精品解析：贵州省六校联盟2026届高三高考实用性考试数学试题

数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 已知，则“”是“方程”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（ ） A. 29是这20人年龄的一个上四分位数 B. 29是这20人年龄的一个下四分位数 C. 31是这20人年龄的一个中位数 D. 这20人年龄的众数是5 5. 长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有且仅有一个零点，则实数m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知在正三棱台中，的面积为，的面积为，该正三棱台的体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数和有相同的最小正周期 B. 函数和有相同的单调区间 C. 函数和有相同的最值 D. 函数和有相同的对称轴 10. 已知点是抛物线上的一个动点，点为抛物线的焦点，点到抛物线的准线的距离为，点是圆上的一个动点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若直线过点，且与圆相切，则直线的斜率为 C. 设线段的中点坐标为，则直线的斜率为 D. 过作圆的切线，切点为，则的最小值是2 11. 对任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“理想数”.则下列结论正确的是（ ） A. 十以内的质数理想数个数为2个 B. 若已知m为“理想数”，当，此时m的个数为2个 C. 若，，满足条件的正整数m的个数有2个 D. 若，满足条件的正整数m的个数有2个 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为等差数列，其首项，公差，且，，成等比数列，则_______ 13. 若，，则_______． 14. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一.对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“t-距离”，其中表示p，q中较大者.设是平面中一定点，，我们把平面上到点的“t-距离”为r的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r为半径的“t-圆”，则以原点O为圆心，以为半径的“t-圆”的面积为_______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设． （1）若，求C； （2）若，，求的面积. 16. 某县博物馆国庆期间统计连续5天进入该博物馆参观的游客人数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.3 3.1 4.3 4.6 5.7 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程； （2）国庆五天假期博物馆开放1号门、2号门和3号门供游客出入，游客从1号门、2号门和3号门进入博物馆的概率分别为，且出馆与进馆选择相同门的概率为，选择与进馆不同两门的概率各为．假设游客从1号门、2号门、3号门出入博物馆互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于10月2日进馆参观，设X为4人中从2号门出馆的人数，求X的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 相关系数． 17. 如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，，点N为线段AD上的点（包含端点）. （1）当点N为线段AD的中点时，求证：平面； （2）线段AD上是否存在点N，使得平面BFN和平面ADE的夹角为． 18. 已知函数． （1）若，当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极大值存在最小值，求实数a的取值范围. 19. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点（其中点A在点B的上方），当直线l平行于y轴时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为3?若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念、复数的乘法及加法运算、求复数的模、直接计算即可． 【详解】， 故选：C． 2. 已知，则“”是“方程”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式及方程的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式解集为，而， 当且仅当，即时取等号，因此方程的解集为， 又是的真子集，所以“”是“方程”的充分不必要条件. 故选：B 3. 已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，然后由投影向量计算公式可得答案. 【详解】计算可得， 由，两边平方化简，得， 则在上的投影向量为. 故选：A. 4. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（ ） A. 29是这20人年龄的一个上四分位数 B. 29是这20人年龄的一个下四分位数 C. 31是这20人年龄的一个中位数 D. 这20人年龄的众数是5 【答案】B 【解析】 【分析】对于AB，由上四分位数，下四分位数概念及计算方式，题目数据可判断选项正误；对于C，由中位数计算方式及题目数据可判断选项正误；对于D，由众数概念可判断选项正误. 【详解】对于A，上四分位数，即分位数，因，则上四分位数为从小到大排列第15个数和第16个数的平均数，为，故A错误； 对于B，下四分位数，即分位数，因，则下四分位数为从小到大排列第5个数和第6个数的平均数，为，故B正确； 对于C，这20人年龄的中位数是，故C错误； 对于D，这20人年龄的众数是32，故D错误. 故选：B 5. 