专题15 一元一次不等式及其解法（2知识点+9大题型+3大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题15 一元一次不等式及其解法 （2知识点+9大题型+3大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练+3大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江丽州·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列不等式中，一元一次不等式有①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有 个． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）已知为关于的一元一次不等式，则 知识点2：一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）解不等式，并把解在数轴上表示出来． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，整式的值为P．    (1)当时，求P的值； (2)若P的取值范围如图所示，求m的取值范围． 6．（2024·浙江杭州·二模）解不等式：．小州同学在数学课上给了如下的解题过程，他做对了吗？若不对，请你帮助他写出正确的解题过程． 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 ∴ 【题型1 一元一次不等式的定义】 1．关于x的一元一次不等式中，m的值应为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 2．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 3．若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 4．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 5．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【题型2 一元一次不等式的解集】 6．解不等式：． 7．解不等式：． 8．解不等式： 9．解不等式：． 10．解不等式： (1)； (2)． 【题型3 一元一次不等式的整数解】 11．不等式的最大整数解是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 12．若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 （    ） A．1 B．3 C．5 D．7 13．不等式的正整数解有 个． 14．已知关于x的不等式有且只有三个非负整数解，则m的取值范围是 ． 15．已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【题型4 数轴上表示不等式的解集】 16．解下列不等式，并将解集表示在数轴上 (1) (2) 17．解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 18．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．解下列不等式，并将解集用数轴表示出来． (1) (2) 20．数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”．规则：每个同学只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集． 接力游戏老师：． 甲同学：： 乙同学：： 丙同学：： 丁同学：： 戊同学：． 请根据上面的“接力游戏”．解答下列问题． (1)在“接力游戏”中．共有______位同学出现计算错误； (2)请你给出不等式的正确的解答过程，并把它的解集在数轴上表示出来． 【题型5 一元一次不等式解的最值】 21．不等式的最大正整数解为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 23．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 24．关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 25．李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【题型6 含绝对值型不等式的计算】 26．先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 27．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 28．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 29．不等式的解集是 ． 30．当x 时，|x﹣2|＝2﹣x． 【题型7 列一元一次不等式】 31．下列对情境“一辆中巴车限乘20人（含司机1人），现在车上载有名旅客，中途又有2名旅客上车，车上还有一些空座”中数量关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 32．研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 33．如图为一件衣服的洗涤说明标志，请根据其信息写出一个关于温度的不等式 ． 34．某超市花费元购进蓝莓千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价为每千克元，则可列不等式为 ． 35．用不等式表示． (1)的2倍大于或等于1； (2)与4的和不大于8； (3)与6的差不小于7； (4)的2倍与1的差小于或等于5． 【题型8 用一元一次不等式解决实际问题】 36．为迎接“阳光体育，健康生活”校运动会，班班委准备给每位参赛运动员定制比赛服装．已知定制一套运动服需元，团购件及以上全部按折优惠，若该班同学发现选择直接团购件比每人单独定制花费少，则该班至少有多少名运动员？ 37．六一儿童节是孩子们最期待的节日，为了让孩子们度过一个快乐、充实且有意义的节日，某校精心筹备了六一游园活动，组织六年级350名师生集体外出游园．现有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为45人／辆，乙种客车的载客量为30人／辆，拟租用甲、乙两种客车共9辆，若一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲种客车多少辆？ 38．截至2024年9月底，全国登记在册的批发零售业和住宿餐饮业共计万户，批发零售业比住宿餐饮业多万户． (1)求批发零售业和住宿餐饮业各有多少户？ (2)为促进就业，鼓励消费，若2025年上半年新增批发零售业和住宿餐饮业共万户，且新增批发零售业户数不超过新增住宿餐饮业户数的2倍，问：住宿餐饮业至少要新增多少户？ 39．南宁是中国著名的水果产地，盛产香蕉和芒果．某水果商准备收购一批香蕉和芒果，运往外地销售．已知吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元；吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元． (1)每吨香蕉和每吨芒果的收购成本各是多少万元？ (2)该水果商计划租用货车运输水果，货车公司规定：若运输总重量不超过吨，每吨运费元；若超过吨，超过部分每吨运费元．水果商希望运费不超过元，那么他最多能收购并运输多少吨水果？ 40．为优化学生用眼环境，做好青少年近视防控工作，改善教室照明条件，希望中学决定将教室的老式日光灯替换为护眼灯，给孩子们带来视觉上的舒适，有效缓解视疲劳和视力下降等问题，有望对预防近视起到积极作用．现在希望中学计划从店购进护眼黑板灯、护眼教室灯这两种节能灯共28只．已知店关于这两种灯的有关信息如下表所示： 品名 进价（元/只） 售价（元/只） 护眼黑板灯 20 30 护眼教室灯 46 60 (1)希望中学购进这两种护眼灯一共付款1440元，你知道这两种护眼灯分别购进多少只吗? (2)在第（1）问的基础上，学校和厂家进行协商，厂家愿意这两种灯进行打折出售，但要保证销售完这28只护眼灯的总利润率不低于20%．