专题12 探索勾股定理（4知识点+16大题型+5大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题12 探索勾股定理 （4知识点+16大题型+5大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：16大核心考点精准练+5大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 知识点2：勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．    【答案】 【分析】先由正方形A的边长得到正方形A的面积，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形A的边长为， ∴正方形A的面积为45， ∴，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，熟记公式是关键． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 【答案】（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； （3）在直角三角形ABC中，，，， ． 知识点3：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理逆定理可得此三角形为直角三角形，两直角边分别为，即可求解面积． 【详解】解：∵测得三角形零件的三边长分别为， ∴， ∴该三角形零件为直角三角形， ∴面积为：， 故选：D． 35．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边分别为8、15，那么这个直角三角形斜边上的高为 ；三角形的两边分别为3和5要使这个三角形组成直角三角形，则第三边长是 ． 【答案】 / 或4 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理的运用．根据勾股定理求出斜边，设斜边上的高为h，根据同一三角形面积一定，列方程求出这个直角三角形斜边上的高；根据勾股定理的逆定理，可设第三条边长为x，如果满足或，即为直角三角形，解出x的值即可解答． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为8，15， ∴斜边为， 设斜边上的高为h， 则直角三角形的面积为， 解得：， 这个直角三角形斜边上的高为； 三角形的两边分别为3和5，设第三条边长为x， ∵三角形是直角三角形， ∴或， 解得，或， 即第三边长是或4． 故答案为：；或4． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），根据勾股定理计算即可； 对于（2），先说明是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于计算即可. 【详解】（1）解：，，，．即的长为； （2）解：，，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为． 知识点4：勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【即时训练】 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握掌握勾股数的判断方法． 先找出最大的数，若较小的两个数的平方和等于最大的数的平方，则这组数为“勾股数”，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，不是“勾股数”， ∴选项不符合题意； ∵， ∴，，是“勾股数”， ∴选项符合题意； 故选：D． 8．（2025九年级下·浙江·专题练习）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股数，分、、三种情况，根据勾股数的概念判断即可，熟练掌握勾股数的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，， 则， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，，则， ∴， 此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述：对应的数为或， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025浙江·一模） 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下为正整数，且． 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．若股用表示，弦用表示，则勾可以表示为________（用含的代数式表示）； 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ （1）淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为________（用含的代数式表示）； （2）请你论证淇淇的发现2． 【答案】探究一：；探究二：（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股数，整式混合运算的应用，因式分解的应用，解题的关键熟练掌握勾股数定义． 探究一：根据勾股定理求出勾的平方，然后求出勾的值即可； 探究二：（1）根据勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯得出一般规律即可得出答案； （2）根据完全平方公式，进行证明即可． 【详解】解：探究一： ， ∴勾可以表示为； 探究二：（1）∵4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ ∴用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为：； （2）证明：∵， ∴，，是一组勾股数． 勾股定理的应用 【即时训练】 10．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图所示，一架长的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，此时梯子底端离墙． (1)求这架梯子的顶端距离地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑了，那么梯子底端水平外移了多少？ 【答案】(1)24米 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理计算，再利用线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵地面垂直的墙，即， ， 答：这架梯子的顶端距离地面的高度为24米． （2）由题意得：，， ， ， ， 答：梯子底端水平外移了． 11．（24-25八年级上·浙江舟山期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先设，可得，再根据勾股定理得，求出解即可． 【详解】解：根据题意可知， 设，则，根据勾股定理得 ， 解得． 所以折断处离地面的高度是4尺． 12．（24-25八年级上·江苏南京·期中）某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】没有超速 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理可得， ∴小汽车的速度为． ， ∴这辆小汽车没有超速． 【题型1 勾股定理的证明方法】 1．如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（　　） A．秦九韶 B．祖冲之 C．赵爽 D．杨辉 【答案】C 【分析】本题考查了关于勾股定理的历史知识：赵爽弦图；根据赵爽的弦图可以用于证明勾股定理即可求解． 【详解】解：赵爽的弦图可以用于证明勾股定理； 故选：C． 2．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案． 【详解】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 3．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是 ．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 【答案】(图1) ；(图2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式等知识点，熟练掌握等面积法是解题的关键． 直接利用等面积法列出等式并整理即可解答． 【详解】解：如图1，根据矩形的面积公式得； 故答案为：(图1)； 如图2，，整理得： 故答案为：(图2)． 4．到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】53 【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和． 5．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 【题型2 以弦图为背景的计算题】 6．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先由勾股定理求得，进而得，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形，，， ∴， ∴， 故选：D． 7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且， 由题意可知： ，，， 因为，即 ， ， 所以， 的值是8， 故选：B． 8．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用， 根据勾股定理得，由已知条件结合完全平方公式可得，进而求出，则此题可解． 【详解】解：根据勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴直角三角形的面积为． 故答案为：12． 9．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为，五边形的面积是，则图中空白部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，用五边形的面积减去正方形的面积求出两个全等的直角三角形的面积，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， ∴两个全等的直角三角形的面积五边形的面积正方形的面积， ∴图中空白部分的面积正方形的面积两个全等的直角三角形的面积， 故答案为：． 10．补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以为边长的大正方形的面积等于把边长为、的两个正方形连在一起的面积是，即可作答． （2）根据正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及正方形的面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为． 由于它们的面积相等，即． 故答案为：，； （2）解：观察图4：正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积， 或正方形的面积等于边长乘边长， 即． 【题型3 勾股数问题】 11．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：B． 12．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为 ． 【答案】84、85 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．观察所给数组的规律，继而可得出答案． 【详解】解：由勾股数组：，，…中， ，，， ，，，… 可得当勾为13时，股为，弦为； 故答案为：，． 13．我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 【答案】 60，61 【分析】本题主要考查了勾股数， 对于（1），通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； 对于（2），根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 【详解】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是； 故答案为：60，61； （2）6，8，10，可以写成； 8，15，17，可以写成， 根据规律，可知这些勾股数的股为：． 故答案为：． 14． 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下为正整数，且． 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．若股用表示，弦用表示，则勾可以表示为________（用含的代数式表示）； 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ （1）淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为________（用含的代数式表示）； （2）请你论证淇淇的发现2． 【答案】探究一：；探究二：（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股数，整式混合运算的应用，因式分解的应用，解题的关键熟练掌握勾股数定义． 探究一：根据勾股定理求出勾的平方，然后求出勾的值即可； 探究二：（1）根据勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯得出一般规律即可得出答案； （2）根据完全平方公式，进行证明即可． 【详解】解：探究一： ， ∴勾可以表示为； 探究二：（1）∵4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ ∴用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为：； （2）证明：∵， ∴，，是一组勾股数． 15．观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 ．．．．．． ．．．．．． （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含（为正整数，且）的等式表示上述规律：______． 