专题14 不等式的概念与基本性质（3知识点+6大题型+2大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题14 不等式的概念与基本性质 （3知识点+6大题型+2大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练+2大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）下列数学表达式中，不等式有（     ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·专题练习）给出下列数学式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·专题练习）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点2：不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 知识点3：不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 【即时训练】 7．（2025·浙江杭州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如果关于的不等式的解集是，则的取值范围是 【题型1 不等式的定义】 1．下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥中，不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下面式子中：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 5．下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【题型2 列不等式】 6．2024年7月31日，在巴黎奥运会男子100米自由泳决赛中，中国选手潘展乐以46秒40的成绩打破世界纪录夺得金牌，若将该记录用时记为．若今后的选手要打破该记录，则比赛用时t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 8．将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 9．用不等式表示：两数、和的平方不小于它们的积 10．用不等式表示： (1)x的与3的差大于2； (2)与3的和小于或等于零； (3)a的2倍与4的差是正数； (4)b的与c的和是非负数； (5)x与17的和比x的5倍小． 【题型3 不等式的解集】 11．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 12．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 13．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 14．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 15．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【题型4 根据不等式的性质判断变形情况】 16．下列式子变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 17．下列不等式变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 18．把不等式变形得到，其依据是不等式的性质 ，即不等式的两边都 ，不等号的方向 ． 19．根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“”，则m的取值范围是 ． 20．将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 根据不等式的性质比较大小】 21．已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 22．当时，、x、的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 23．比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 24．（推理能力）用等号或不等号填空． (1)比较与的大小： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； ④当时，_______． (2)当取任意实数时，_______； (3)当，取任意实数时，_______． 25．阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小． 解：① ② 故③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【题型6 利用不等式的性质解不等式】 26．把下列不等式化成或（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．利用不等式的性质解下列不等式： (1)； (2)． 28．根据不等式的基本性质，将下列不等式化成或的形式： (1)； (2)． 29．与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请完成下题中依据的填写． 已知有理数x，y满足，求证：． 证明：∵， （有理数的加法法则）， （不等式的基本性质1）， ∴（① ）． ∵（② ） ， （等量代换）． ∴（③ ） ． 30．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 【拓展训练一 不等式的性质综合】 31．已知三个实数a，b，c满足，，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 32．已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 33．已知，且，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 34．已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 35．已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 【拓展训练二 比较式子的大小】 36．已知． (1)若，求证：； (2)若，，判断与的大小并证明． 37．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 38．阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 39．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)代数式的最小值是____________； (2)代数式有最大值还是最小值？如果有，求出最值； (3)当a，b为任意实数时，比较代数式与的大小． 40．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界． (1)例如生活经验：往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为，再往杯中加入克糖，此时糖水的含糖量变大了； 用数学关系式可以表示为___________； .                .                . 如何证明我们得到的关系式是正确的呢？在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若0，则．请你用给出的方法证明你选择的关系式的正确性； (2)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运吨货物．现让大船完成运送吨货物的任务，小船完成运送吨货物的任务． 