请分析厂家将最多可以打几折出售? 【题型9 用一元一次不等式解决几何问题】 41．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 42．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 43．长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 44．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 45．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【拓展训练一 一元一次不等式的含参问题】 46．已知关于的方程组，的解满足，则应满足（　　） A． B． C． D． 47．如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 49．若关于x，y的方程组的解满足，则m的所有非负整数之和为 ． 50．已知关于、的一元二次方程的解满足，求的取值范围． 【拓展训练二 一元一次不等式的应用】 51．一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 52．有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 53．某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 54．若与都是各数位上的数字均不为0的两位数，且与的十位数字之和为9，个位数字相同，则称，互为“欢庆数”． (1)11的“欢庆数”是________；26________23的“欢庆数”（填“是”或“不是”）； (2)若有一组“欢庆数”与，先将的个位数字与十位数字交换之后得到，将的个位数字与十位数字交换之后得到，再将放在的右边组成一个四位数，若A能被24整除，求满足条件的所有正整数． 55．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【拓展训练三 一元一次不等式的新定义问题】 56．对x，y定义一种新运算T．规定：（其中a，b，c为常数），例如：．已知． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 57．若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 58．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 59．对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______． 60．将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式（组的解集记为，给出定义：若中的数都在内，则称被包含；若中至少有一个数不在内，则称不能被包含．如，方程组的解为，记，，方程组的解为，记，，不等式的解集为，记．因为0，2都在内，所以被包含；因为4不在内，所以不能被包含． (1)将方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式的解集记为，请问能否被包含？说明理由； (2)将关于，的方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式组的解集记为，若不能被包含，求实数的取值范围． 1．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 2．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，实验中学开展“航空航天”知识竞赛，一共25道题，选对一题得4分，不选或选错一题扣2分，得分不低于82分得奖，则至少应选对几道题才能得奖？（   ） A．22 B．23 C．21 D．20 3．如果不等式的解集为，那么a必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 4．下表是新华书店5种类型文学名著套装的价目表，现在有促销活动，类型②名著套装打八折，同时购买两套可额外享受满200元减30元的优惠，若小明买了类型②套装后，还想再选一套，要使花费最少且不浪费优惠额度，他应选择哪种类型的名著？（   ） 类型 ① ② ③ ④ ⑤ 价格/元 260 200 130 110 80 A．① B．③ C．④ D．⑤ 5．对x，y定义一种新运算※，规定：（其中a，b均为非零常数）．已知，，的解集为，则m的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ） A．0 B． C． D． 7．不等式的解集为： ． 8．已知是关于的一元一次不等式，则的值是 ，这个一元一次不等式的解集是 ． 9．若不等式的任意一个解都比不等式的解小，则的取值范围是 ． 10．关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为 ． 11．已知关于、的方程组 ①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③若，则；④无论取何值，、的值都不可能互为相反数． 以上结论正确的是 ．（只填序号） 12．已知关于的分式方程，若此方程的解为正数，则的取值范围为 ． 13．解不等式： (1)； (2)． 14．解不等式： (1)； (2)． 15．在一次创新能力测试中，共有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分．小明有道题未答，则他最多答错几道题，总分才不会低于分？ 16．人工智能技术的广泛应用正在使我们的生活变得更加智能化、个性化和便捷，某快递公司为了提高分拣效率，计划购进一批智能分拣机器人．现在有两家公司的同一款智能分拣机器人的报价均为2.6万元，并分别给出以下两种优惠方案： 公司 优惠条件 甲公司 每台智能分拣机器人打八折出售 乙公司 第一台按原价收费，其余每台打七五折出售 该快递公司选择哪家公司购买支付的费用较少？ 17．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车1辆，B型汽车1辆，需花费50万元；若购进A型汽车5辆，B型汽车4辆，共花费220万元． (1)A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过280万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用． 18．【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 19．2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同，其中魔方每个标价20元，数独棋每个标价50元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋40个，魔方若干（多于50个），单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购魔方的数量是60个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是多少元？ (2)当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ (3)根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 20．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？（   ） A．是    B．不是 (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 一元一次不等式及其解法 （2知识点+9大题型+3大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练+3大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江丽州·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤． 