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查找规律，涉及勾股数，根据题中所给等式的结构特征找准规律即可，熟练掌握寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）由题中所给等式的结构特征即可得到答案； （2）根据题中所给等式的结构特征即可得到答案； （3）由（2）中找到的规律，结合题意可得这个直角三角形的直角边，从而结合规律得到直角三角形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）补充上述表格，， 故答案为：； （2）用含（ 为正整数，且 ）的等式表示上述规律：， 故答案为：； （3）由（2）中规律， 则存在以、为直角边，为斜边的直角三角形， 当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得，解得， 直角三角形的另一个直角边是， 则这个直角三角形的面积为． 【题型4 勾股定理与无理数】 16．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的知识，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出矩形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．图中矩形的长为2，宽为1，则可根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则点P表示的数即为3加上对角线的长度． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 故选：C． 17．如图，在数轴上找到表示和2的两点，分别记为A，B，过点B作直线，在直线上取点C，使，以点A为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 18．如图，点和点在数轴上，点对应的实数为1，点对应的实数为3，以为边在数轴上方作矩形，且，连接对角线，以点为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则点对应的实数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，即点与点之间的距离，再确定点对应的实数即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 故， 即， 当点在点的左侧时，点对应的实数为； 当点在点的右侧时，点对应的实数为； 故答案为：或． 19．如图，在边长为1的正方形网格中，画出三个同时满足以下三个条件的三角形． ①所画三角形的顶点都在格点上的直角三角形； ②所画三角形的三边长度至少有两边长度是无理数； ③所画的三个直角三角形互不全等． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理和网格，无理数的概念，根据题意画图即可． 【详解】如图所示， 20．综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____． (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)， (2)①作图见解析，；②作图见解析 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示无理数， 对于（1），根据勾股定理求出对角线的长，以原点为圆心，对角线长为半径画弧，即可得出答案； 对于（2）①，将图3分成4个直角三角形和1个小正方形，再图4中拼成正方形，进而得出正方形的边长； ②以数1为圆心，对角线为半径在右侧画弧，与数轴交点即为所求作. 【详解】（1）解：对角线的长为， 所以点A，点B表示的数是； 故答案为：； （2）解：①如图所示， 正方形的面积为5，所以边长； 故答案为：； ②如图所示，点M即为所求作． 【题型5 勾股定理与网格问题】 21．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 22．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得该阴影正方形的边长为：， 故选：A． 23．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 是直角三角形，故点符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 故答案为：． 24．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，利用勾股定理得到，再根据三角形中，若两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 25．在图中，的顶点都在网格线的交点上，由此我们称这种三角形为格点三角形． (1)在图中，每个小正方形的边长为时，　　； (2)在图中，若每个小正方形的边长为，请在此网格上画出三边长分别为、、的格点三角形； 【答案】(1) (2)画图见解析（答案不唯一） 【分析】（）利用勾股定理计算即可； （）取格点，由勾股定理可得，，，故即为所求； 本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， 故答案为：； （2）解：如图所求，即为所求． 【题型6 勾股定理与折叠问题】 26．如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得：，即可求解 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质得， ． 故选：B 27．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 28．如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理反推出，是直角三角形，，再由折叠的性质得到，设，则，得到，解方程即可解答． 本题考查了勾股定理，直角三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵折叠落在直线上， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ． 故答案为：6． 29．如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，根据性质得出相应量的值是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在中， ∵将长方形纸片沿折叠， ∴，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 30．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【题型7 利用勾股定理证明线段关系】 31．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 32．在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵在中，且， ∴AB为的斜边， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 33．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 34．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 35．在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：24． 【题型8 用勾股定理解三角形】 36．如图，在中，，，且，，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据等腰三角形的性质得，然后在中，由勾股定理即可求出的长，再由，即可求解． 【详解】解：，，， ． 在中，， ． ， ． 37．如图，在中，，垂足为． (1)若，，直接写出的值为 ； (2)若，，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用三角形的面积即可求解； （2）由已知可得，再分别在、和中，利用勾股定理可得，据此即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， 解得． 38．根据项目素材，探索解决问题． 项目主题 如何剪出直角三角形的完美线？ 项目背景 新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”在学习完三角形的证明后，某校组织了该次项目式学习． 项目素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 问题解决 项目一 如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数． 项目二 如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与交于点   D．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由． 项目三 在中，，°，，的“完美线”与交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度． 【答案】项目一：见详解；项目二：当为斜边上的高时，或为斜边上的中线时，为的“完美线”；项目三：或． 【分析】项目一：根据完美线的定义作图即可； 项目二：根据完美线的定义，结合直角三角形的性质分两种情况，当为斜边上的高时，当为斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可； 项目三：分两种情况，当为斜边上的高时，当为斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】项目一：如图，过点作， ， ，， 为的“完美线”； 项目二：当为斜边上的高时，如图所示： ， ，， ， 同理可得：， 为的“完美线”； 当为斜边上的中线时，如图所示： 为斜边上的中线， ， ，， 为的“完美线”； 综上所述，当为斜边上的高或为斜边上的中线时，为的“完美线”； 项目三：在中，，，， ，，， 当为斜边上的高时，如图所示： ， ，， 根据折叠可知，，， ， 三点共线， ； 当为斜边上的中线时，如图所示： 为斜边上的中线，，, ， ， 根据折叠可知，，， , 为等边三角形，，且与互相平分， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，注意进行分类讨论． 39．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，解题关键在于掌握性质． （1）连接，根据直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定即可证明结论； （2）根据题意可得，，利用勾股定理即可求得的值，利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接， 是边上的中线，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ，， 在直角中， ， ． 40．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法证明，即可得证； （2）利用勾股定理求出的长，利用全等三角形的性质得到，得出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，，， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ，， ， 的周长． 【题型9 用勾股定理构造图形解决问题】 41．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过点D作于点H，分别根据题意求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】如图，过点D作于点H， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选C．    42．小明从地沿正西方向走了240米到达地，再从地沿正南方向走到地，此时A，C两地相距250米，那么B，C两地相距（   ） A．10米 B．70米 C．240米 D．250米 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据题意建立图形，再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图， 由题意可得：，，， ∴， 即B，C两地相距70米． 故选：B 43．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 尺． 【答案】14.5 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 44．《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、两点到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是 寸（1尺寸）．    【答案】101 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E．    设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸， 故答案为：101． 45．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人． (1)_________米，_________米； (2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）； ②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，） 【答案】(1)米，米 (2)①消防车在处离楼房的距离为；②消防车两次救援移动的距离约为 【分析】（1）根据题意，可得消防车的高为的长，再根据题中图形，可得云梯的长为的长． （2）①根据题意，可得的长，再根据勾股定理，即可得到消防车在处离楼房的距离．②根据题意，可得的长，再根据勾股定理，可得到的长，然后根据，即可算出消防车两次救援移动的距离． 