大船、小船完成运送任务所需天数分别为__________天，__________天（均用含的代数式表示）； 通过计算分析哪艘轮船完成任务所用的时间少？ 1．设，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．郑州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则郑州当日气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 3．若，且，则的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 6．若代数式，，则M和N的大小关系是（    ） A． B． C． D．与a的值有关 7．不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件： ． 8．已知对，，且，则 . 9．已知三个实数满足． （1）若，则 （填“”或“”）； （2）若且，则的最小值是 ． 10．定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时， ； （2）当时，的范围是 ． 11．已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是 ． 12．点M、N、P和原点O在数轴上的位置如图所示，有理数a、b、c各自对应着M、N、P三个点中的某一点，且，，那么表示数b的点为 ．    13．已知，请比较与的大小，并说明理由． 14．比较大小： (1)当时，a________；（填“”“”或“”） (2)说明第（1）题中结论的正确性． 15．阅读下列解题过程，解答下列问题： 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 所以③． (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是什么？ (2)请写出正确的解题过程． 16．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 17．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（1），你能判断三人的轻重吗？ （2）P、O、R、S四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（2），你该如何判断这四人的轻重呢？ 18．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 19．已知． (1)比较大小：______（填“”“”“”或“”）； (2)求证：． 20．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． (1)例如这道题：“已知实数、满足，证明：； 初二年级的数学兴趣小组发现这一问题至少可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为（___________），且， 所以___________0，___________0，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且均为正， 所以（___________）（在横线上填上不等式的变形依据） 所以（不等式的传递性） 所以． (2)请你尝试证明：若，则． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 不等式的概念与基本性质 （3知识点+6大题型+2大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练+2大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）下列数学表达式中，不等式有（     ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式．根据不等式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：不等式有①②⑤⑥，共4个． 故选：C 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·专题练习）给出下列数学式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义识别上述式子是否属于不等式，即可． 【详解】∵用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫不等式 ∴①，⑤，⑥符合题意， ∵②，④没有不等关系，属于代数式 ∴②④不符合题意； ∵③属于等式， ∴③不符合题意； 不等式有①⑤⑥，共个． 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·专题练习）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键，“由不等号（，，，，）连接的式子叫不等式”． 【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤；所以共有4个． 故选：C． 知识点2：不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得出是不等式的解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴是不等式的解，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式解的意义． 5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期中）关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 知识点3：不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 【即时训练】 7．（2025·浙江杭州·二模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，， 当时，， 而一定成立， 所以选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 8．（2025·浙江·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：由，得，故选项A，选项B，选项C错误，选项D正确， 故选：D． 9．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如果关于的不等式的解集是，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的取值方法求参数，根据“不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”，由此即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【题型1 不等式的定义】 1．下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥中，不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查对不等式的意义的理解和掌握，能根据不等式的意义进行判断是解此题的关键．根据不等式的定义，不等号有，，，，，选出即可． 【详解】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如，，，，，  则不等式有：①②⑤⑥共4个．  故选：C． 2．下面式子中：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的定义，依据不等式的定义：用等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断即可． 【详解】解：在①，②，③，④，⑤中， 不等式有：①，④，⑤，共3个， 故选：B． 3．下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考了不等式的定义，熟知不等式成立的条件是解题的关键． 