式①的正确解集为____________； 任务二：不等式②的解集是____________； 任务三：写出这个不等式组的解集，以及这个不等式组的非负整数解． 【答案】任务一：三；；任务二：；任务三：， 【分析】题目主要考查求不等式组的解集，不等式的性质，熟练掌握求解方法是解题关键． 任务一：根据不等式的性质求解即可； 任务二：根据解不等式的方法步骤求解即可； 任务三：根据题意确定不等式组的解集，然后确定非负整数解即可 【详解】解：任务一：小明的解答过程中，第三步出现错误，不等式没有变号；不等式①的正确解集为， 故答案为：三；； 任务二：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 任务三：∴不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解有：． 【题型3 解特殊不等式组】 11．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 12．阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解关于x、y的二元一次方程组，根据解的情况建立关于参数的不等式组，即可求解； （2）由，，可得的取值范围，同理可得的取值范围，故可求的取值范围． 【详解】（1）解： 由得： 解得： 将代入得： ∴方程组的解为： ∵方程组的解都为正数 ∴ 解得： （2）解：∵，且 ∴， ∵ ∴ ∵，且 ∴， ∵ ∴ 【点睛】本题考查了已知二元一次方程组解的情况求参数取值范围、解特殊不等式等．正确理解题意是解题关键． 13．已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵始终成立， ∴的取值范围是小于或等于的有理数． 故选：． 【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． 14．有一个关于的二元一次方程组如右： （1）请解出这个方程组（用含有的式子表示）； （2）若的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，请求出的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）根据x与y为三角形边长求出m的范围，分x为腰和x为底两种情况求出m的值即可． 【详解】解：（1）， ①-②得：y=3-m， 将y=3-m代入②得：x=3m-3， ∴方程组的解为； （2）根据x与y为三角形边长，得到， 即1＜m＜3， 若x为腰，则有2x+y=7，即6m-6+3-m=7， 解得：m=2； 若x为底，则有x+2y=3m-3+6-2m=7， 解得：m=4，不合题意，舍去， 若x，y都为腰，则有3-m=3m-3， 解得：m=1.5，三边为1.5，1.5，4，不能构成三角形，舍去， 综上，m的值为2． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．已知 （1）若，求m的值； （2）求关于的表达式； （3）若，求的值的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ；（3）． 【分析】（1）将代入中，即可求出m的值． （2）由可得，代入中，即可得到y关于x的表达式． （3）由题意列不等式组，可求出m的取值范围，再根据（1），即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题可知：， ． （2）∵， ∴，代入中． ∴． （3）由题可知， 解得：． 由（1）知， ∴，即． 【点睛】本题考查代数式求值以及求解不等式组．掌握代数式求值和不等式组的解法是解答本题的关键． 【题型4 求一元一次不等式组的整数解】 16．不等式组的最小整数解为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解， 分别解两个不等式，确定解集的公共部分，再找出其中的最小整数． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 可知整数解为，最小整数为． 故选：C． 17．若关于的不等式组，的整数解共有个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解法，根据题意得出的取值范围是解题的关键；根据解不等式组可得，，然后根据题意只有个整数解，可得的范围． 【详解】解不等式，得：， 则不等式组的解集为． ∵不等式组的整数解只有个，即，， ∴． 故选：D． 18．已知关于x的不等式组只有两个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，求解不等式组的解集为，再根据整数解的含义可得答案． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∵原不等式组有且只有两个整数解， ∴，且的整数值为，， ∴． 故答案为：． 19．解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，确定不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解，再求和即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：； ∴整数解的和为：． 20．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的整数解为． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 21．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法及解集的确定，熟练掌握解不等式组的步骤和“同小取小”等确定解集的原则是解题的关键．先分别求解不等式组中的两个不等式，再根据已知的解集确定的取值范围． 【详解】解：解不等式得 解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选：B ． 22．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式组含参数问题．首先分别解两个不等式，然后根据不等式组无解得到，进而求解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组无解， ， 解得， 故选：C． 23．已知关于的不等式组，无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式中的字母的值．先求出不等式组的解集，利用不等式组的解集是无解可知，应该是“大大小小找不到”，所以可以判断出． 【详解】解：解关于的不等式组，得， ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 24．若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少 2 个整数解， ， ， ， 得：， ， ， ， ， ∴满足条件的整数有、、、、， ∴满足条件的整数有5个， 故答案为：5． 25．已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先得出该不等式组的解集为．再结合“有5个整数解”这个条件得这5个整数解为3，2，1，0，，再列出，即可作答． 【详解】解：解不等式， 得． 解不等式， 得， 该不等式组的解集为． 这个不等式组有5个整数解， 这5个整数解为3，2，1，0，， ， ∴解得， 的取值范围为． 【题型6 不等式组和方程组相结合的问题】 26．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】提示：①+②，得，所以．因为，所以， 解得． 27．已知关于、的方程组的解为正数，为非负数，给出下列结论： ①；②当时，；③当时，此方程组的解也是方程的解．其中正确的是(　 　)． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法．用加减法解出方程组，根据方程组的解对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， ①②得，， ①②得，， 由题意得，，， ，， ，①正确； ， 解得：，②正确； 时，，，③正确； 故选：D． 28．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 29．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 30．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合不小于0建立不等式求解即可． 【详解】（1）解方程组， 得， ∵方程组的解是正数， ， 解得． （2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 【题型7 列一元一次不等式组】 31．南昌市春季某日最高气温是，最低气温是，则济南当日气温的变化范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴济南当日气温的变化范围是， 故选：C． 32．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可． 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 33．