【详解】（1）根据题意，可得消防车的高为的长， ∴m； 根据题中图形，可得云梯的长为的长， ∴m． 故答案为：3；10． （2）①由题意得，，， ∴， 在中，， 即消防车在处离楼房的距离为； ②由题意得，，， ∴ 在中， ， ∴． 即消防车两次救援移动的距离约为． 【点睛】本题考查了数形结合思想，勾股定理等知识点，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 【题型10 判断三边能否构成直角三角形】 46．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（   ）． A．3，4，6 B．7，12，13 C． D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为3，4，6的三角形不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为7，12，13的三角形不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为的三角形不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴三边长为7，24，25的三角形能构成直角三角形，，故此选项符合题意； 故选：D． 47．已知在中，的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，由三角形内角和定理可判断A、D，由勾股定理的逆定理可判断B、C． 【详解】解：A、由条件，且，可求得，故是直角三角形； B、设，则，故可得，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C、由可得，即，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形； D、因为，且，可求得最大角，故不是直角三角形． 故选：D． 48．在中，，如果满足，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ， 即， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 49．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．据此求解即可． 【详解】解：①3，4，5中； ②5，12，13中； ③7，24，25中； ④9，40，41中； …． ∴， ∴， （负值已舍）． 故答案为：17． 50．如图，在四边形中，，，，． (1)直接写出的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要查了勾股定理及其逆定理： （1）在中，利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再由四边形的面积解答即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 【题型11 利用勾股定理的逆定理求解】 51．已知：如图，，，，，．求的面积． 【答案】30 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积． 52．如图，在中，，点是边上的中点，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，可证明，则，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， 是直角三角形，且， 是边的中点， ． 53．如图，四边形中，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，再证明，得到，据此根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 54．如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明是直角三角形． （1）连接，根据，可得出，再由勾股定理求出的长，利用勾股定理的逆定理判断出，进而可得出结论； （2）利用即可得出结论． 【详解】（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴； （2）由（1）知，是直角三角形，且， ∴ ． 55．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状，并说明理由； (3)在的中点处修建饮水设备，求点与点之间的距离． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）由垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证出，即可得出结论； （3）由（2）得，，结合点是的中点，再利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得到点与点之间的距离． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ，， ， 恰好是的中点， ， ． 边的长为． （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图， ，恰好是的中点， 是的垂直平分线， ， 又，， ， ， 是直角三角形． （3）解：如图，连接， 由（2）得，， 又点是的中点， ， 点与点之间的距离为． 【题型12 勾股定理逆定理的实际应用】 56．为推进绿色低碳社区建设，全州县老年活动中心准备在屋顶安装太 阳能光伏板．如图所示为屋顶四边形的示意图，其中为需要加固的支撑架，已知，米，米，米，米． (1)工程师需要计算支撑架的长度以准备材料，请通过计算说明的具体长度． (2)若光伏板铺设成本为150元/平方米，则铺设整个屋顶的光伏板需花费多少元？ 【答案】(1)的长为5米； (2)铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积，即可解决问题． 【详解】（1）解：，米，米， （米， 即线段的长为5米； （2）解：，米，米，米， ， 是直角三角形，且， （平方米）， （元， 答：铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元． 57．吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1) (2)学校C会受噪声影响，见解析 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点C作于D，等积法求出的长，进行判断即可。 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作于D，则： ， ， ∵吊车周围以内为受噪声影响区域，， ∴学校C会受噪声影响． 58．如图是一块地，已知． (1)连接，求的长度； (2)求这块地的面积． 【答案】(1) (2)这块地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积． （1）根据勾股定理可求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可求出，可求出的面积，减去的面积，可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ， （2）解：∵，， 在中，， 是直角三角形， ， ． 答：这块地的面积为． 59．劳动教育能够提升学生的智力与创造力，强壮学生的体格，实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长， (1)求蔬菜区边的长； (2)求劳动基地（四边形）的面积． 【答案】(1)蔬菜区边的长为 (2)劳动基地（四边形）的面积为 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据三角形面积公式可进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴在中，由勾股定理得， 答：蔬菜区边的长为． （2）解：， 是直角三角形，， ， 答：劳动基地（四边形）的面积为． 60．小李家有一块菜地如图，已知直角三角形的斜边长比直角边的长大，另一直角边长为，，． (1)求的长； (2)求整个菜地的面积．（参考数据，，结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）设的长为，则的长为，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，再由，列式计算即可． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：的长为； （2）解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 由（1）可知，， ∴ ， 答：整个菜地的面积约为． 【题型13 勾股定理的应用】 61．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． (1)用含的式子表示为_____； (2)请你求出旗杆的高度． 【答案】(1) (2)12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】（1）解：∵设旗杆的高度为，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ∴米． 故答案为：； （2）解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 62．如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)梯子的底部在水平方向滑动了至点，求梯子的顶端沿墙垂直下滑了多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得到即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，，， ∴在中， 答：这个梯子的顶端距离地面． （2）解：由题意得，，， ∴在中， ∴ 答：梯子的顶端沿墙垂直下滑了． 63．如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里 (2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点C作于点D，首先利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． 在中，， ∴． 答：小岛A与港口C的距离为150海里； （2）解：过点C作于点D， 当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（小时）． 答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A． 64．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米． 65．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    【答案】水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就．找到题中的直角三角形，设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答． 【详解】解∶ 设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴ 即水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺． 【题型14 判断是否受影响类问题】 66．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 67．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长是解题关键． 求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】解：在中，； 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 68．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 【答案】(1)市会受到沙尘暴的严重影响，见解析； (2)小时． 【分析】本题主要考查勾股定理，理解题意，掌握勾股定理的计算方法是关键． （1）过点作于，根据含角的直角三角形的性质得到，由此即可求解； （2）设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点，由勾股定理得到千米，则千米，由行程问题的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，由题意得千米，， ∴（千米）, ∵， ∴市会受到沙尘暴的严重影响； （2）解：设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点， 在中，千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴市受影响的时间为（小时）， 故市受影响的时间为小时． 69．如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为．一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？（，，，） 【答案】(1)货车开过学校会受噪音影响，理由见解析 (2)学校受噪音影响秒钟 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据即可求解； （2）在上取点和点，使，则是受学校噪音影响的路段，利用勾股定理求出，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：货车开过学校会受噪音影响，理由如下： ， 货车开过学校会受噪音影响． （2）解：如图，在上取点和点，使， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， 影响时间（秒）， 答：学校受噪音影响秒钟． 70．2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【答案】(1)南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响，见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，A，C之间相距，A，B之间相距． ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响． （2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴台风影响南通市持续时间为． 答：台风影响南通市持续时间为． 【题型15 选址问题】 71．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 72．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 73．如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，） 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)符合要求，见解析 【分析】（1）根据，勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理，即可； （2）过点D作于点E；作A点关于DE的对称点，连接，根据直角三角形的性质，得，根据，则，三角形是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，可推出，即可． 【详解】（1）解：（1）是直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴在中， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）符合要求，理由如下： 过点作于点；作点关于的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴该监控装置符合要求．    【点睛】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理． 74．如图，某社区要在所在的直线上建一图书室，点和点为社区附近的两所学校，作于点，于点，已知，，．      (1)尺规作图：要求图书室到两所学校的距离相等，请在图中作出点； (2)在（1）的条件下，求的距离． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）作出线段的垂直平分线，与线段的交点即为所求点；（2）利用，结合勾股定理建立等量关系即可求解． 【详解】（1）解：作图如下，点E为所求；    （2）解：连接EC，ED， 设，则． ∵，， 又∵，∴． ∴． 解得．即的距离为． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的尺规作图及性质，勾股定理等知识点．掌握相关结论是解题关键． 75．综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 【题型16 求最短路径问题】 76．如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短问题，勾股定理及两点之间线段最短，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可，将棱柱的侧面展开图正确画出来是解题的关键． 【详解】解：当沿着正面和侧面爬行时，如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴； 当沿着正面和上底面爬行时，如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴要爬行的最短路程的值为． 故选：． 77．已知均为正数，且，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是构造图形，作于点B，于点C，交延长线于点E，，，，，，根据矩形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据两点之间线段最短，求出结果即可． 【详解】解：构图如下，其中于点B，于点C，交延长线于点E，，，，，， 则四边形是矩形，，， 由勾股定理可知：， ， ∵， ∴的最小值为， 在中，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是． 故选A． 78．如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，当点、、在同一条直线上时，最短， 则此时为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为：． 79．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 80．动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【答案】（1），（2）（3）． 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为，的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处时，剖面图即为为的，求出即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 【详解】解：（1）把矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点重合，点与点重合， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 这条丝线的最小长度即为的长， 由勾股定理得：， 即这条丝线的最小长度是； （3）若用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处，如图所示： 在中，，， ， 则． 答：至少需要的丝线． 【拓展训练一 勾股定理折叠问题综合】 81．如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 82．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 83．如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)10 (2) (3)或或或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，进行求解即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直角三角形中，，， ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； （3）由（2）可知：； 当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当时： 则：； ②当时： 则：，或 ③当时： 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 综上：或或或． 84．我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数，如：，4，、，12，． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： a b e 3 4 5 5 12 13 7 m 25 t x y （1） ； （2）若为奇数，则　　，　　（用含的代数式表示）； 【知识迁移】 （3）、、是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （4）在中，当，时，斜边的值为 ； 【知识应用】 （5）如图所示，有一张直角三角形的纸片，直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上与重合，则 ． 【答案】（1）24；（2），；（3）是，理由见解析；（4）；（5）3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，进而可以计算得解； （2）依据题意，由上面的数据找出规律即可判断得解； （3）依据题意，由即可判断得解； （4）依据题意，由勾股数3，4，5进行判断可以得解； （5）依据题意，利用勾股数可得斜边，再由折叠，借助面积法可以得解． 【详解】解：（1）由题意得，， ． 故答案为：24． （2）由题意，由上面的数据找出规律可得， ，． 故答案为：，． （3）由题意，、、是正整数）是一组勾股数．利用如下： ， 又， ． （4）依据题意，由勾股数3，4，5可以发现， ，， ． 故答案为：． （5）由题意，利用勾股数可得斜边，再由折叠，且，， ， 即． ． ． 故答案为：3． 85．作图并计算 (1)如图1，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点，要求该站到村庄、的距离相等．在图中作出点的位置，并求得点距点的距离．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)； (2)如图2，在，，沿着过点的直线折叠三角形，使点落在上点处．作出折痕和点，折痕与交于点．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹若，，，求的面积． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求, ，设，根据勾股定理可得，即可解得的长； （2）作的角平分线交于点，过点作于，再证明，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； 设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）如图所示：作的角平分线交于点，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查作垂线，作角平分线，折叠的性质, 勾股定理及应用；熟练掌握基本作图是解题的关键． 【拓展训练二 勾股定理最值问题综合】 86．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案； （2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称——最短路线问题得到最小值就是求的值，根据勾股定理计算即可； （3）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）解：如图2，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为， 作交的延长线于F， 由题意得，，， ∴的最小值 故答案为：； （2）构造图形如图3所示，，，，于A，于B，， 则， 代数式的最小值就是求的值， 作点C关于的对称点，过作交的延长线于E． 则，，， ∴所求代数式的最小值是5； （3）解：如图4，作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 87．【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题： （1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长； ②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）① ② 【分析】（1）连接，在中，利用大边对大角得出，在中，利用大边对大角得出，即可得出结论． （2）①将沿翻折，得到，点B落在上的点E处，过点E作于F，利用角平分线的性质得，利用勾股定理与三角形面积公式求解即可； ②将沿翻折，得到，则点C落在的延长线上的点E处，过点E作于N，交于M，根据垂线段最短，可得此时最小，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接． 因为边是四边形中的最大边， 所以在中，．所以． 因为边是四边形中的最小边， 所以在中，．所以． 所以．即． （2）①如图4，将沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴点B落在上的点E处， 由勾股定理得． ∵，， ∴， ∴平分． 过点E作于F，则，设，则． 由，得， ∴， ∴； ②如图，将沿AD翻折，得到， ∴，， ∵， ∴点C落在的延长线上的点E处， 过点E作于N，交于M， 此时最小， 由①知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形边角的不等关系，翻折的性质的应用，线段垂直平分线，角平分线的性质，垂线段最短．熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键． 88．如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度向终点运动，设运动的时间为秒． (1)当为何值时，线段把的面积平分？ (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)点在运动过程中，在边上是否存在一点使得最小？若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1); (2); (3)在边上是存在一点使得最小最小值为 【分析】（1）先求出的长，根据题意可得为的中点，求得的长度，即可求解； （）为等腰三角形，点只能在上且，设，则，由勾股定理求解即可； （）作点关于的对称点，过点作的垂线段，交于点，交于点，连接，则垂线段即为所求的的最小值，根据面积相等求解即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中，由勾股定理得， ∵线段把的面积分成相等的两部分， ∴为的中点，． ∴点运动的路径长为． 运动的时间为（秒） 所以． （2）解：为等腰三角形，点只能在上且， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； （3）解：作点关于的对称点，过点作的垂线段，交于点，交于点，连接， 则垂线段即为所求的的最小值， ∵，， ∴ ∴，即最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，三角形的中线，轴对称的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 89．（1）如图在内部有一点，是正三角形，连接、、，将线段绕顺时针反向旋转至， ①求证：； ②调整P点的位置，使最小，求此时和的大小. （2）如图在直角三角形中，，，在其内部任取一点，求的最小值.    