先根据一元一次不等式的概念得出k的值，代入不等式，解之可得答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴，解得， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列不等式中，一元一次不等式有①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有 个． 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是”，进行解答即可． 【详解】解：，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； 没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：不等式的两边都是整式；只含个未知数；未知数的最高次数为次． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）已知为关于的一元一次不等式，则 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义进行求解即可. 【详解】解：∵为关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0是解题的关键． 知识点2：一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）解不等式，并把解在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先根据去分母、移项、合并同类项，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项，得，， 将不等式的解集在数轴上表示如下： 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，整式的值为P．    (1)当时，求P的值； (2)若P的取值范围如图所示，求m的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，利用数轴表示不等式的解集，一元一次不等式的应用，解一元一次不等式，熟练掌握知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）把代入代数式进行计算即可； （2）根据数轴列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：由数轴可得，，即， 解不等式得，． 6．（2024·浙江杭州·二模）解不等式：．小州同学在数学课上给了如下的解题过程，他做对了吗？若不对，请你帮助他写出正确的解题过程． 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 ∴ 【答案】不对，正确过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，去括号法则及应用．按照解一元一次不等式的一般步骤及不等式的性质逐步判断计算过程找出错误并修正即可． 【详解】解：小州同学的解题过程是错误的． 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1得：． 【题型1 一元一次不等式的定义】 1．关于x的一元一次不等式中，m的值应为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义：“含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的不等式”，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或0； 故选：D． 2．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式”． 【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； B、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，故不符合题意； C、是一元一次不等式，故符合题意； D、没有未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选：C． 3．若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得，则，再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， ∴原不等式为， 解得， 故答案为：． 4．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的定义求参数的值，解一元一次不等式，先根据不等式的定义，得到，进而求出的值，在根据移项，合并，系数化1的步骤解不等式即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴不等式化为：， ∴， ∴； 故答案为：． 5．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【题型2 一元一次不等式的解集】 6．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤，是解题的关键．先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】解：， 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 7．解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号、移项，得， 系数化为1，得． 8．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解答本题的关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1计算即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化1得：． 9．解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则原不等式的解集为 10．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解不等式，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】（1）解： ∴． （2） ． ， ∴． 【题型3 一元一次不等式的整数解】 11．不等式的最大整数解是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了不等式的最大整数解．熟练掌握解不等式，从不等式解集中求最大整数解，是解题的关键． 先解不等式，然后在不等式解集中求出最大整数． 【详解】解：解， 得， ∴最大整数解为． 故选：B． 12．若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 （    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，解一元一次方程，先求出不等式的解集，再求出最大整数解，代入得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 即， 解得：． 因此，不等式的最大整数解为． 将代入方程，得：，即． 解得． 故选：A． 13．不等式的正整数解有 个． 【答案】4 【分析】本题考查求一元一次不等式的非负整数解．按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求出不等式的解集，进而得出非负整数解． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 所以正整数解是．一共有4个． 故答案为：4． 14．已知关于x的不等式有且只有三个非负整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解．根据题意得出关于m的不等式组，据此即可解决问题． 