某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 34．小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 35．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． 【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 【题型8 一元一次不等式组的实际应用】 36．鲜桃刚上市，某水果店率先用1000元购进了一批鲜桃，前两天以高于进价的价格卖出；第三天水果店又用1000元购进了一批鲜桃，由于进价降低了，这一批鲜桃多购进． (1)求水果店购进第一批鲜桃的数量； (2)注意到市场上鲜桃数量逐渐增多，水果店主决定将剩余和新进鲜桃在原销售价的基础上，全部降价元（为整数）销售．实际销售过程中，平均每天销售量相对于前两天平均每天增加了，仅仅销售两天，剩下量不超过． ①求的值； ②若店主将剩余鲜桃以20元的价格全部卖完，求前后一共获利多少元． 【答案】(1)第一批鲜桃的数量为； (2)①；②前后一共获利元． 【分析】本题考查了分式方程和不等式的应用． （1）设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元，根据“第二批批鲜桃多购进”列分式方程，求解即可； （2）①求得总剩余数量为，降价后，每天销售，根据“剩下量不超过”列不等式，求解即可； ②利用总收入减去总支出求解即可． 【详解】（1）解：设第一批鲜桃的进价为元，由第二批鲜桃的进价为元， ∴第一批鲜桃的数量为，第二批鲜桃的数量为， 根据题意得，解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴第一批鲜桃的数量为； （2）解：①前两天每天销售，剩余， ∵第二批鲜桃的数量为， ∴总剩余数量为， 降价后，每天销售，两天共销售， 根据题意得，解得； ∵为整数，且保证销售量不超过总剩余量， ∴取； ②总成本为元， 总收入为 ， ∴前后一共获利：元． 37．某企业需运输一批生产物资，已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运输65箱物资；4辆大货车与6辆小货车一次可以运输120箱物资． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共15辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元．请求出有几种运输方案？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资 (2)有三种运输方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，再根据运输物资的箱数相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，再根据箱数和费用列出不等式组，求出解集，再选择适合的方案解答即可． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意，得 ， 解得， 所以设1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资； （2）解：设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，根据题意，得 ， 解得， ∵m是正整数， ∴m可取5,6,7， ∴运输方案有3种， 方案一：大货车5辆，小货车10辆，此时所需要费用为（元）； 方案二：大货车6辆，小货车9辆，此时所需要费用为（元）； 方案三：大货车7辆，小货车8辆，此时所需要费用为（元）． 答：方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆． 38．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 39．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元 (3)有两种：当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【分析】对于（1），设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； 对于（2），设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多余7500元，列不等式求解； 对于（3），根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． （3）解：根据题意得：， 解得：， ∵，且a应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． 40．李老师预购买一些盲盒作为期末奖品．已知2个A款盲盒，5个B款盲盒共需60元；4个A款盲盒，3个B款盲盒共需64元．解答下列问题： (1)求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)正逢开展“618”促销活动，线下实体店优惠方案：会员卡35元，成为会员后凭会员卡购买店内任何商品可享受8折优惠（已知小昕不是该实体店的会员）；线上淘宝店优惠方案：一律按商品价格的9折出售且包邮． ①小听计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒个，若在线下实体店购买．所需费用______元；若在线上淘宝店购买，所需费用______元．（均用含的代数式表示） ②请你帮小听算一算，购买A款盲盒的数量的范围是______时，线下购买方式更合算． 【答案】(1)A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒的销售单价为8元 (2)①；；② 【分析】（1）设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）根据题意列出线下购买的费用的代数式和线上淘宝购买费用的代数式，即可求解；结合题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，整式加减的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到关系式． 【详解】（1）解：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒的销售单价为元 解得： 答：A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒的销售单价为8元． （2）①依题意，若在线下商店购买， 共需要 若在线上淘宝店购买，共需要 ②当， 解得， 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 【拓展训练一 一元一次不等式组的含参问题】 41．若关于的不等式组无解，则所有满足条件的非负整数的值之和是（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是解题的关键．分别解不等式，从而得到a的范围，进一步得到整数a的取值，计算整数a的值之和即可． 【详解】， 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∵不等式组无解， ∴， 又∵a为整数， ∴非负整数的值之和为． 故选：D． 42．关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根据不等式组的解集确定其中字母的取值范围，正确的解不等式组是解题的关键．先将不等式组解出来，再利用不等式组有3个整数解确定a的取值范围即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵该一元一次不等式组有3个整数解， ∴， 故选：B． 43．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次方程方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键． 解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，由不等式的解集得出，进而即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于y的方程有非负整数解， ∴， 解得：，且为整数， 关于的不等式组整理得 ， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴且a为整数， ∴，，，， 于是符合条件的所有整数的值之和为：， 故选：A． 44．若关于x的不等式组有整数解且最多有3个整数解，且关于m、n的方程的解均为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组最多有3个整数解，得出，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示出n的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数的值，进而即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组最多有3个整数解， ， 解得， ， 得，，即， ∵方程组的解均为整数，a为整数， 当时，，符合条件， 当时，，符合条件， 当时，，符合条件， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 45．