【答案】（1）①证明见解析部分 ②， （2） 【分析】（1）①证明，可得结论； ②利用两点之间线段最短以及全等三角形的性质解决问题即可； （2）如图（2）中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，过点作交的延长线于点．求出的值，可得结论． 【详解】（1）①证明：，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ； ②解：， 当，，，共线时，的值最小， 此时， ， ； （2）解：如图（2）中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，过点作交的延长线于点．   ，， 是等边三角形， ， ， ， 当，，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 90．如图，在中，，，是边上一点，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，其中．    (1)连接，求证：≌； (2)当为何值时，的周长最小； (3)若交于点，求为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)0或或 【分析】（1）由，可得，然后根据证明全等即可； （2）由勾股定理可得，则周长为，可得当最小时，周长最小，由垂线段最短得，当时，最小，计算此时的长，进而可得结果； （3）由题意知，若是等腰三角形，分①，②，③，三种情况求解：当时，，与 重合，与重合，进而可得到的值；当时，，根据，计算求解即可；当时，证明， 则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知， ∴ ， 在和中， ， ∴； （2）解：由题意知，，， 在中，由勾股定理可得， ∴周长为， ∴当最小时，周长最小， 由垂线段最短得，当时，最小， ，， ∴， ∴当时，的周长最短． （3）解：由题意知，若是等腰三角形，分三种情况求解： 当时， ∴， ∴， ∴与 重合，与重合， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当的值为0或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【拓展训练三 勾股定理旋转问题综合】 91．如图，等边三角形ABC，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，利用将军饮马河原理计算即可． 【详解】如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P重合， ∴点N在线段BP上运动， ∵△PDC是等边三角形，点D是等边三角形ABC边BC的中点， ∴BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°， ∴∠CBP=30°，∠BPC=90°， 作点D关于直线BP的对称点E，连接CE，与BP的交点就是DN+CN最小的位置，且最小值为EC， 连接BE，ED， ∴∠CBP=∠EBP=30°，△BDE是等边三角形，∠CBE=60°， ∴BD=DC=DE， ∴∠BEC=90°，∠BCE=30°， ∵BC=6， ∴BE=3，CE=， ∴DN+CN最小值为， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，将军饮马河原理，直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定和将军饮马河原理是解题的关键． 92．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为(    )． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解． 【详解】解：如图，连接BB′， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB=BB′， 在△ABC′和△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠ABC′=∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D， 则BD⊥AB′， ∵∠C=90°，AC=BC=， ∴AB==2， ∴BD=2×=， C′D=×2=1， ∴BC′=BD-C′D=-1． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 93．如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质．首先连接，利用证明，根据全等三角形的性质可知，，根据勾股定理可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 在中，，为的中点， ，，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 94．如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴的关系．根据题意的三个顶点按的顺序依次落在数轴上，每三次一个循环，一个循环中在数轴上第一个点到第三个的长为的周长，很容易求出它的周长为．因为，所以2024次旋转共经历674个循环还余2，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C，再求解即可． 【详解】解：中，，，， ． 的周长为． 有三个顶点， 次旋转中每三次一个循环． ， 次旋转共经历674个循环还余2． 第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C， 次旋转后点C共向右移动的总长为． 第一次的起点为， 右边的点表示的数是． 故答案为：． 95．如图，等腰和等腰的腰长分别为4和2，其中，M为边的中点．若等腰绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】连接．由三线合一得，利用勾股定理求出，然后利用三角形三条边的关系求解即可. 【详解】如图，连接． ∵M为边的中点，且为等腰直角三角形， ∴，． 在中，， 由勾股定理可知，即． 当A，B，M三点不共线时，由三角形的三边关系可知， 此时一定有；当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时，此时有， ∴， 即点B到点M的距离的最大值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形三条边的关系，确定当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时有最大值是解题的关键． 【拓展训练四 勾股定理最短路径综合】 96．如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将长方体沿着它的长、宽、高分别展开，利用勾股定理求出对应的最短路径，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； ∵， ∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 故答案为：13． 97．如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是 ．（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】130 【分析】本题考查了最短路径问题，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长，利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程. 【详解】解：如图，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：130． 98．如图所示，一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用 秒（结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得； 如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得； 如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得， ∵ ∴最短路径长为， ∴用时最少为秒． 故答案为：． 99．问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 【答案】(1)，Ⅱ (2)， (3) 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线Ⅱ； 故答案为：，Ⅱ； （2）解：， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 100．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】(1)①、；②5 (2)13 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识， (1)利用勾股定理得到，由题图知，，利用三角形三边的关系得(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出,从而得到即的最小值； (2)如图，设,则,利用勾股定理得到，根据三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值； 掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，, 在中，， 由题图知，, ∴(当且仅当、、共线时取等号), 作交的延长线于,如图, ∵，， ∴四边形为矩形， , 在中，, 的最小值为5, 即的最小值为5； 故答案为：，5； （2）解：如图，，，，设，则， 在中，, 在中，, ∴, 由知，(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，可得四边形为矩形， ,, 在中，, 的最小值为13, ∴的最小值为13. 【拓展训练五 勾股定理综合应用】 101．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是______； (2)如图2，中，，P为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点E在上，，当时，请直接写出的最大值． 【答案】(1)垂直平分 (2)四边形是筝形，理由见解析， (3) 【分析】（1）由筝形可得，，即垂直平分； （2）由折叠的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即，可证四边形是筝形，由面积法可求的长； （3）由折叠的性质可得，，，，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分； 故答案为：垂直平分； （2）解：四边形是筝形，理由如下： 如图2，设与交于点H， 由折叠的性质得，垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：如图3，将沿翻折得，将沿翻折得，在截取，连接，， ∵，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当点A，点G，点H，点D共线时，有最大值， ∴的最大值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了新定义，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握新定义，合理添加辅助线是解题的关键． 102．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：已知在中，． 【基础】（1）如图1，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形的面积为9，正方形的面积为16，求的长； 【变式】（2）如图2，分别以为边向外作等腰和等腰，连结．若，求的度数； 【拓展】（3）如图3，以为边向形外作等边三角形，以为边向上作等边三角形，连结．若，求等边三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由勾股定理即可求解； （2）先确定出是中垂线（三线合一），则，那么由等边对等角以及三角形内角和定可求； （3）先证明 ，则，继而可得，则，设，由勾股定理得：，解得：（舍负），则，那么在中， ，过点E作于点，求出高，即可求解面积． 【详解】解：（1）在中， 正方形的面积为，正方形的面积为．    ； （2）等腰和等腰，    是中垂线（三线合一） ； ； ； （3）解：和是等边三角形   ，         ， ∴， 设， 由勾股定理得：， 解得：（舍负） ∴在中，， ， 在中， ， 过点E作于点， ∵等边， ∴， ∴， 等边三角形的面积：． 103．如图1，在中，，，点在边上，点在边的延长线上，且． (1)设，求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，过点作，交于点，求证：． (3)如图3，在边上取点，使，作交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，得到，于是得到； 根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到； 作交于点，连接，由，得到，，求得，得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴≌， ∴； （3）解：作交于点，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴≌， ∴，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 104．如图，已知是等边三角形，是边上任意一点（不和重合），，． (1)求证：． (2)如图，是的中点，连接，．连接，求的长度． (3)若，则的周长的最小值是______．（用含的代数式表示，直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由等边三角形的性质可得，， 进而由可证，即可求证； （）由可得，， 即得是等边三角形， 得到，进而得，过点作直线于，由 可得，得到，即可得，得到，即得到，，最后利用勾股定理即可求解； （）由知是等边三角形可得的周长，可知当时，有最小值，即的 周长有最小值，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：由()可知， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 如图，过点作直线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：由()可知是等边三角形， ∴， ∴的周长， ∴当时，有最小值，即的 周长有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 105．