【详解】解：由得，； 因为此不等式有三个非负整数解， 所以， 解得． 故答案为：． 15．已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 【题型4 数轴上表示不等式的解集】 16．解下列不等式，并将解集表示在数轴上 (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； （1）按照去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤求解，最后在数轴上表示不等式的解集； （2）按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤求解，最后在数轴上表示不等式的解集. 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得， 不等式的解集在数轴上表示如下： （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得， 不等式的解集在数轴上表示如下： 17．解不等式：，并将不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集，解题关键是正确求解不等 先求出不等式的解，再将解表示在数轴上 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 18．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解不等式一元一次不等式及解集的表示，在数轴上表示解集注意空心与实心的区别是解题的关键．去分母解一元一次不等式，然后在已知数轴上进行表示即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 将该不等式的解集在数轴上表示如图： 19．解下列不等式，并将解集用数轴表示出来． (1) (2) 【答案】(1)；见解析 (2)；见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解； （2）先去括号，再移项合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项合并同类项得：； 将解集用数轴表示出来，如下： （2）解：     去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 将解集用数轴表示出来，如下： 20．数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”．规则：每个同学只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集． 接力游戏老师：． 甲同学：： 乙同学：： 丙同学：： 丁同学：： 戊同学：． 请根据上面的“接力游戏”．解答下列问题． (1)在“接力游戏”中．共有______位同学出现计算错误； (2)请你给出不等式的正确的解答过程，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）根据计算过程判断即可得解； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：由计算过程可得，在“接力游戏”中．甲同学和戊同学出现计算错误，即共有位同学出现计算错误； （2）解：． ； ； ， 表示在数轴上如图所示： 【题型5 一元一次不等式解的最值】 21．不等式的最大正整数解为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据不等式的解法求出不等式的解集，再找出不等式的最大整数解即可． 【详解】移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 则不等式的最大正整数解是3， 故选C． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键． 22．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 23．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 24．关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 25．李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】(1)这个算式的值为 (2)被遮挡的数的最小值为 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． （2）解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 【题型6 含绝对值型不等式的计算】 26．先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）解：分情况讨论： ①当时， 解得：； ②当时， 解得：， 所以不等式解集为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． 27．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②；（3）或，见解析． 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 如下图所示， 可知不等式的解集是或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 28．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 29．不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于， 不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 30．当x 时，|x﹣2|＝2﹣x． 【答案】≤2 【分析】由题意可知x﹣2为负数或0，进而解出不等式即可得出答案. 【详解】解：由|x﹣2|＝2﹣x，可得，解得：. 故答案为：≤2. 【点睛】本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题的关键. 【题型7 列一元一次不等式】 31．下列对情境“一辆中巴车限乘20人（含司机1人），现在车上载有名旅客，中途又有2名旅客上车，车上还有一些空座”中数量关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据中巴车限乘总人数（含司机）和实际载客量的关系建立不等式即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故选：C． 32．研究表明，运动时将心率（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为，最低值为．所以15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了不等式的表示．分别求出最佳燃脂心率最高值，最低值，即可求解． 【详解】解：最佳燃脂心率最高值为， 最低值为， ∴15岁的人最佳燃脂心率的范围可用不等式表示为． 故选：B 33．如图为一件衣服的洗涤说明标志，请根据其信息写出一个关于温度的不等式 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查列不等式，找到标志中含有不等关系的语句，列出不等式即可． 【详解】解：根据最高洗涤温度，可列不等式：； 根据熨斗底板最高温度，可列不等式：； 故答案为：（或） 34．某超市花费元购进蓝莓千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价为每千克元，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设售价为每千克元，列出不等式即可，读懂题意，根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设售价为每千克元， 根据题意得，， 故答案为：． 35．用不等式表示． (1)的2倍大于或等于1； (2)与4的和不大于8； (3)与6的差不小于7； (4)的2倍与1的差小于或等于5． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． （1）根据题意直接列出列不等式即可． （2）根据不大于即不等式即可． （3）根据不小于即列不等式即可． （4）根据题意直接列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意得； （2）解：根据题意得； （3）解：根据题意得； （4）解：根据题意得． 【题型8 用一元一次不等式解决实际问题】 36．为迎接“阳光体育，健康生活”校运动会，班班委准备给每位参赛运动员定制比赛服装．已知定制一套运动服需元，团购件及以上全部按折优惠，若该班同学发现选择直接团购件比每人单独定制花费少，则该班至少有多少名运动员？ 【答案】名 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设有名运动员，根据“选择直接团购件比每人单独定制花费少”列出不等式，求出解集后即可确定运动员的人数．正确理解题意，找到不等关系列出不等式是解题的关键 【详解】解：设有名运动员， 根据题意，得：， 解得：， ∵人数为正整数， ∴至少取， 答：该班至少有名运动员． 37．六一儿童节是孩子们最期待的节日，为了让孩子们度过一个快乐、充实且有意义的节日，某校精心筹备了六一游园活动，组织六年级350名师生集体外出游园．现有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为45人／辆，乙种客车的载客量为30人／辆，拟租用甲、乙两种客车共9辆，若一次将全部师生送到指定地点，则至少需要租用甲种客车多少辆？ 【答案】至少租用甲种客车6辆 【分析】本题主要考查了不等式的应用，根据不等关系列出不等式，是解题的关键．设需要租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆，根据总人数为350人，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：设需要租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆，根据题意得： ， 解得：， 为整数， 取最小整数6， 答：至少租用甲种客车6辆． 38．截至2024年9月底，全国登记在册的批发零售业和住宿餐饮业共计万户，批发零售业比住宿餐饮业多万户． (1)求批发零售业和住宿餐饮业各有多少户？ (2)为促进就业，鼓励消费，若2025年上半年新增批发零售业和住宿餐饮业共万户，且新增批发零售业户数不超过新增住宿餐饮业户数的2倍，问：住宿餐饮业至少要新增多少户？ 【答案】(1)住宿餐饮业有万户，则批发零售业有万户； (2)住宿餐饮业至少要新增万户； 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设住宿餐饮业有万户，则批发零售业有万户，由题意得：，据此即可求解； （2）设住宿餐饮业新增万户，则批发零售业新增万户，由题意得：，据此即可求解． 【详解】（1）解：设住宿餐饮业有万户，则批发零售业有万户， 由题意得：， 解得：， ∴， 即：住宿餐饮业有万户，则批发零售业有万户． （2）解：设住宿餐饮业新增万户，则批发零售业新增万户， 由题意得：， 解得：； 即：住宿餐饮业至少要新增万户． 39．南宁是中国著名的水果产地，盛产香蕉和芒果．某水果商准备收购一批香蕉和芒果，运往外地销售．已知吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元；吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元． (1)每吨香蕉和每吨芒果的收购成本各是多少万元？ (2)该水果商计划租用货车运输水果，货车公司规定：若运输总重量不超过吨，每吨运费元；若超过吨，超过部分每吨运费元．水果商希望运费不超过元，那么他最多能收购并运输多少吨水果？ 【答案】(1)每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元 (2)他最多能收购并运输吨水果 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元，由此列式求解即可； （2）设运输总重量为吨，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元， ∴， ∴， ∴每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元； （2）解：运输总重量不超过吨，每吨运费元，此时的总费用为元， ∵水果商希望运费不超过元，即， ∴运输总重量超过吨， 设运输总重量为吨， ∴， 解得，， ∴他最多能收购并运输吨水果． 40．为优化学生用眼环境，做好青少年近视防控工作，改善教室照明条件，希望中学决定将教室的老式日光灯替换为护眼灯，给孩子们带来视觉上的舒适，有效缓解视疲劳和视力下降等问题，有望对预防近视起到积极作用．现在希望中学计划从店购进护眼黑板灯、护眼教室灯这两种节能灯共28只．已知店关于这两种灯的有关信息如下表所示： 品名 进价（元/只） 售价（元/只） 护眼黑板灯 20 30 护眼教室灯 46 60 (1)希望中学购进这两种护眼灯一共付款1440元，你知道这两种护眼灯分别购进多少只吗? (2)在第（1）问的基础上，学校和厂家进行协商，厂家愿意这两种灯进行打折出售，但要保证销售完这28只护眼灯的总利润率不低于20%．请分析厂家将最多可以打几折出售? 【答案】(1)护眼黑板灯8只，护眼教室灯20只 (2)最多打九折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设购进只护眼黑板灯，则购进只护眼教室灯，可列出关于的一元一次方程，解之即可； （2）设厂家将护眼教室灯打折出售，利用总利润销售单价销售数量进货单价购进数量，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进只护眼黑板灯，则购进只护眼教室灯， 根据题意得：， 解得：， ∴（只）． 答：购进只护眼黑板灯，只护眼教室灯； （2）解：设厂家将这两种灯打折出售， 根据题意得：， 解得：． 答：厂家将这两种灯最多打九折出售． 【题型9 用一元一次不等式解决几何问题】 41．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）． （2）∵与的差不小于， ∴， ∵，， ∴， ∴，m的最小整数值为7． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． 42．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)a=50-2b，15． (2) 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可； （2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b 当时，．解得． （2）解：∵，， ∴ 解这个不等式组得：． 答：矩形花园宽的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键． 43．长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据的取值范围必须满足两个条件：一个是这个长方形的周长不大于48米，另一个是长方形的边长大于0，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解不等式组得：， 答：x的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，并求不等式组的解，注意不要漏掉长方形的长要大于0这个隐含条件． 44．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【答案】(1)m的值为8 (2)19 【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用． （1）根据题意，结合数轴得； （2）根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值． 【详解】（1）解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； （2）解：由题意，得， 解得， 的最小整数值为19． 45．