长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，找出，再根据得到，即可求解． 【详解】设，，， 则有， 即，由题意可得， 即，即， 故选：A． 6. 若函数有且仅有一个零点，则实数m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数为上的偶函数，由题意推得，求得或3，分别代入原解析式，作图验证即得. 【详解】函数的定义域为， 由可得函数为偶函数， 函数图象关于轴对称. 若不是函数的零点，则该函数的零点必成对出现，不合题意， 故，即，解得或 3. ① 当时，由，可得， 作出函数与函数的图象如图1所示： 此时，函数与函数的图象有3个交点，不合题意； ② 当时，由，可得， 作出函数与函数的图象如图2所示： 此时，函数与函数的图象有1个交点，符合题意. 综上所述，。 故选：C. 7. 已知在正三棱台中，的面积为，的面积为，该正三棱台的体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得正三棱台上下底面边长及高，设为该正三棱台的外接球球心， 由题可得，据此可得t及R，可得表面积. 【详解】， ，设正三棱台的高为， 则正三棱台的体积为， 如图，设，分别是的中心，设分别是的中点， 则三点共线，三点共线， ，， 设为该正三棱台的外接球球心，半径为，则在直线上， 设 若点在的同侧，则， 所以 ，则， 故. 若点在的异侧，则 （矛盾）， 故选：D. 8. 已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布性质可得，据此可判断正确选项. 【详解】由于函数为下图中阴影部分面积， 则， 故函数关于点对称， 故选：B. 【点睛】 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数和有相同的最小正周期 B. 函数和有相同的单调区间 C. 函数和有相同的最值 D. 函数和有相同的对称轴 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，注意到，据此可判断选项正误；对于CD，，据此可判断选项正误. 【详解】对于AB，， .其最小正周期都为，没有单调递减区间，故A正确，B错误； 对于CD，， ，两者的值域相同，均为，则两函数最值相同；，由，得对称轴，，而，由，得对称轴，，两者的对称轴不同.故C正确，D错误. 故选：AC. 10. 已知点是抛物线上的一个动点，点为抛物线的焦点，点到抛物线的准线的距离为，点是圆上的一个动点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若直线过点，且与圆相切，则直线的斜率为 C. 设线段的中点坐标为，则直线的斜率为 D. 过作圆的切线，切点为，则的最小值是2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义以及数形结合计算可判断A；利用直线与圆相切列式计算可判断B；利用点差法计算可判断C；利用两点间距离公式可得，令，利用导数求解可得，由可判断D. 【详解】如图： 由题意知抛物线的焦点为，准线为， 圆，化为标准方程为圆， 则圆心为，半径. 对于A，设点到抛物线的准线的距离为，由抛物线定义可知： ，三点共线时等号成立， 所以，的最小值为，故选项A正确； 对于B，易知点在圆外，过点有两条直线与圆相切，且直线的斜率都存在， 设直线的方程为：，即，则，解得或，故B错误； 对于C，设，则， 两式作差，得， 又线段的中点坐标为，所以， 因此直线l的斜率为，故选项C正确； 对于D，设，则， 令，则， 因为故当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当时，取到极小值，也是最小值为，即 ， 因为是圆的两条切线，切点为，， 所以， 所以，故选项D正确， 故选：ACD. 11. 对任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“理想数”.则下列结论正确的是（ ） A. 十以内的质数理想数个数为2个 B. 若已知m为“理想数”，当，此时m的个数为2个 C. 若，，满足条件的正整数m的个数有2个 D. 若，满足条件的正整数m的个数有2个 【答案】AB 【解析】 【分析】由“理想数”逐个判断可得A正确；设，分为奇偶讨论可得B，由“理想数”再由m和n为奇数和偶数可分别判断CD. 【详解】对于A，以内的质数为， 因为，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”；故A正确； 对于B，由题：显然偶数“理想数”必为形如的整数， 又，故． 下面探究奇数“理想数”， 若不妨设奇数，若m为“理想数”，则，即. ①当，且时，； ②当时，， . 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解，区间存在唯一的奇数“理想数“. 又，． 综上：或21，所以B正确； 对于C，由题，m和n必然都为奇数，设当时，因为，所以，满足条件； 当时，因为，为奇数，所以 又因为为奇数，，所以存在，使得为奇数， 所以，而，所以，即，无解，所以，故C错误； 对于D，由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即. ，且， 或或或解得或或 或或，即的值为16或20或30，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为等差数列，其首项，公差，且，，成等比数列，则_______ 【答案】128 【解析】 【分析】由题意及，，成等比数列可得，然后可得答案. 【详解】由题意，其首项，公差，成等比，得， 则,解得或. 因为，所以，，则. 故答案为：128. 13. 若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，然后由二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，因为，， 所以，， 计算可得，， 所以， 则.   故答案为：. 14. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一.对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“t-距离”，其中表示p，q中较大者.