一个三角形被一条中线分割成两个三角形，如果分成的这两个三角形中至少有一个为等腰三角形，则称这个三角形为奇妙三角形，这条中线为奇妙线． (1)如图1，在中，已知，，，为一条奇妙线，则的周长为 ． (2)如图2，已知，于点D，，，求证：为奇妙三角形． (3)已知为奇妙三角形，且为奇妙线，，，求的长． 【答案】(1)13，14 (2)见解析 (3)，6， 【分析】（1）由题可分为以下几种情况讨论：当时；当时；当时看和是否至少有一个是等腰三角形，从而求得的周长； （2）取的中点E，连接，由，，证明，从而得到答案； （3）由题可分为以下几种情况讨论： ①当为等腰三角形时，若，求得；当为等腰三角形时，②当为等腰三角形时，若，则作交于点，求得； ③当为等腰三角形时，若，求得； ④当为等腰三角形时，若，求得等， 综上所有情况，可得答案． 【详解】（1）解：为一条奇妙线， D是中点且， ， 和至少有一个是等腰三角形， 当，是等腰三角形，但，不符合题意舍去； 当，是等腰三角形，符合题意，的周长为； 当，和都是等腰三角形，符合题意，的周长为， 综上所述：的周长可能为13，14， 故答案为：13，14； （2）证明：如图： 取的中点E，连接， ， ， ， ， ∴是的垂直平分线， ， 为奇妙三角形． （3）解：由题可分为以下几种情况讨论： ①为等腰三角形时，若，如图， D是中点， ， ②当为等腰三角形时，若，如图， 是等腰三角形，， 设， 为奇妙三角形，且为奇妙线， ， 作交于E， ， ， ， 在直角和直角中， ， ， ， 解得， ∴； ③当为等腰三角形时，若，如图， 且D是中点， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ④为等腰三角形时，若同③， ⑤其他情况，不存在 综上所述，的值为，6，． 【点睛】本题属于新定义的等腰三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中线定义的综合应用等，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．解题时注意：分类讨论所有的可能性，不要遗漏． 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、，不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、，不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、，不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、，能作为直角三角形三边长，该选项符合题意； 故选：． 2．如图，小明为了测量河宽，先在延长线上取一点，再在同岸取一点，使，测得，，，那么河宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，等角对等边，正确作出辅助线，构建直角三角形是解题的关键． 过点作的延长线于点，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据直角三角形中角是对的边是斜边的一半得出，结合勾股定理求出，故，根据三角形的外角性质得出，根据等角对等边即可求解． 【详解】解：过点作的延长线于点， 在中，，， ∴， ∴， 故， 解得：， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，，．在高线所在直线上任取一点（不与点，重合），连结，，则的值为（    ） A．6 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．在及中分别将及的表示形式代入表示出和，在及中可分别表示出及，据此计算即可得出结果． 【详解】解： ． 故选：C． 4．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 5．如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式的意义；设，根据题意以及勾股定理可得，，根据完全平方公式变形可得，代入数据求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设 依题意，， ∴ ∴ ∴ 直角的面积为， 故选：A． 6．如图，，，在线段上，是的中点，连结，，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去全等三角形性质和勾股定理等知识点，延长、交于点，通过倍长类中线构造直角三角形，根据全等三角形的判定和性质证明，进而由勾股定理求可求解. 【详解】解：如图，延长、交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 7．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 8．数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， ∴水深为(尺)． 故答案为：12． 9．如图，长方形中，，，边在数轴上，表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，表示的数为， ∴，， ∴， ∴点表示点数为． 故答案为：． 10．如图，在和中，．连结，，若与的面积之比为，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，利用“角角边”证明，根据全等三角形的性质可得，由，，与的面积之比为，则，即可求得，最后根据勾股定理即可得解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作于点， ， 依题得：， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， 又与的面积之比为， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是作出合适的辅助线． 11．如图，点为内部一点，连接、，且，，，若，则 ． 【答案】4 【分析】延长交于，过作交延长线于，过作于点，先证明，，得到，设．则，再利用勾股定理得到，根据三角形面积可以求出，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长交于，过作交延长线于，过作于点． 则 ， ， ， ， ， ．即， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，勾股定理，含30度角的直角三角形特征，等边对等角，一元二次方程的求解，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握相关知识为解题关键． 12．如图，在四边形中，，，，点在边上，若，且平分，则的长为 ． 【答案】7 【分析】如图，过点作于点，点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得，，设，则，根据等边对等角得，在中，求得，继而得到，在中，推出，，，求出，，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点，点作，交的延长线于点， ∴， ∵平分， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，等边对等角，含角的直角三角形的性质，勾股定理，四边形的内角和，全等三角形的判定和性质等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．试在各网格中画出顶点在格点上，且符合相应条件的图形． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图2中以格点为顶点画一个，使得，，． 【答案】(1)详见解析． (2)详见解析． 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案 【详解】（1）如图1所示：正方形即为所求； （2）如图2所示：即为所求． 14．如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点处时，测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形，求点处踏板离地的垂直高度的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理求出，燃弧根据计算即可． 【详解】解：∵，， 在中，由勾股定理，得：， 即，， ∴． 15．某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得， （米）, （米）, （2）解：如图，在上截取米，连接， 由勾股定理得，（米）, （米）, 他应该往回收线8米． 16．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， (1)求的长度； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴． （2）解：∵垂直平分 ， ∴， 设 ，则， 在中， ∵， ∴， 解得． ∴． 17．如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作的角平分线，交于点P； ②作点P到的距离．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图、勾股定理、全等三角形的性质与判定，利用尺规正确作图是解题的关键． （1）①利用尺规作角平分线的方法即可作图；②利用尺规作垂线的方法即可作图； （2）利用勾股定理求出，再通过证明，得到，利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：①如图所示，角平分线和点P即为所求： ②如图所示，点P到的距离即为所求： （2）解：， ， ， ， 由（1）作图得，平分，， ，， ， 又， ， ， ， 的长为． 18．在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，． (1)求证：； (2)过作，若， ①证明：； ②求的长（结果不化简）． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据同位角相等，直线平行可得：，根据两直线平行，内错角相等得出，，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）①如图2，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，根据垂直平分线的判定和性质得出，根据等边对等角得出，即可求解； ②设，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，列出方程，解方程的值，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． （2）①证明：连接，如图： ∵， ∴， 在与， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：设， 在中，， 故， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 19．小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 他在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质，请再猜想一条筝形的性质： ；（除定义外） 推理验证 根据数学探究的步骤，小明需要对自己的猜想进行推理验证： 任务二： 如图，筝形中，，求证：． 性质应用 任务三： 如图，筝形中， ，，求筝形的面积． 任务四： 如图，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为__________． 拓展推广 注意：以下两个任务的难度分别由易到难，分值分别为1分和2分，同学们可以根据自己的能力自主选择其中一道作答，多做的按高分值给分，不另外加分． 任务五： 如图，在筝形，若，求证： 任务六： 如图，四边形中，，，，点是的中点，，求的最大值． 【答案】任务一：筝形的两条对角线互相垂直；任务二：见解析；任务三：；任务四：的度数为或；理由见解析；任务五：见解析；任务六： 【分析】任务一：连接，根据，可得是的垂直平分线，即可得到一条筝形的性质； 任务二：连接，证明即可； 任务三：可得，证明是等边三角形，则是的中垂线，再由求解； 任务四：当四边形为筝形时，分两种情况讨论：①如图，当，时，可得是等边三角形，则，同上理得：垂直平分，，那么；②如图，当，时，再由等边对等角和外角求解； 任务五：将绕点顺时针旋转60度至，连接，证明，得到为直角三角形则，则，，那么，则； 任务六：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，，则为等边三角形，故，当三条线段共线时，有最大值，据此求解即可． 【详解】解：任务一：连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴筝形的两条对角线互相垂直；（答案不唯一）； 任务二：如图，连接， 在和中， ， ， ； 任务三：，， 是等腰直角三角形， ， 四边形为筝形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等边三角形， ，， 是的中垂线， ， ，， ， ； 任务四：的度数为或；理由如下： 当四边形为筝形时，分两种情况讨论： ①如图，当，时， ，， ， 是等边三角形， ， 同上理得：垂直平分， ， ， ； ②如图，当，时， ， ，， ， ， ， 综上可知，的度数为或； 任务五：证明：如图，将绕点顺时针旋转60度至，连接， ∴， ∵， 为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， ， 又， ， 为直角三角形， ， ∵， ∴ ； 任务六：如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 当三条线段共线时，有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，灵活运用各知识点是解题的关键． 20．