根据不等式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、当时不成立，故本选项不符合题意； B、当时不成立，故本选项不符合题意； C、不论x为何值，不等式均不成立，故本选项不符合题意； D、不论x为何值，不等式均成立，故本选项符合题意． 故选：C． 4．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了不等式，用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐个分析即可． 【详解】解：①是等式，②是不等式，③是不等式，④是不等式，⑤是代数式，不是不等式，⑥是不等式， 故不等式有4个， 故答案为：4． 5．下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】等式有②，不等式有①③④⑥ 【分析】表示相等关系的式子叫等式，用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫不等式，再逐个判断即可． 【详解】解：等式有②； 不等式有①；③；④；⑥； 综上，等式有②，不等式有①③④⑥． 【点睛】本题考查了等式和不等式的定义，能熟记等式和不等式定义是解此题的关键． 【题型2 列不等式】 6．2024年7月31日，在巴黎奥运会男子100米自由泳决赛中，中国选手潘展乐以46秒40的成绩打破世界纪录夺得金牌，若将该记录用时记为．若今后的选手要打破该记录，则比赛用时t的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的表示和意义，熟练掌握不等式的表示和意义是解题的关键．由于记录用时记为，要打破该记录，即比赛用时要小于记录用时，即． 【详解】解： 记录用时为， 若今后的选手要打破该记录，则比赛用时需． 故选：B． 7．如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式的知识，明确题意是解答本题的关键． 根据不超过指的是小于等于，直接列不等式即可作答． 【详解】解：∵汽车的最高时速不得超过，某汽车的时速为，且该汽车没有超速， ∴， 故选：B． 8．将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式表示，解题的关键在于用代数式表示出糖水中含糖的浓度． 根据题意分别表示出原糖水的浓度与加入克糖后糖水浓度，再结合题意列出不等式即可． 【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入克糖后糖水浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ． 故答案为：． 9．用不等式表示：两数、和的平方不小于它们的积 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，先列出两数、和的平方为与它们的积为，再根据两数、和的平方不小于它们的积列不等式即可． 【详解】解：根据题意：两数、和的平方不小于它们的积，不等式表示为， 故答案为：． 10．用不等式表示： (1)x的与3的差大于2； (2)与3的和小于或等于零； (3)a的2倍与4的差是正数； (4)b的与c的和是非负数； (5)x与17的和比x的5倍小． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据题意列出不等式即可． （2）根据题意列出不等式即可． （3）根据正数是大于0列出不等式即可． （4）根据非负数即大于等于0列出不等式即可． （5）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：x的与3的差大于2 即 （2）解：与3的和小于或等于零， 即 （3）解：a的2倍与4的差是正数， 即 （4）解：b的与c的和是非负数， 即 （5）解：x与17的和比x的5倍小， 即 【题型3 不等式的解集】 11．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 12．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 13．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 14．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解的定义去判定即可． 【详解】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误； ②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误； ③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确； ④不等式的解集是，故说法正确． 综上所述：正确的有③④ 故答案为：③④． 15．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 【题型4 根据不等式的性质判断变形情况】 16．下列式子变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】此题考查了不等式的性质．根据不等式的性质，等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．由，得，故选项A错误； B．由，得，故选项B错误； C．由，得，故选项C正确； D．由，得，故选项D错误． 故选：C． 17．下列不等式变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由，得，原式变形错误，不符合题意； B、由，得，原式变形错误，不符合题意； C、由，得，原式变形错误，不符合题意； D、由，得，进而得，原式变形正确，符合题意； 故选：D． 18．把不等式变形得到，其依据是不等式的性质 ，即不等式的两边都 ，不等号的方向 ． 【答案】 1 减去2 不变 【分析】本题主要考查了不等式性质， 根据不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，据此解答即可． 【详解】解：不等式变形得到，即， 其依据是不等式的性质1，即不等式的两边都减去2，不等号的方向不变． 故答案为：，减去2，不变． 19．根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“”，则m的取值范围是 ． 【答案】m<0 【详解】分析：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，根据将“mx＜3”变形为“x＞”，可得m的取值范围是m＜0，据此解答即可． 详解：∵将“mx＜3”变形为“x＞”，不等式符号发生了改变， ∴m的取值范围是m＜0． 故答案为m＜0． 点睛：此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 20．将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 (4)，见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可； （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 则不等式的两边同时加上，不等号方向不变，得到， （2）解： ， 则不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （3）解： ， 不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （4）解： ， 则不等式的两边同时减去，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘2，不等号方向不变，得到． 【题型5 根据不等式的性质比较大小】 21．已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先在的两边同乘以，变号，再在此基础上同减去3，不变号，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 22．