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 【拓展训练一 一元一次不等式的含参问题】 46．已知关于的方程组，的解满足，则应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，求出方程组的解后，结合解的情况得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：； 故选：C． 47．如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于的不等式是解题的关键． 求出不等式的解集，根据不等式至少有4个正整数解即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， 又不等式至少有4个正整数解， 个正整数解肯定包括1、2、3、4， ， 解不等式得：， 故选：C． 48．关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为非负数，得到且， 解得：且． 故答案为：且． 49．若关于x，y的方程组的解满足，则m的所有非负整数之和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于的不等式．两式相加可得，代入已知不等式求出的范围，再确定的所有非负整数解即可求出结果． 【详解】解： ，得 的非负整数为3，2，1，0， 的所有非负整数之和为 故答案为：6． 50．已知关于、的一元二次方程的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，解一元一次不等式．将方程，化简得，结合即可求解． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【拓展训练二 一元一次不等式的应用】 51．一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)型每台元、型每台元 (2)该中学至少需要再拿出6台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设型每台元、型每台元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6． 【详解】（1）解：设型每台元、型每台元，根据题意得， 解得： 答：型每台元、型每台元 （2）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于元， ， 即， 解得：， 又∵是正整数，则是9的倍数，的最小值为 ∴的最小值为 答：该中学至少需要再拿出台旧电脑进行抵值． 52．有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 53．某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台 (3)选购型设备台，型设备台 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列二元一次方程组，求解即可得到结果． （2）设型设备台，型设备台，根据题意可列一元一次不等式，求解可得的值，对应四种采购方案． （3）根据题意可列一元一次不等式，求解可得的两个值，分别计算当，时，对应的总资金，即可得出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：根据题意可列， 解得， ∴，． （2）解：设型设备台，型设备台， 根据题意可列：， 解得：， 取正整数， ， 有四种方案： ①型设备台，型设备台； ②型设备台，型设备台； ③型设备台，型设备台； ④型设备台，型设备台； （3）解：由题意得：， 解得：， ， 取正整数， 或， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 应选购型设备台，型设备台． 54．若与都是各数位上的数字均不为0的两位数，且与的十位数字之和为9，个位数字相同，则称，互为“欢庆数”． (1)11的“欢庆数”是________；26________23的“欢庆数”（填“是”或“不是”）； (2)若有一组“欢庆数”与，先将的个位数字与十位数字交换之后得到，将的个位数字与十位数字交换之后得到，再将放在的右边组成一个四位数，若A能被24整除，求满足条件的所有正整数． 【答案】(1)81；不是 (2)3336，6168，9792 【分析】本题主要考查了数位的表示法，不等式等知识， （1）由新定义解答即可； （2）设m的十位数字为a，个位数字为b，则n的十位数字为，个位数字为b，用含a，b的代数式表示出新四位数，然后根据新四位数能被24整除讨论即可得解； 解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 【详解】（1）∵， ∴11的“欢庆数”是81， ∵，， ∴26不是23的“欢庆数”， 故答案为：81；不是； （2）设m的十位数字为a，个位数字为b，则n的十位数字为，个位数字为b， ∴表示的两位数为,表示的两位数为， ∴A表示的四位数为， ∵A表示的四位数要被24整除， ∴必须为整数, ∵m与n都是各数位上的数字均不为0的两位数， ∴，且a，b都为整数， ∴， ∵要想为整数， ∴或即或， ∵， ∴的整数或的整数， ∴的整数或的整数， ∵， ∴的整数或的整数， ∴当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； ∴，，（由各数位上的数字均不为0的两位数知，不符合题意，舍去），， 满足条件的所有正整数：为3336，6168，9792． 55．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在． 【分析】把和分别用含的代数式表示出来，再求它们的差得到根据是正整数可得，所以可知； 根据、可得：，解不等式求出从而得到的最大值为； （3）根据得到关于的方程，求解得出，因为正整数，所以不存在这样的值． 【详解】（1）解：， ， ， 是正整数， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， 解得：， 的最大值为； （3）解：不存在， 理由如下： 如下图所示， ， ， ， ， 整理得：， 解得： 为正整数， 不存在使得． 【点睛】本题主要考查了列代数式、解一元一次方程、整式的乘法、作差法比较两数的大小． 【拓展训练三 一元一次不等式的新定义问题】 56．对x，y定义一种新运算T．规定：（其中a，b，c为常数），例如：．已知． (1)求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程，解一元一次不等式，不等式的性质，熟练将所求的式子用一个字母表示是解题的关键． （1）根据可得，可用表示，再将其代入所求式子即可； （2）根据题意得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 即， 得，即， 把代入①，可得， 可得， ； （2）解：，解得：， ，解得：， ， 则， ，即． 57．若不等式只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式为n阶不等式．我们规定：当时，这个不等式为0阶不等式． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式有3个正整数解，因此称其为3阶不等式． 请根据定义完成下列问题： (1)是　　　阶不等式；是　　阶不等式组； (2)若关于x的不等式是4阶不等式，a的取值范围为　　　； (3)关于x的不等式的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式，且关于x的方程的解是不等式的正整数解，直接写出m的值以及n的取值范围． 【答案】(1)0，3 (2) (3)， 【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到n的取值范围． 本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 【详解】（1）解：∵当时，则无正整数解， ∴是0阶不等式； ∵ ∴ ∴． ∴有3个正整数解，为1，2，3． ∴是3阶不等式组． 故答案为：0，3； （2）解：∵关于x的不等式是4阶不等式， ∴x有4个正整数解，为：1，2，3，4， ∴． 