已知与是一个正数的两个平方根． （1）若，则这个正数是 ； （2）若y为整数，且关于x的不等式组有解且最多有2个整数解，则 ． 【答案】 4 8或11 【分析】本题考查平方根，根据不等式组的解集的情况求参数，熟练掌握平方根的性质，解不等式的步骤是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程进行求解即可； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出的值，解不等式组，根据解集的情况求出的范围，结合y为整数，进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，由题意，得：， 解得：， ∴这个正数是； 故答案为：4； （2）由题意，得：， ∴， 解，得：， ∵不等式组有解且最多有2个整数解， ∴，整数解最多为， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或； 故答案为：8或11． 【拓展训练二 含绝对值的不等式组】 46．【问题背景】 数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1）， 可得的解集是：； 将不等式的解集表示在数轴上（如图2）， 可得的解集是：或． 【观察思考】 （1）填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； 【探究实践】 （2）解不等式； 【答案】（1），或；（2）或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义及解一元一次不等式组，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）由（1）得：或，分别求解即可． 【详解】解:（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或． 47．阅读与理解 若实数 是的一个解，则其含义是： 用代入使得．这说明在数轴上表示 的 点与原点 的距离小于或等于．由于到原点 的距离等于 的点表示的实数为，从而 ．因此的解集是，在数轴上的表示如图 所示， 若实数 是的一个解，则其含义是： 用 代入使得．这说明在数轴上表示 的点与原点 的距离大于 ，从而 或．因此 的解集是 或，在 数轴上的表示如图 所示， 于是，可以仿照上述思路来解含有绝对值的一元一次不等式． 例：解不等式：． 解由| 得，解得． 因此， 的解集是． (1)不等式 的解集为 ；不等式 的解集为 ． (2)解下列不等式：； (3)解下列不等式：； 【答案】(1)；或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了数轴，解不等式组，解含有绝对值的一元一次不等式，掌握解不等式组的解法是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：不等式 的解集为，不等式 的解集为或； 故答案为：，或； （2）解：由得， 解得， 因此，的解集是； （3）解：由得或， 解得或， 因此，的解集是或． 48．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题： ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6，所以的解集为或． (1)的解集为_________，的解集为_________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是负整数，求m的值． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）加减消元法解二元一次方程组得，由题意知，，即，，可求，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为，的解集为或； 故答案为：，或； （2）解：， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得，， ∵m是负整数， ∴m的值为． 49．小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的应用以及求解一元一次不等式组，注意计算的准确性即可． （1）求解绝对值方程，即可； （2）由可得，求解绝对值方程，即可； （3）解不等式组可得，（2）中的绝对值不等式的整数解为，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵当或时，， ∴的解集是或 故答案为：或 （2）解：由可得：， 令，解得：或 ∴绝对值不等式的解集是： （3）解：解不等式组可得： ∵绝对值不等式的整数解为：， ∴， 解得： 50．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ． 表示到原点距离小于3的数，从图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以的解集是； ． 表示到原点距离大于3的数，从图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为 ，不等式的解集为 ． (2)解不等式． (3)解不等式． (4)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)，或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了解不等式组： （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出x的取值范围； （3）利用和（2）同样方法即可求出不等式的解集． （4）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：不等式的解集为； 不等式的解集为或． 故答案为：，或； （2）解：， ， ； （3）解：∵， ∴， 或， 或； （4）解：方程 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值． 当时，， 解得 当时，， 当时，， 解得 ∴综上所述，当或时， ∴当时． 即不等式的解集为． 【拓展训练三 不等式组的实际问题】 51．如图1，已知纸片A是边长为的正方形，纸片B是相邻两边长分别为、的长方形，且纸片A、B的周长相等． (1)当时． ①若，则的取值范围为__________； ②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形、，若纸片的面积比纸片的面积小，求、的面积之和； (2)如图3，将纸片、叠合在一起，记阴影部分的周长为． ①__________（用含、的代数式表示）； ②若关于的不等式恰有4个正整数解，则的取值范围是__________． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①先根据纸片A、B的周长相等和，及的取值范围，列出关于的不等式组求解，求出的取值范围； ②先纸片的面积比纸片的面积小及，求出的值，再根据，求出，即为、的面积之和； （2）①先根据图形，用式子表示出阴影部分周长，再化简； ②先根据，，求出的范围，再根据“关于的不等式恰有4个正整数解”，列出关于的不等式组求解． 【详解】（1）解：①∵纸片A、B的周长相等，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵纸片的面积比纸片的面积小，， ∴， ∵， ∴， ∵以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形、， ∴、的面积之和为； （2）①阴影部分周长为 ， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∵关于的不等式恰有4个正整数解， ∴， 解得：， ∵纸片A是边长为的正方形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，求一元一次不等式的整数解，完全平方公式在几何图形中的应用，整式加减的应用，已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟悉上述知识，并能运用求解． 52．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 “不是菜鸟的盐小勺”系列文创商品设计独特、美观大方，将盐城黄海湿地生态之美活灵活现的注入到勺嘴鹬的形象当中．潮间带艺术村某商店有书签、冰箱贴、帆布包、毛绒玩具四种文创商品．已知1个毛绒玩具的价格是38元，1个帆布包的价格为36元，1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 素材2 小丽在该店购买了1套盐小勺书签和4个冰箱贴，一共花费了116元． 素材3 数学王老师打算给学生购买数学社团奖品，他准备用560元在该商店购买上述文创商品若干件． 问题解决 任务1 该店1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 任务2 若王老师只购买书签和冰箱贴两种商品，请问有哪几种购买方案？ 任务3 若王老师四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，王老师购买了多少个毛绒玩具？ 