当时，、x、的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，分别在不等式两边同时乘上和同时除以即可进行判断． 【详解】解：当时，在不等式两边同时乘上可得：； 在不等式两边同时除以可得： ∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查不等式的性质．熟记相关结论是解题关键． 23．比较大小：如果那么 b．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的性质解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：. 24．（推理能力）用等号或不等号填空． (1)比较与的大小： ①当时，_______； ②当时，_______； ③当时，_______； ④当时，_______． (2)当取任意实数时，_______； (3)当，取任意实数时，_______． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)； (3)． 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是掌握不等式性质问题及由特殊到一般的解题思路． （1）先将具体数值分别代入和，再比较大小后即可得解； （2）根据（1）中的结论进行总结即可推测； （3）根据（1）（2）的结论推广后可得． 【详解】（1）解：当时，，， ， 即； 当时，，， ， 即； 当时，，， ， 即； 当时，，， ， 即． 故答案为：；；；． （2）解：由（1）可推测：当取任意实数时， ， ． 故答案为：． （3）解：当，取任意实数时， ， ． 故答案为：． 25．阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小． 解：① ② 故③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：正确的解题过程如下： ， ． 【题型6 利用不等式的性质解不等式】 26．把下列不等式化成或（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；不等式基本性质1： 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 不等式基本性质2 ：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式基本性质3 ：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）根据不等式的性质求解即可． （3）根据不等式的性质求解即可． （4）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上5，不等号的方向不变， 所以， 得：． （2）解：， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都减去，不等号的方向不变， 所以， 得． （3）解：， 根据不等式的基本性质2，不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变， 所以， 得． （4）解：， 根据不等式的基本性质3，不等式的两边都除以，不等号的方向改变， 所以， 得． 27．利用不等式的性质解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据不等式的性质，解不等式，即可求解； （1）根据不等式性质3，不等号的两边同时除以，不等号的方向改变，即可求解． （2）根据不等式性质1，不等号的两边同时减去，不等号的方向不变，即可求解． 【详解】（1）解： 不等号的两边同时除以，得：； （2）解： 不等号的两边同时减去，得 28．根据不等式的基本性质，将下列不等式化成或的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．灵活运用不等式的性质1进行变形是关键． （1）根据不等式的性质1将不等式两边都加上1求解即可； （2）根据不等式的性质1将不等式两边都减去求解即可． 【详解】（1）因为， 所以，即； （2）因为， 所以，即． 29．与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请完成下题中依据的填写． 已知有理数x，y满足，求证：． 证明：∵， （有理数的加法法则）， （不等式的基本性质1）， ∴（① ）． ∵（② ） ， （等量代换）． ∴（③ ） ． 【答案】①有理数的乘法法则（或不等式的基本性质2）；②平方差公式（或整式乘法法则）；③不等式的基本性质1 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，平方差公式，有理数乘法运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则和不等式的基本性质．根据不等式的基本性质和平方差公式进行解答即可． 【详解】证明：∵， （有理数的加法法则）， （不等式的基本性质1）， ∴（①有理数的乘法法则）． ∵（②平方差公式）， （等量代换）． ∴（③不等式的基本性质1）． 故答案为：①有理数的乘法法则（或不等式的基本性质2）；②平方差公式（或整式乘法法则）；③不等式的基本性质1 30．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集； （2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集． 【详解】（1）解： 不等式两边同时乘， 解得：； （2）解： 不等式两边同时减，得， 不等式两边同时减3，得， 不等式两边同时除以，得． 【拓展训练一 不等式的性质综合】 31．已知三个实数a，b，c满足，，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解三元一次方程，互为相反数的应用，根据已知方程判定代数式的值，正确计算是解此题的关键． 由，，下可以得出：，，即a与互为相反数，得出．， 则可判断选项D正确． 【详解】解∶把已知两个式子相减，得， ∴，即a与互为相反数， ∴， ∴， 又 ∴， 故选 D． 32．已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 33．已知，且，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据题意及平方的非负性得，推出，可判断B；由，可推出，可判断A；由得，可判断C、D，解题的关键是掌握不等式的性质：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，故选项B不符合题意； ∵，即， ∴，故选项A不符合题意； 又∵， ∴， ∴，故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 34．已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确求出是解题的关键． （1）根据题意可得，再由可得，据此可证明结论； （2）根据，，可得，进一步可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题意可得，结合已知得倒，由不等式的性质可得，即可证明； （2）根据，得到，结合（1）中，求出，再根据，求出，进而得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【拓展训练二 比较式子的大小】 36．已知． (1)若，求证：； (2)若，，判断与的大小并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，不等式的性质，证明是解题的关键． （1）利用作差法得到，再判断出的符号即可证明结论； （2）利用分式的加法计算法则得到，根据（1）可证明，据此可得结论． 【详解】（1）证明： ， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 37．