故答案为：； （3）解：∵关于x的方程的解是不等式的正整数解， ∴ ∴，， ∴m为偶数，且， ∴， ∴， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 58．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 59．对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______． 【答案】(1)方程的解为，方程的“关联值”为1（答案不唯一） (2)， (3)或 【分析】（1）根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意得到，进而得到当增大时，先减小到0，然后再增大，然后联立求解即可；根据题意分四种情况分别列出不等式求解即可． 【详解】（1）当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为（答案不唯一）； （2）∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）∵ ∴， ∵当时，， 当增大时，先减小到0，然后再增大， ∴当时，方程取得最小“关联值”， ∴联立，解得 ∴方程的最小“关联值”为； 当关联值为时，即， ∴， ∴ ∴①当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ②当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ③当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ④当，时，即，时， ∴，解得， ∴； 综上所述，当或时，关联值为． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解和一元一次不等式，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． 60．将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式（组的解集记为，给出定义：若中的数都在内，则称被包含；若中至少有一个数不在内，则称不能被包含．如，方程组的解为，记，，方程组的解为，记，，不等式的解集为，记．因为0，2都在内，所以被包含；因为4不在内，所以不能被包含． (1)将方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式的解集记为，请问能否被包含？说明理由； (2)将关于，的方程组的解中的所有数的全体记为，将不等式组的解集记为，若不能被包含，求实数的取值范围． 【答案】(1)能被包含．理由见解析 (2)实数的取值范围是或 【分析】（1）解方程组求得方程组的解为，不等式x+1≥0的解集为x≥﹣1，2和﹣1都在D内，即可证得C能被D包含； （2）解关于x，y的方程组得到它的解为，得到E：{a+1，a﹣l}，解不等式组得它的解集为1≤x＜4，根据题意得出a﹣1＜1或a+1≥4，解得a＜2或a≥3． 【详解】（1）能被包含．理由如下： 解方程组得到它的解为， ，， 不等式的解集为， ， 和都在内， 能被包含； （2）解关于，的方程组得到它的解为， ，， 解不等式组得它的解集为， ， 不能被包含，且， 或， 或， 所以实数的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组和一元一次不等式（组），理解被包含的定义是解题关键，属于中档题． 1．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集等知识点，正确求得一元一次不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式可得． 在数轴上表示如下： 故选D． 2．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，实验中学开展“航空航天”知识竞赛，一共25道题，选对一题得4分，不选或选错一题扣2分，得分不低于82分得奖，则至少应选对几道题才能得奖？（   ） A．22 B．23 C．21 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，先设应选对x道题才能得奖，根据题意列出不等式，求出解集，可得答案． 【详解】解：设应选对x道题才能得奖，根据题意，得： ， 解得， 所以至少应选对22道题才能得奖． 故选：A． 3．如果不等式的解集为，那么a必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此即可得出，解一元一次不等式求出的范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：A． 4．下表是新华书店5种类型文学名著套装的价目表，现在有促销活动，类型②名著套装打八折，同时购买两套可额外享受满200元减30元的优惠，若小明买了类型②套装后，还想再选一套，要使花费最少且不浪费优惠额度，他应选择哪种类型的名著？（   ） 类型 ① ② ③ ④ ⑤ 价格/元 260 200 130 110 80 A．① B．③ C．④ D．⑤ 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意和表格中的数据可以列出相应的一元一次不等式，从而可以求得小明再选一套可选择价格最便宜的类型是哪种，本题得以解决． 【详解】解：设小明购买类型②套装后还可以购买的套装的钱数为x元． 根据题意，得， 解得：． ∴小明再选一套可选择价格最便宜的类型⑤套装， 故选：D． 5．对x，y定义一种新运算※，规定：（其中a，b均为非零常数）．已知，，的解集为，则m的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式以及一元一次不等式的解． 首先利用已知条件建立二元一次方程组求出a和b的值，再代入不等式条件解出m． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∵： ∴根据定义得：， 解得： 由解集得：， 解得：， 故选：B． 6．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 通过解方程组得到和关于的表达式，代入不等式，解关于的不等式，确定其最小整数解． 【详解】解： 得 ， 即， ∵， ∴， 解得， ∴m的最小整数解为． 故选：B． 7．不等式的解集为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟记解一元一次不等式的一般步骤是解题关键． 根据解一元一次不等式的步骤即可求解． 【详解】， ， 故答案为：． 8．已知是关于的一元一次不等式，则的值是 ，这个一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解法，熟练掌握一元一次不等式中未知数次数为且系数不为是解题的关键．要确定的值，需根据一元一次不等式的定义，即未知数的次数为且系数不为；再解所得不等式求解集． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 未知数的次数，且系数． 由，解得； 由，得． 综上，． 把代入原不等式，得，即， 两边同时除以，得． 故答案为：； ． 9．若不等式的任意一个解都比不等式的解小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，根据不等式的解集求参数的范围． 先求出两个不等式的解集，根据不等式的任意一个解都比不等式的解小，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：； 解，得：， ∵不等式的任意一个解都比不等式的解小， ， ， 故答案为：． 10．关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可． 【详解】解∶解不等式，得， ∵不等式的解集中恰有四个非负整数， ∴四个非负整数为0，1，2，3， ∴， ∴， 故答案为：． 11．已知关于、的方程组 ①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③若，则；④无论取何值，、的值都不可能互为相反数． 以上结论正确的是 ．