【答案】任务1： 1套书签的售价为36元，则1个冰箱贴的售价为20元；任务2：有3种方案，①购买15套书签，购买1个冰箱贴；②购买10套书签，购买10个冰箱贴；③购买5套书签，购买19个冰箱贴；任务3：王老师购买了4个毛绒玩具 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题关键是： 任务1：设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； 任务2：设王老师购买x套书签，购买y个冰箱贴，根据总费用为560元列出二元一次方程，然后根据x、y都是正整数求解即可； 任务3：设购买a套书签、b个冰箱贴、c个帆布包、d个毛绒玩具，根据四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，列出方程组，整理可得，，根据四种文创商品都购买，得出，解不等式求出b的整数解，即可求解． 【详解】解∶ 任务1：设1套书签的售价为m元，则1个冰箱贴的售价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答： 1套书签的售价为36元，则1个冰箱贴的售价为20元； 任务2 ：设王老师购买x套书签，购买y个冰箱贴， 根据题意，得， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴，，， ∴有3种方案，具体如下： ①购买15套书签，购买1个冰箱贴； ②购买10套书签，购买10个冰箱贴； ③购买5套书签，购买19个冰箱贴； 任务3：设购买a套书签、b个冰箱贴、c个帆布包、d个毛绒玩具， 根据题意，得 由②得，， 把代入①，并化简，得 把代入，得， ∵四种文创商品都购买， ∴， 解得， ∴整数b的值为6， ∴，， ∴王老师购买了4个毛绒玩具． 53．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．      如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)见解析 【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键． （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． （3）解：有3种方案， 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 54．根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【答案】任务一：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；任务二：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；任务三：采购方案：①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子；②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子 【分析】任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元，根据题意列出方程即可求解； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据题意列出二元一次方程组解答即可求解； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据题意可得，即得，再列出不等式组求出的取值范围，进而根据必须能被整除得到，，，，据此解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，二次元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子． 55．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 【拓展训练四 不等式组的新定义问题】 56．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：①， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； ②， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ③， 移项得，， 系数化为1得，； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解： 解得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， 解得， ∴． 57．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）求出不等式组的解集，以及各方程的解，判断即可； （2）求出已知不等式组的解集，根据方程为不等式组的“相依方程”，确定出的范围即可； （3）先分别求解方程和不等式组，根据不等式组整数解个数确定其解集范围，再结合“相依方程”定义确定的取值范围． 【详解】（1）解：方程①， 解得：， ②， 解得：， 不等式组， 解得：， ∵在范围内，不在范围内， ∴方程①是不等式组的“相依方程”， 故答案为：①； （2）不等式组， 解得：， 解关于的方程， 解得：， ∵关于的方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得：； （3）解关于的方程， 解得：， 解关于的不等式组， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有个整数解， 令整数的值为，，，，，，， 则有：，， ∴， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 58．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“静待花开方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“静待花开方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“静待花开方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“静待花开方程”，求k的最大正整数解； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“静待花开方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)② (2)7 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，根据不等式组的解集情况求参数等等，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出三个方程的解和不等式组的解集即可得到答案； （2）分别求出方程的解和不等式组的解集，再根据定义可得关于k的不等式组，解不等式组求出k的取值范围即可得到答案； （3）解方程得；解不等式组得，设不等式组的整数解为：，，，，， 则， 可求出，根据为整数，得到，则可求出，再根据定义得到，则，综上所述，． 【详解】（1）解：解方程得； 解方程得； 解方程得； 解不等式④得， 解不等式⑤得， ∴原不等式组的解集为， ∴只有方程是原不等式组的“静待花开方程”， 故答案为：②； （2）解：解方程得； 解不等式（1）得：， 解不等式（2）得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于x的方程是不等式组的“静待花开方程”， ∴， 解得， ∴k的最大正整数解为7； （3）解：解方程得； 解不等式（1）得， 解不等式（2）得， ∴原不等式组的解集为， ∵此时不等式组有5个整数解， ∴可设不等式组的整数解为：，，，，， ， ∴， ∴或， ∴ ∵为整数， ∴， ∴，即， 又∵关于x的方程是关于x的不等式组的“静待花开方程”， ∴， ∴， 综上所述，． 59．对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（）根据新运算法则及，可得方程组，解方程即可求解； （）由（）可得，即可由不等式组得到，求得不等式组的解集为，再根据不等式组恰好有个整数解，可得，解不等式即可求解； 本题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，读懂题意，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 方程组化简得，， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴不等式组为， 化简得， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有个整数解， ∴，即， 解得． 60．我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” (1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)是不等式③的“梦想解” (2)m为14或15 (3)m的取值范围是 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解一元一次方程（组）， （1）先求出方程的解和不等式的解集，即可判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出． 