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出题目中的不等关系． （1）①根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ②根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ③根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； （2）①根据，移项并作差，然后即可得到和的关系； ②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到与的大小． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； ③， ， ， 故答案为：； （2）解：①， ， ， ， ， ； ② ， ． 38．阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值，相应的的值为 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接写出代数式的最小值，通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （2）利用完全平方公式可将代数式变形为，进而利用不等式的性质可得，于是可知其最大值是，再通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （3）利用完全平方公式可将已知条件变形为，于是可得，，通过解一元一次方程即可求出、的值，利用三角形三边之间的关系可得，即，再结合是中最长的边，即可求出的取值范围是； （4）根据已知条件可得，利用完全平方公式可将其变形为，利用不等式的性质可得，于是可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可得： 当代数式取得其最小值时，， 解得：， 代数式的最小值是，这时相应的的值是， 故答案为：，； （2）解： ， ， ， ， 当代数式取得其最大值时，， 解得：， 代数式的最大值是，这时相应的的值为； （3）解：，，是的三边长，且满足， ， ， ， ， ， ，， 解得：，， ， ， 是中最长的边， ， 的取值范围是； （4）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，不等式的性质，解一元一次方程，等式的性质，三角形三边之间的关系，整式的加减运算，有理数大小比较等知识点，利用完全平方公式对代数式或等式进行适当变形是解题的关键． 39．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)代数式的最小值是____________； (2)代数式有最大值还是最小值？如果有，求出最值； (3)当a，b为任意实数时，比较代数式与的大小． 【答案】(1) (2)代数式有最大值为 (3) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，利用完全平方公式进行运算，作差法比较大小，解题的关键在于能够准确读懂题意和熟练掌握完全平方公式． （1）利用配方法将变换为，再得到即可解题； （2）利用配方法将变换为，再得到即可解题； （3）利用作差法结合完全平方公式将，整理为，再得到，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， 代数式的最小值是， 故答案为：． （2）解：代数式有最大值， ， ， ， ， 代数式有最大值为； （3）解：， ， ， ，， ， 当a，b为任意实数时，． 40．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界． (1)例如生活经验：往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为，再往杯中加入克糖，此时糖水的含糖量变大了； 用数学关系式可以表示为___________； .                .                . 如何证明我们得到的关系式是正确的呢？在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若0，则．请你用给出的方法证明你选择的关系式的正确性； (2)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运吨货物．现让大船完成运送吨货物的任务，小船完成运送吨货物的任务． 大船、小船完成运送任务所需天数分别为__________天，__________天（均用含的代数式表示）； 通过计算分析哪艘轮船完成任务所用的时间少？ 【答案】(1) 证明见解析 (2)， 当时，大船所用的时间少； 当时，大船和小船所用的时间相等； 当时，小船所用的时间少． 【分析】本题主要考查了分式的加减，不等式的性质，列代数式等知识点，弄懂题意，灵活运用所学知识进行求解是解题的关键． （1）根据题意即可直接作出判断；利用作差法证明：将两个分式通分并化简，得到，由于，，因此可证得，于是得到结论； （2）根据大船比小船每天多运吨货物，得出大船每天运吨货物，进而可得解答；通过作差法求解之后，再进行分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：再往杯中加入克糖，则此时糖水的含糖量为， 糖水的含糖量变大了， ， 故答案为：； 证明： ， ，， ， ， ； （2）解：小船每天运吨货物， 大船每天运吨货物， 大船完成运送任务所需天数为，小船完成运送任务所需天数为， 故答案为：，； ， ， 当时，， ， ，即大船完成任务所用的时间少； 当时，， ， ，即大船和小船完成任务所用的时间相等； 当时，， ， ，即小船完成任务所用的时间少； 综上所述： 当时，大船完成任务所用的时间少； 当时，大船和小船完成任务所用的时间相等； 当时，小船完成任务所用的时间少． 1．设，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解、绝对值的意义、算术平方根和不等式的解，掌握以上知识的计算是关键．根据题意，把代入计算，再辨析即可． 【详解】解：A、把代入得到左边，右边，不成立； B、把代入得到，右边，故不成立； C、把代入得到左边，右边，故成立； D、把代入得到，故不成立． 故选：C． 2．郑州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则郑州当日气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式，利用不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式，表示即可． 【详解】解：由题意得：郑州市春季某日气温的变化范围是：， 故选：D． 3．若，且，则的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质，得出，求出m的取值范围，可得答案． 【详解】解：由不等号的方向改变，得：， 解得， 四个选项中满足条件的只有2， 故选：D． 4．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可，熟练掌握不等式的性质，是解题的关键． 【详解】解：A、若，则；故原说法错误，不符合题意； B、若，则；故原说法错误，不符合题意； C、若，则；故原说法错误，不符合题意； D、若，则；故原说法正确，符合题意； 故选D 5．在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，不等式的性质，根据新定义可得，进而根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 6．若代数式，，则M和N的大小关系是（    ） A． B． C． D．与a的值有关 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入中计算，判断差的正负即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件： ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意写出的范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不超过的最大整数是， ∴， 故答案为：． 