【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 【答案】（1）75米；（2）①60米；②不符合，理由见解析；（3）5 【分析】本题考查三角形全等的应用，求最小距离，灵活构造几何图形，借助三角形全等、勾股定理是正确解决本题的关键． （1）根据题意，证明，即可得出结论； （2）①延长至Q，使米，连接．过Q作交AN的延长线于H，过P作于G，当A、Q、E三点共线时有最小值，利用勾股定理即可求出； ②由①可知，米，用勾股定理计算出米，，即可判断步道不符合要求； （3）将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造对应的几何图形即可求出代数式的最小值． 【详解】解：（1）由题可知，，， ， 又∵P、B、D三点在同一条直线上， ， 又米， ， 米 （2）①米 如图3，延长至Q，使米，连接． 过Q作交AN的延长线于H，过P作于G， ∵，即垂直平分， ， ， 当A、Q、E三点共线时有最小值， 即米 ∵， 即， ∴四边形和四边形均为长方形， 米，， ∴米 ∴在中，即米， 米， ②， ， 由①可知，米， ∴在中，， 米， 米， 米， ∴米， 显然，， ∴步道不符合要求． （3）由（2）同理可得，， 的最小值为5． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 探索勾股定理 （4知识点+16大题型+5大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：16大核心考点精准练+5大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 知识点2：勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．    3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 知识点3：勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 35．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边分别为8、15，那么这个直角三角形斜边上的高为 ；三角形的两边分别为3和5要使这个三角形组成直角三角形，则第三边长是 ． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 知识点4：勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【即时训练】 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）能够成为直角三角形三条边长的正整数，我们称为“勾股数”，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．9，40，41 8．（2025九年级下·浙江·专题练习）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 9．（2025浙江·一模） 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下为正整数，且． 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．若股用表示，弦用表示，则勾可以表示为________（用含的代数式表示）； 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ （1）淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为________（用含的代数式表示）； （2）请你论证淇淇的发现2． 勾股定理的应用 【即时训练】 10．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图所示，一架长的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，此时梯子底端离墙． (1)求这架梯子的顶端距离地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑了，那么梯子底端水平外移了多少？ 11．（24-25八年级上·浙江舟山期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 12．（24-25八年级上·江苏南京·期中）某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【题型1 勾股定理的证明方法】 1．如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（　　） A．秦九韶 B．祖冲之 C．赵爽 D．杨辉 2．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是 ．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 4．到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 5．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【题型2 以弦图为背景的计算题】 6．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 8．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为 ． 9．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为，五边形的面积是，则图中空白部分的面积是 ． 10．补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 【题型3 勾股数问题】 11．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 12．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为 ． 13．我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 14． 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下为正整数，且． 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起就没有间断过，且股和弦只相差1．若股用表示，弦用表示，则勾可以表示为________（用含的代数式表示）； 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；16，63，65；⋯ （1）淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为，则第三条边可表示为________（用含的代数式表示）； （2）请你论证淇淇的发现2． 15．观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 ．．．．．． ．．．．．． （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含（为正整数，且）的等式表示上述规律：______． 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 【题型4 勾股定理与无理数】 16．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在数轴上找到表示和2的两点，分别记为A，B，过点B作直线，在直线上取点C，使，以点A为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为 ． 18．如图，点和点在数轴上，点对应的实数为1，点对应的实数为3，以为边在数轴上方作矩形，且，连接对角线，以点为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则点对应的实数是 ． 19．如图，在边长为1的正方形网格中，画出三个同时满足以下三个条件的三角形． ①所画三角形的顶点都在格点上的直角三角形； ②所画三角形的三边长度至少有两边长度是无理数； ③所画的三个直角三角形互不全等． 20．综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____． (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．） 【题型5 勾股定理与网格问题】 21．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 22．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ） A． B．3 C． D． 23．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点 ． 24．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 25．在图中，的顶点都在网格线的交点上，由此我们称这种三角形为格点三角形． (1)在图中，每个小正方形的边长为时，　　； (2)在图中，若每个小正方形的边长为，请在此网格上画出三边长分别为、、的格点三角形； 【题型6 勾股定理与折叠问题】 26．如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 28．如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ． 29．如图，将长方形纸片沿折叠，折叠后点落在处，点恰好与点重合，已知的长为 ． 30．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【题型7 利用勾股定理证明线段关系】 31．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 32．在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 33．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 34．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 35．在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 【题型8 用勾股定理解三角形】 36．如图，在中，，，且，，求的长． 37．如图，在中，，垂足为． (1)若，，直接写出的值为 ； (2)若，，求的长 38．根据项目素材，探索解决问题． 项目主题 如何剪出直角三角形的完美线？ 项目背景 新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”在学习完三角形的证明后，某校组织了该次项目式学习． 项目素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 问题解决 项目一 如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数． 项目二 如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与交于点   D．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由． 项目三 在中，，°，，的“完美线”与交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度． 39．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 40．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【题型9 用勾股定理构造图形解决问题】 41．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 42．小明从地沿正西方向走了240米到达地，再从地沿正南方向走到地，此时A，C两地相距250米，那么B，C两地相距（   ） A．10米 B．70米 C．240米 D．250米 43．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 尺． 44．《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、两点到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是 寸（1尺寸）．    45．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人． (1)_________米，_________米； (2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）； ②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，） 【题型10 判断三边能否构成直角三角形】 46．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（   ）． A．3，4，6 B．7，12，13 C． D．7，24，25 47．已知在中，的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 48．在中，，如果满足，则的形状是 ． 49．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ． 50．如图，在四边形中，，，，． (1)直接写出的长； (2)求四边形的面积． 【题型11 利用勾股定理的逆定理求解】 51．已知：如图，，，，，．求的面积． 52．如图，在中，，点是边上的中点，连接，求的长． 53．如图，四边形中，，，求四边形的面积． 54．如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 55．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状，并说明理由； (3)在的中点处修建饮水设备，求点与点之间的距离． 【题型12 勾股定理逆定理的实际应用】 56．为推进绿色低碳社区建设，全州县老年活动中心准备在屋顶安装太 阳能光伏板．