【详解】（1）解方程得， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”； （2）解方程组 得： ∴ ∵方程组的解是不等式组的梦想解 ∴ ∴ m为整数， ∴m为14或15； （3）解不等式组得：， 不等式组的整数解有7个， 令整数的值为，，，，，， 则有：，． 故， 且， ， ， ， ， 解方程得：， 方程是关于的不等式组的“梦想解”， ， 解得， 综上的取值范围是． 1．不等式组的整数解共有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组并确定整数解的个数．先分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后找出其中的整数解． 【详解】解：解不等式组： 步骤1：解不等式①解得， 步骤2：解不等式②得：， 综合①和②的解集，得：． 在区间内的整数为，共4个． 故选：A． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得不等式组的解集，根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了解不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：解不等式组的解集为， 故数轴表示为 故选：D． 3．已知，且x是非负整数，则所有x值的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的解集．根据，可得，再结合x是非负整数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵x是非负整数， ∴x的可能取值为0、1、2、3，共4个． 故选B． 4．某学校组织七年级师生前往徽州古城进行研学活动，租用甲型客车和乙型客车共20辆，已知每辆甲型客车可坐45人，每辆乙型客车可坐37人，该校需要乘坐客车出游的师生共808人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，若设租用甲型客车辆，则下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元一次不等式组，熟练掌握找出题目中的不等关系并准确列式是解题的关键．先根据甲型客车数量表示出乙型客车数量，再结合师生总人数和空座位限制条件，列出不等式组． 【详解】解：∵租用甲型客车辆，总共租用辆车， ∴租用乙型客车辆． ∴甲型客车可坐人，乙型客车可坐人， ∴总共可乘坐人． ∵全部师生都有座位， ∴可乘坐人数要大于等于师生总人数人，即 ． ∵空座位不超过个，也就是可乘坐人数不超过师生总人数加上， ∴ ． 综上，不等式组为， 故选：C ． 5．若关于x的不等式组无解，a的取值范围是（    ） A．a＞2 B． C． D．a＜2 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得； 解不等式②得； ∵关于x的不等式组无解， ∴， 故选：B． 6．已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组的解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解集的概念是解题的关键． 根据不等式组的解集对各小题的结论分析即可． 【详解】解：∵关于的不等式组， ∴当时，， ∴是该不等式组的一个解，故①正确； ∵不等式组无解， ∴，故②错误； ∵关于的不等式组的解集为， ∴，故③正确； ∵不等式组只有三个整数解， ∴，故④错误； ∴正确的序号为①③， 故选B． 7．直接写出下列不等式组的解： （1）的解集为 ； （2）的解集为 ； （3）的解集为 ； （4）的解集为 ． 【答案】 无解 【分析】本题考查了不等式的解集，求不等式组的解集，要遵循以下原则：大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小解不了． （1）根据大大取大，直接写出解集即可； （2）根据小小取小，直接写出解集即可； （3）根据小大大小中间找，直接写出解集即可； （4）根据大大小小解不了直接写出解集即可． 【详解】解：（1）的解集为； 故答案为：； （2）的解集为； 故答案为：； （3）的解集为； 故答案为：； （4）的解集为无解． 故答案为：无解． 8．关于x的一元一次不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 9．如果不等式组无解，那么a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，不等式组中两个不等式的解集满足“大大小小找不到” 不等式组无解，据此可得答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 10．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，熟练掌握程序图的计算规则和步骤是解题的关键，结合程序图的计算规则和步骤列出不等式组，即可作答． 【详解】解：依题意，结合程序图的信息，可列不等式组为， 故答案为： 11．已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是 ； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围． （2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 解不等式得，； 解不等式，得，． ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． （2）解方程组得，． ∵此方程组的解为整数，且整数m为整数， ∴或或， 解得或或5或1或4或2． 又∵， ∴符合条件的所有整数m的和是：． 故答案为：6． 12．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），甲、乙的面积分别为，． （1） 0（填“”“”或“”）； （2）若满足的整数有且只有3个，则的值是 ． 【答案】 1012 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则、绝对值的性质和求不等式组的特殊解，能够作差比较是解题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出，根据整数n有且只有2个，列出不等式，根据m为正整数即可求值． 【详解】解：（1）∵，， ， ∵m为正整数， ， ， 故答案为：； （2），的整数n有且只有2个， ∴这2个整数解为2025，2024， ， 解得， ∵为正整数 ． 故答案为：． 13．解不等式组，把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的所有整数解． 【答案】数轴上表示见解析，不等式的整数解为，0，1，2 【分析】本题考查求不等式组的整数解，用数轴表示不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，最后求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示，如图所示： ． 则该不等式的整数解为，0，1，2． 14．求不等式组的解集，并写出所有的正整数解． 【答案】，所有的正整数解是1和2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出所有的正整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的所有的正整数解是1和2． 15．数学课上，王老师在黑板上写了三个不等式：①②；③． (1)请你在其中任意选择两个不等式，组成一个不等式组，并求解； (2)佳佳选择了老师写的不等式③，然后和自己写的关于的不等式，组成不等式组，她解得这个不等式组有3个整数解，请你求出的取值范围． 【答案】(1)选择不等式①，②组成不等式组，（答案不唯一） (2) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、不等式的定义及一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据题意选出不等式，分三种情况组成不等式组，并进行求解即可． （2）根据题意，建立关于a的不等式，再进行求解即可． 【详解】（1）解：选择不等式①，②组成不等式组： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为； 选择不等式①，③组成不等式组 解不等式①，得， 解不等式③，得， 该不等式组的解集为； 选择不等式②，③组成不等式组 解不等式②，得， 解不等式③，得， 该不等式组的解集为；（答案不唯一） （2）佳佳组成的不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，得． 该不等式组的解集为． 该不等式组有3个整数解， 的整数解为4，5，6， ， 解得． 的取值范围是． 16．四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，育才中学组织八年级全体师生共人外出游学，学校计划租用，两种型号客车共10辆，已知型客车可以乘坐人，租金为元；型客车可以乘坐人，租金为元．