8．已知对，，且，则 . 【答案】－1或7或－7. 【分析】由，得到，再结合求出x、y的值，代入计算即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， －1或7或－7. 故答案是：－1或7或－7. 【点睛】本题考查了绝对值的计算和不等式的知识，掌握绝对值的性质是关键. 9．已知三个实数满足． （1）若，则 （填“”或“”）； （2）若且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，不等式的性质； （1）根据题意可得，代入得出，根据，推出，即可求解； （2）根据题意得出，代入，进而根据不等式的性质，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴ ∵ ∴，即， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴ ∴ ∵，, ∴时，的最小值是 故答案为：． 10．定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时， ； （2）当时，的范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了新定义、代数式求值、不等式的性质等知识点，灵活运用知识成为解题的关键． （1）直接运用新定义求解即可； （2）分、、三种情况，分别根据新定义和不等式的性质求解即可． 【详解】解（1）有题意可得：当时，． ∴当时，． 故答案为：． （2）当时： 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 当时，． 将代入，可得． 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 综上，y的取值范围为或． 答案为或． 11．已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的计算法则是解题的关键； 根据不等式的计算法则即可求解； 【详解】解：关于的不等式无解， 当时， 无解， 即，无解，满足题意； 当时， 无解， 即恒成立， ， 解得：， 综上，实数的取值范围； 故答案为： 12．点M、N、P和原点O在数轴上的位置如图所示，有理数a、b、c各自对应着M、N、P三个点中的某一点，且，，那么表示数b的点为 ．    【答案】M 【分析】本题考查了有理数与数轴上的点的对应关系，数形结合、明确有理数的混合运算法则及不等式的性质，是解题的关键． 根据，可得异号，再根据，得正数的绝对值较大，从图上点的位置关系可得对应着点与点；根据，变形可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值， ∴对应着点与点， ， ， ∴数对应的点为点， 故答案为：M． 13．已知，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质得到，继而得到，即可得解． 【详解】解：，理由如下： ， ∴ ． 14．比较大小： (1)当时，a________；（填“”“”或“”） (2)说明第（1）题中结论的正确性． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 15．阅读下列解题过程，解答下列问题： 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 所以③． (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是什么？ (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②；不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变． (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键． （1）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变，可得第②步开始出现错误； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：②；错误的原因是不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：正确的解题过程如下： 因为， 所以， 所以． 16．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集； （2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集． 【详解】（1）解： 不等式两边同时乘， 解得：； （2）解： 不等式两边同时减，得， 不等式两边同时减3，得， 不等式两边同时除以，得． 17．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（1），你能判断三人的轻重吗？ （2）P、O、R、S四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（2），你该如何判断这四人的轻重呢？ 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查不等式应用． （1）由图（1）可得，，故即可判断的大小； （2）根据图（2）可得不等式组，由，可得，继而得到，最终可判断本题答案． 【详解】解：（1）由图可知，， ∴； （2）由图可知：；，， 由，，得，即． 由，，得，即， ∴． 18．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误； （2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解． 【详解】（1）由题意得②错误， 根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断； 故答案为：②； （2）因为， 所以， 故． 19．已知． (1)比较大小：______（填“”“”“”或“”）； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查分式减法，完全平方公式的应用，不等式的性质： （1）利用完全平方公式可得，即可得出结论； （2）利用分式减法法则求出，再根据题意得到，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵ ； ∵， ∴，， ∴， ∴． 20．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． (1)例如这道题：“已知实数、满足，证明：； 初二年级的数学兴趣小组发现这一问题至少可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为（___________），且， 所以___________0，___________0，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且均为正， 所以（___________）（在横线上填上不等式的变形依据） 所以（不等式的传递性） 所以． (2)请你尝试证明：若，则． 【答案】(1)，，；不等式的基本性质2； (2)见解析． 【分析】本题考查因式分解，不等式的性质： （1）利用平方差公式法进行因式分解，利用不等式的性质，进行作答即可； （2）根据不等式的性质，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：证法1：因为，且， 所以，，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且均为正， 所以（不等式的基本性质2）（在横线上填上不等式的变形依据） 所以（不等式的传递性） 所以； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$