如图所示为屋顶四边形的示意图，其中为需要加固的支撑架，已知，米，米，米，米． (1)工程师需要计算支撑架的长度以准备材料，请通过计算说明的具体长度． (2)若光伏板铺设成本为150元/平方米，则铺设整个屋顶的光伏板需花费多少元？ 57．吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 58．如图是一块地，已知． (1)连接，求的长度； (2)求这块地的面积． 59．劳动教育能够提升学生的智力与创造力，强壮学生的体格，实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长， (1)求蔬菜区边的长； (2)求劳动基地（四边形）的面积． 60．小李家有一块菜地如图，已知直角三角形的斜边长比直角边的长大，另一直角边长为，，． (1)求的长； (2)求整个菜地的面积．（参考数据，，结果保留一位小数） 【题型13 勾股定理的应用】 61．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． (1)用含的式子表示为_____； (2)请你求出旗杆的高度． 62．如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)梯子的底部在水平方向滑动了至点，求梯子的顶端沿墙垂直下滑了多少米． 63．如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 64．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 65．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？    【题型14 判断是否受影响类问题】 66．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 67．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 68．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 69．如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为．一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？（，，，） 70．2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【题型15 选址问题】 71．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 72．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 73．如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，） 74．如图，某社区要在所在的直线上建一图书室，点和点为社区附近的两所学校，作于点，于点，已知，，．      (1)尺规作图：要求图书室到两所学校的距离相等，请在图中作出点； (2)在（1）的条件下，求的距离． 75．综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【题型16 求最短路径问题】 76．如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（    ） A． B． C． D． 77．已知均为正数，且，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 78．如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 79．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 80．动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【拓展训练一 勾股定理折叠问题综合】 81．如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 82．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 83．如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 84．我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数，如：，4，、，12，． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： a b e 3 4 5 5 12 13 7 m 25 t x y （1） ； （2）若为奇数，则　　，　　（用含的代数式表示）； 【知识迁移】 （3）、、是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （4）在中，当，时，斜边的值为 ； 【知识应用】 （5）如图所示，有一张直角三角形的纸片，直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上与重合，则 ． 85．作图并计算 (1)如图1，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点，要求该站到村庄、的距离相等．在图中作出点的位置，并求得点距点的距离．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)； (2)如图2，在，，沿着过点的直线折叠三角形，使点落在上点处．作出折痕和点，折痕与交于点．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹若，，，求的面积． 【拓展训练二 勾股定理最值问题综合】 86．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 87．【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题： （1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长； ②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 88．如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度向终点运动，设运动的时间为秒． (1)当为何值时，线段把的面积平分？ (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)点在运动过程中，在边上是否存在一点使得最小？若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 89．（1）如图在内部有一点，是正三角形，连接、、，将线段绕顺时针反向旋转至， ①求证：； ②调整P点的位置，使最小，求此时和的大小. （2）如图在直角三角形中，，，在其内部任取一点，求的最小值.    90．如图，在中，，，是边上一点，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，其中．    (1)连接，求证：≌； (2)当为何值时，的周长最小； (3)若交于点，求为何值时，为等腰三角形． 【拓展训练三 勾股定理旋转问题综合】 91．如图，等边三角形ABC，，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．6 92．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为(    )． A．1 B． C．2 D． 93．如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为 ． 94．如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是 ． 95．如图，等腰和等腰的腰长分别为4和2，其中，M为边的中点．若等腰绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ． 【拓展训练四 勾股定理最短路径综合】 96．如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 97．如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是 ．（鱼缸厚度忽略不计） 98．如图所示，一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用 秒（结果保留一位小数）． 99．问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 100．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 【拓展训练五 勾股定理综合应用】 101．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是______； (2)如图2，中，，P为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点E在上，，当时，请直接写出的最大值． 102．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：已知在中，． 【基础】（1）如图1，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形的面积为9，正方形的面积为16，求的长； 【变式】（2）如图2，分别以为边向外作等腰和等腰，连结．若，求的度数； 【拓展】（3）如图3，以为边向形外作等边三角形，以为边向上作等边三角形，连结．若，求等边三角形的面积． 103．如图1，在中，，，点在边上，点在边的延长线上，且． (1)设，求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，过点作，交于点，求证：． (3)如图3，在边上取点，使，作交的延长线于点，若，，求的长． 104．如图，已知是等边三角形，是边上任意一点（不和重合），，． (1)求证：． (2)如图，是的中点，连接，．连接，求的长度． (3)若，则的周长的最小值是______．（用含的代数式表示，直接写出答案） 105．一个三角形被一条中线分割成两个三角形，如果分成的这两个三角形中至少有一个为等腰三角形，则称这个三角形为奇妙三角形，这条中线为奇妙线． (1)如图1，在中，已知，，，为一条奇妙线，则的周长为 ． (2)如图2，已知，于点D，，，求证：为奇妙三角形． (3)已知为奇妙三角形，且为奇妙线，，，求的长． 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明为了测量河宽，先在延长线上取一点，再在同岸取一点，使，测得，，，那么河宽为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，．在高线所在直线上任取一点（不与点，重合），连结，，则的值为（    ） A．6 B．18 C．36 D．72 4．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 5．如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 6．如图，，，在线段上，是的中点，连结，，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为 ． 8．数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 9．如图，长方形中，，，边在数轴上，表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为 ． 10．如图，在和中，．连结，，若与的面积之比为，则的长为 ． 11．如图，点为内部一点，连接、，且，，，若，则 ． 12．如图，在四边形中，，，，点在边上，若，且平分，则的长为 ． 13．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．试在各网格中画出顶点在格点上，且符合相应条件的图形． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图2中以格点为顶点画一个，使得，，． 14．如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点处时，测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形，求点处踏板离地的垂直高度的长． 15．某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 16．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、， (1)求的长度； (2)求的长． 17．如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作的角平分线，交于点P； ②作点P到的距离．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求的长． 18．在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，． (1)求证：； (2)过作，若， ①证明：； ②求的长（结果不化简）． 19．小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 任务一： 他在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质，请再猜想一条筝形的性质： ；（除定义外） 推理验证 根据数学探究的步骤，小明需要对自己的猜想进行推理验证： 任务二： 如图，筝形中，，求证：． 性质应用 任务三： 如图，筝形中， ，，求筝形的面积． 任务四： 如图，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为__________． 拓展推广 注意：以下两个任务的难度分别由易到难，分值分别为1分和2分，同学们可以根据自己的能力自主选择其中一道作答，多做的按高分值给分，不另外加分． 任务五： 如图，在筝形，若，求证： 任务六： 如图，四边形中，，，，点是的中点，，求的最大值． 20．【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$