在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过元，学校可以选择哪几种租车方案？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题目中的不相等关系列出不等式组，首先设学校租型客车辆，则租型客车辆，根据必须把所有的人全部送达目的地，可得不等式，根据租车费用不超过元，可列不等式，解不等式组求出的取值范围，在取值范围内取整数即可． 【详解】解：设学校租型客车辆，则租型客车辆， 由题意得：， 解得：， 为整数， 可以取或， 共有种租车方案， 方案一：租辆型客车，2辆型客车， 方案二：租辆型客车，1辆型客车． 17．已知关于的二元一次方程组，且它的解为负数，为正数． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)求有理数的取值范围； (3)化简； (4)当，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【分析】（1）通过方程组中两个方程相减消元，先求出关于的表达式，再代入求出关于的表达式，得到方程组的解． （2）根据为负、为正列出不等式组，解不等式组得出的取值范围． （3）依据的取值范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值符号后化简计算． （4）先将、代入的表达式化简，再结合的取值范围求出的取值范围． 【详解】（1）解：     ①②，得．解得． 将代入②，得． ∴方程组的解为． （2）解：为负数为，为正数， ∴． ∴． （3）解：∵， ∴． ∴． （4）解： ∵ ∴． ∴的取值范围是： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法、绝对值的化简以及代数式取值范围的求解，熟练掌握消元法解方程组、不等式组的解法步骤和绝对值的性质是解题的关键． 18．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”、例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式_____的“梦想解”．（填序号） (2)若关于的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程组和不等式的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的均为正数），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)③ (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于的不等式组，最后解不等式组即可． （3）先求出方程组的解集，代入不等式，根据“梦想解”的定义，即可得出． 【详解】（1）解方程，得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”； （2）解方程组 得： ∴ ∵方程组的解是不等式组的梦想解 ∴ ∴ 为整数， ∴为14或15； （3）解方程组 得： 均为正数， 解得： 将代入 解得： 综上的取值范围为． 19．根据以下素材，探索完成任务． 如何合理设计生产计划？ 素材1 某手机制造工厂计划生产A、B两种型号的手机投放到市场销售．已知A型号手机每部成本为万元，售价为万元；B型号手机每部成本为万元，售价为万元． 素材2 每个月的生产成本不超过1100万元． (1)若该工厂3月生产了2 000部A型号手机，则最多生产了多少部B型号手机？ (2)若该工厂计划4月一共生产3 000部手机，总利润不低于万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高为多少万元？ 【答案】(1)最多生产1250部B型号手机； (2)有3种生产方案：①生产1000部A型号手机，2000部B型号手机；②生产1001部A型号手机，1999部B型号手机；③生产1002部A型号手机，1998部B型号手机；生产利润最高为250万元． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出不等式组和不等式是解题的关键． （1）设生产了x部B型号手机，根据每个月的生产成本不超过1100万元列出不等式求解即可； （2）设计划生产y部A型号手机，则生产部B型号手机，根据每个月的生产成本不超过1100万元且总利润不低于万元列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设生产了x部B型号手机． 根据题意，得． 解得． 答：最多生产1250部B型号手机． （2）解：设计划生产y部A型号手机，则生产部B型号手机． 根据题意，得 解得． ∵y为正整数， ∴y的值为1 000或1 001或1 002． ∴有3种生产方案： ①生产1 000部A型号手机，2 000部B型号手机，利润为 （万元）； ②生产1 001部A型号手机，1 999部B型号手机，利润为 （万元）； ③生产1 002部A型号手机，1 998部B型号手机，利润为 （万元）． ∵， ∴生产利润最高为250万元． 20．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”________；“整点”为________； (2)若不等式组的“长度”，求的值； (3)若不等式组的“长度，求的值； (4)关于的不等式组恰有4个“整点”，直接写出的取值范围________________． 【答案】(1)；，； (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先解不等式组确定解集为，然后根据题意求解即可； （3）分情况，根据确定不等式的解集，建立方程求解即可； （4）用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴， 解得：， （3） 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：，符合题意； 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：，符合题意； 当，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当或，方程组无解， 综上所述：或； （4） 解得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 一元一次不等式组 （3知识点+8大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练+大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列不等式组是一元一次不等式组的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·单元测试）判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 知识点2：一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【即时训练】 4．（2025·浙江杭州·三模）解不等式组：． 5．（2025·浙江温州·三模）解不等式组：，并把不等式组的解表示在数轴上． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）解下列不等式组： (1)； (2)． 知识点3：用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 【即时训练】 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某学校开设了篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元，购买3个篮球和5个足球共需费用810元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于32个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案，请列出购买方案． 8．（2023八年级上·浙江·专题练习）龙泉驿水蜜桃已有80余年的种植历史，现有水蜜桃标准化基地面积达7.2万余亩，年产量8.3万吨，培育了白凤桃、皮球桃、晚湖景等50余个早中晚熟优良品种，有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．已知甲乙两果园今年预计水蜜桃的产量分别为200吨和300吨，打算成熟后运到A，B两个仓库存放，已知A仓库可储存240吨，B仓库可储存260吨．甲，乙两果园运往两仓费用的单价如表： 甲果园 乙果园 A仓库 150元/吨 140元/吨 B仓库 200元/吨 180元/吨 设从甲果园运往A仓库的水蜜桃重量为x吨，甲，乙两果园运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为元，元． (1)求出，的函数关系式； (2)甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费，在这种情况下，甲果园运往A仓库多少吨时，才能使两果园的运费之和最小？并求出最小值． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，某校计划组织960名学生和45名老师开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有A，B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载客75人，3辆A型车和2辆B型车可以载客180人． (1)一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客？ (2)若一辆A型车的租金为320元，一辆B型车的租金为400元．该校计划一共租A，B两种型号的客车25辆，在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过9550元，学校可以选择哪几种租车方案？ 【题型1 一元一次不等式组的定义】 1．在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 4．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 5．判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【题型2 求不等式组的解集】 6．解不等式组，并把解集表示在数轴上． (1)； (2)． 7．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 8．解不等式组，并写出它的所有负整数解． 9．解不等式组： 10．下面是小明作业本上解不等式组的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得： …第一步 ∴…第二步 ∴…第三步 任务一：小明的解答过程中，第_________步出现错误；不等式①的正确解集为____________； 任务二：不等式②的解集是____________； 任务三：写出这个不等式组的解集，以及这个不等式组的非负整数解． 【题型3 解特殊不等式组】 11．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 12．阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且求的取值范围； 13．已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 14．有一个关于的二元一次方程组如右： （1）请解出这个方程组（用含有的式子表示）； （2）若的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，请求出的值． 15．已知 （1）若，求m的值； （2）求关于的表达式； （3）若，求的值的取值范围． 【题型4 求一元一次不等式组的整数解】 16．不等式组的最小整数解为（   ） A． B． C． D．1 17．若关于的不等式组，的整数解共有个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．已知关于x的不等式组只有两个整数解，则m的取值范围是 ． 19．解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 20．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【题型5 由一元一次不等式组的解集求参数】 21．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．已知关于的不等式组，无解，则的取值范围是 ． 24．若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有 个． 25．已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【题型6 不等式组和方程组相结合的问题】 26．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．已知关于、的方程组的解为正数，为非负数，给出下列结论： ①；②当时，；③当时，此方程组的解也是方程的解．其中正确的是(　 　)． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 28．已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ． 29．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 30．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【题型7 列一元一次不等式组】 31．南昌市春季某日最高气温是，最低气温是，则济南当日气温的变化范围是（  ） A． B． C． D． 32．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 33．某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 34．小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 35．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ． 【题型8 一元一次不等式组的实际应用】 36．鲜桃刚上市，某水果店率先用1000元购进了一批鲜桃，前两天以高于进价的价格卖出；第三天水果店又用1000元购进了一批鲜桃，由于进价降低了，这一批鲜桃多购进． (1)求水果店购进第一批鲜桃的数量； (2)注意到市场上鲜桃数量逐渐增多，水果店主决定将剩余和新进鲜桃在原销售价的基础上，全部降价元（为整数）销售．实际销售过程中，平均每天销售量相对于前两天平均每天增加了，仅仅销售两天，剩下量不超过． ①求的值； ②若店主将剩余鲜桃以20元的价格全部卖完，求前后一共获利多少元． 37．某企业需运输一批生产物资，已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运输65箱物资；4辆大货车与6辆小货车一次可以运输120箱物资． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共15辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元．请求出有几种运输方案？ 38．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 39．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 40．李老师预购买一些盲盒作为期末奖品．已知2个A款盲盒，5个B款盲盒共需60元；4个A款盲盒，3个B款盲盒共需64元．解答下列问题： (1)求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)正逢开展“618”促销活动，线下实体店优惠方案：会员卡35元，成为会员后凭会员卡购买店内任何商品可享受8折优惠（已知小昕不是该实体店的会员）；线上淘宝店优惠方案：一律按商品价格的9折出售且包邮． ①小听计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒个，若在线下实体店购买．所需费用______元；若在线上淘宝店购买，所需费用______元．（均用含的代数式表示） ②请你帮小听算一算，购买A款盲盒的数量的范围是______时，线下购买方式更合算． 【拓展训练一 一元一次不等式组的含参问题】 41．若关于的不等式组无解，则所有满足条件的非负整数的值之和是（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 42．关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 43．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（   ） A． B． C． D． 44．若关于x的不等式组有整数解且最多有3个整数解，且关于m、n的方程的解均为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 45．已知与是一个正数的两个平方根． （1）若，则这个正数是 ； （2）若y为整数，且关于x的不等式组有解且最多有2个整数解，则 ． 【拓展训练二 含绝对值的不等式组】 46．【问题背景】 数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1）， 可得的解集是：； 将不等式的解集表示在数轴上（如图2）， 可得的解集是：或． 【观察思考】 （1）填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； 【探究实践】 （2）解不等式； 47．阅读与理解 若实数 是的一个解，则其含义是： 用代入使得．这说明在数轴上表示 的 点与原点 的距离小于或等于．由于到原点 的距离等于 的点表示的实数为，从而 ．因此的解集是，在数轴上的表示如图 所示， 若实数 是的一个解，则其含义是： 用 代入使得．这说明在数轴上表示 的点与原点 的距离大于 ，从而 或．因此 的解集是 或，在 数轴上的表示如图 所示， 于是，可以仿照上述思路来解含有绝对值的一元一次不等式． 例：解不等式：． 解由| 得，解得． 因此， 的解集是． (1)不等式 的解集为 ；不等式 的解集为 ． (2)解下列不等式：； (3)解下列不等式：； 48．