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数，求不等式的解集，先求出方程组的解，再根据各选项的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：解，得：， ∴当时，，方程为， 把代入，得到，故①正确； ∵， ∴，故②错误； 若，则：， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故④正确； 故答案为：①④． 12．已知关于的分式方程，若此方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，然后求出方程的解，根据方程的解为正数列出不等式求出a的取值范围，再根据方程不能有增根进一步求出a的取值范围即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵原方程的解为正数， ∴， ∴， ∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， 综上所述，且， 故答案为：且． 13．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案，熟练掌握解一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， ； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， ． 14．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． （1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．在一次创新能力测试中，共有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分．小明有道题未答，则他最多答错几道题，总分才不会低于分？ 【答案】小明最多答错道题，总分才会不低于分． 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设小明最多答错道题，总分才会不低于分，依题意得，然后解不等式并检验即可，明确题意，列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设小明答错道题， 依题意得， 解这个不等式得， 因为是正整数，所以最多为， 答：小明最多答错道题，总分才会不低于分． 16．人工智能技术的广泛应用正在使我们的生活变得更加智能化、个性化和便捷，某快递公司为了提高分拣效率，计划购进一批智能分拣机器人．现在有两家公司的同一款智能分拣机器人的报价均为2.6万元，并分别给出以下两种优惠方案： 公司 优惠条件 甲公司 每台智能分拣机器人打八折出售 乙公司 第一台按原价收费，其余每台打七五折出售 该快递公司选择哪家公司购买支付的费用较少？ 【答案】当购买的智能分拣机器人少于5台时，在甲公司购买费用较少；当购买5台智能分拣机器人时，在甲、乙两家公司购买支付的费用相同；当购买的智能分拣机器人多于5台时，在乙公司购买费用较少. 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键．设购买台智能分拣机器人，选择甲公司购买所需的费用为元，选择乙公司购买所需的费用为元，则，分析求出x的取值范围或x的值，此题得解． 【详解】解：设购买台智能分拣机器人，选择甲公司购买所需的费用为元，选择乙公司购买所需的费用为元，则， ， 由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得. 答：当购买的智能分拣机器人少于5台时，在甲公司购买费用较少；当购买5台智能分拣机器人时，在甲、乙两家公司购买支付的费用相同；当购买的智能分拣机器人多于5台时，在乙公司购买费用较少. 17．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车1辆，B型汽车1辆，需花费50万元；若购进A型汽车5辆，B型汽车4辆，共花费220万元． (1)A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过280万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为30万元 (2)购进型汽车4辆，B型汽车辆，成本为260万元 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A型与B型汽车每辆的进价分别是，万元， 由题意得： 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为30万元； （2）解：设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车辆，   解得， 又a为正整数，所以a取2、3、4， 当时，B型汽车辆，成本为：（万元）； 当时，B型汽车辆，成本为：（万元）； 当时，B型汽车辆，成本为：（万元）； ∵， ∴最节约成本的方案为：购进型汽车4辆，B型汽车辆，成本为260万元． 18．【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 19．2019年11月26日，联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生．在国际数学日到来之际，学校计划订购数学益智玩具魔方和数独棋，经调查发现，同一款式的魔方和数独棋在甲、乙两家商店标价均相同，其中魔方每个标价20元，数独棋每个标价50元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：魔方和数独棋都按9折出售． 乙商店：买两个数独棋送一个魔方． 学校计划订购数独棋40个，魔方若干（多于50个），单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若订购魔方的数量是60个，如果在乙商店订购，购买魔方和数独棋的总费用是多少元？ (2)当订购魔方的数量是多少个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同？ (3)根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 【答案】(1)元 (2)当订购魔方的数量是100个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同 (3)当时，选择乙商店购买；当时，选择甲商店购买；当时，选择甲或乙商店购买都可以． 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程及不等式的实际应用，解题的关键是掌握甲商店和乙商店的优惠方式． （1）根据乙商店的优惠方式列式求解即可； （2）设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同，根据题意列出一元一次方程求解即可； （3）根据（2）中代数式列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，（元）， ∴购买魔方和数独棋的总费用是2800元； （2）解：设订购魔方的数量是x个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同， 根据题意得，， 解得； ∴当订购魔方的数量是100个时，在甲、乙两家商店购买魔方和数独棋的总费用相同； （3）由（2）得时， 解得：， ∴当时，选择乙商店购买； 当时，选择甲商店购买； 当时，选择甲或乙商店购买都可以． 20．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？（   ） A．是    B．不是 (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)A (2) (3)4 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解得 ， 解得 ， ∴方程的解是同时也是不等式的解， ∴是“友好解”， 故选A． （2）解，得， ∵关于、的方程组的解是不等式的“友好解”， ∴ 解得． （3）由，得 ，解得． 由得 ∵方程的解是不等式的“友好解” ∴， 解得， ∴的最小整数值为4 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$