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题： ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6，所以的解集为或． (1)的解集为_________，的解集为_________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是负整数，求m的值． 49．小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围． 50．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ． 表示到原点距离小于3的数，从图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以的解集是； ． 表示到原点距离大于3的数，从图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为 ，不等式的解集为 ． (2)解不等式． (3)解不等式． (4)直接写出不等式的解集： ． 【拓展训练三 不等式组的实际问题】 51．如图1，已知纸片A是边长为的正方形，纸片B是相邻两边长分别为、的长方形，且纸片A、B的周长相等． (1)当时． ①若，则的取值范围为__________； ②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形、，若纸片的面积比纸片的面积小，求、的面积之和； (2)如图3，将纸片、叠合在一起，记阴影部分的周长为． ①__________（用含、的代数式表示）； ②若关于的不等式恰有4个正整数解，则的取值范围是__________． 52．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案？ 素材1 “不是菜鸟的盐小勺”系列文创商品设计独特、美观大方，将盐城黄海湿地生态之美活灵活现的注入到勺嘴鹬的形象当中．潮间带艺术村某商店有书签、冰箱贴、帆布包、毛绒玩具四种文创商品．已知1个毛绒玩具的价格是38元，1个帆布包的价格为36元，1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高16元． 素材2 小丽在该店购买了1套盐小勺书签和4个冰箱贴，一共花费了116元． 素材3 数学王老师打算给学生购买数学社团奖品，他准备用560元在该商店购买上述文创商品若干件． 问题解决 任务1 该店1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元？ 任务2 若王老师只购买书签和冰箱贴两种商品，请问有哪几种购买方案？ 任务3 若王老师四种文创商品都购买，其中购买冰箱贴的个数是总数量的，王老师购买了多少个毛绒玩具？ 53．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．      如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 54．根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 55．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【拓展训练四 不等式组的新定义问题】 56．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 57．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围． 58．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“静待花开方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“静待花开方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“静待花开方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“静待花开方程”，求k的最大正整数解； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“静待花开方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 59．对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 60．我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” (1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 1．不等式组的整数解共有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，且x是非负整数，则所有x值的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．某学校组织七年级师生前往徽州古城进行研学活动，租用甲型客车和乙型客车共20辆，已知每辆甲型客车可坐45人，每辆乙型客车可坐37人，该校需要乘坐客车出游的师生共808人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，若设租用甲型客车辆，则下列符合题意的不等式组是（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式组无解，a的取值范围是（    ） A．a＞2 B． C． D．a＜2 6．已知关于的不等式组下列四个结论： ①若，则是该不等式组的一个解； ②若该不等式组无解，则； ③若该不等式组的解集为，则； ④若该不等式组只有三个整数解，则． 其中正确的结论个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．直接写出下列不等式组的解： （1）的解集为 ； （2）的解集为 ； （3）的解集为 ； （4）的解集为 ． 8．关于x的一元一次不等式组的解集为 ． 9．如果不等式组无解，那么a的取值范围 ． 10．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 11．已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是 ； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 12．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），甲、乙的面积分别为，． （1） 0（填“”“”或“”）； （2）若满足的整数有且只有3个，则的值是 ． 13．解不等式组，把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的所有整数解． 14．求不等式组的解集，并写出所有的正整数解． 15．数学课上，王老师在黑板上写了三个不等式：①②；③． (1)请你在其中任意选择两个不等式，组成一个不等式组，并求解； (2)佳佳选择了老师写的不等式③，然后和自己写的关于的不等式，组成不等式组，她解得这个不等式组有3个整数解，请你求出的取值范围． 16．四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，育才中学组织八年级全体师生共人外出游学，学校计划租用，两种型号客车共10辆，已知型客车可以乘坐人，租金为元；型客车可以乘坐人，租金为元．在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过元，学校可以选择哪几种租车方案？ 17．已知关于的二元一次方程组，且它的解为负数，为正数． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)求有理数的取值范围； (3)化简； (4)当，求的取值范围． 18．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”、例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式_____的“梦想解”．（填序号） (2)若关于的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程组和不等式的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的均为正数），请直接写出的取值范围． 19．根据以下素材，探索完成任务． 如何合理设计生产计划？ 素材1 某手机制造工厂计划生产A、B两种型号的手机投放到市场销售．已知A型号手机每部成本为万元，售价为万元；B型号手机每部成本为万元，售价为万元． 素材2 每个月的生产成本不超过1100万元． (1)若该工厂3月生产了2 000部A型号手机，则最多生产了多少部B型号手机？ (2)若该工厂计划4月一共生产3 000部手机，总利润不低于万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高为多少万元？ 20．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”________；“整点”为________； (2)若不等式组的“长度”，求的值； (3)若不等式组的“长度，求的值； (4)关于的不等式组恰有4个“整点”，直接写出的取值范围________________． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$