设是平面中一定点，，我们把平面上到点的“t-距离”为r的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r为半径的“t-圆”，则以原点O为圆心，以为半径的“t-圆”的面积为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据定义求出的范围，即可画出图形. 【详解】设是以原点为圆心，以为半径的圆上任一点，则． 若，则；若，则有， 由此可知，以原点为圆心，以为半径的“圆”的图形如图所示： 则“圆”的面积为. 故答案为： 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设． （1）若，求C； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用和角公式与辅助角公式计算可得，结合三角形内角的范围即可求得角； （2）利用余弦定理和题设条件，求出的值，再由三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得（*）， 因，则，于是， 代入（*），可得， 即， 整理得：， 即，. 因为， 所以，故. 【小问2详解】 因，则易得， 由余弦定理得， 即， 即， 故得. 因为，，则， 因此的面积为. 16. 某县博物馆国庆期间统计连续5天进入该博物馆参观的游客人数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.3 3.1 4.3 4.6 5.7 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程； （2）国庆五天假期博物馆开放1号门、2号门和3号门供游客出入，游客从1号门、2号门和3号门进入博物馆的概率分别为，且出馆与进馆选择相同门的概率为，选择与进馆不同两门的概率各为．假设游客从1号门、2号门、3号门出入博物馆互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于10月2日进馆参观，设X为4人中从2号门出馆的人数，求X的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 相关系数． 【答案】（1）说明见解析， （2）分布列见解析，，. 【解析】 【分析】（1）由参考公式结合题目数据可得相关系数及回归直线方程； （2）由全概率公式可得一人从2号门出馆的概率为，据此可得，及分布列，期望，方差. 【小问1详解】 依题意，， 而，，， 则. 因为时，线性相关程度高，所以与线性相关性很强， 可以用线性回归模型拟合. 因此，回归方程为. 【小问2详解】 记“甲从2号门出馆”为事件A，“甲从1号门进馆”为事件B， “甲从2号门进馆”为事件C，“甲从3号门进馆”为事件D. 由题意可得，，， ，. 由全概率公式得： . 同理乙、丙、丁从号门出馆的概率也为， 为人中从号门出馆的人数，则， ，， ，， ， 故X的分布列为： ，. 17. 如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，，点N为线段AD上的点（包含端点）. （1）当点N为线段AD的中点时，求证：平面； （2）线段AD上是否存在点N，使得平面BFN和平面ADE的夹角为． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理分别证明平面及平面即可； （2）先应用面面垂直性质定理得出平面，再建立空间直角坐标系求出平面及平面ADE的一个法向量，再应用二面角余弦值公式计算求参. 【小问1详解】 取的中点为，连接，， 因为点为线段的中点，且，所以. 因为，， 由，所以为等腰直角三角形， 所以，同理，， 故在等腰梯形中，. 由，所以. 又，而平面， 故平面. 又平面，所以. 因为，，平面， 故平面. 【小问2详解】 解：设正方形的中心为，分别取的中点为. 设点为线段的中点，由（1）知四点共面，且平面， 连接，平面，故. 又平面，故平面平面， 且平面平面. 由题意可知四边形为等腰梯形，故， 平面，故平面. 故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 因为，则. 又，故，设到底面的距离为， 四边形，为两个全等的等腰梯形，且，故. 又， 故则 . 设 设平面的一个法向量为， 则令， . 设平面的一个法向量为， 则令， . 故， 解得，即存在点，且是线段AD上靠近点A 的四等分点， 使得平面和平面的夹角为． 18. 已知函数． （1）若，当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极大值存在最小值，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得切线斜率及所过点，据此可得切线方程； （2）分，两种情况讨论单调性，可得，时存在极大值，然后利用导数知识研究极大值对应函数可得答案. 【小问1详解】 当时，函数， 求导得， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， i当时，因为，所以，由，得， 由，得，则函数在上递减，在上递增， 函数只有极小值，不合题意； ii当时，由，得或. ①若，即，由在上恒成立，得在上递增， 函数无极值，不合题意； ②若，即，由，得或. 由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为， 极小值为. 令，则， 由，得，由，得， 则函数在上递减，在上递增， 故在时取得最小值，且最小值为， 即函数的极大值存在最小值，符合题意； ③若，即，由，得或， 由，得， 则函数在上递增，在上递减， 因此函数的极大值为， 极小值为. 令，则恒成立， 则在上单调递增，此时函数的极大值无最小值，不合题意； 综上，当的极大值存在最小值时，实数的取值范围是. 19. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点（其中点A在点B的上方），当直线l平行于y轴时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为3?若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由题设，直线的斜率存在且不为0， 设，则斜率. 若，，联立，得， 所以，. 由，则，故B点处切线斜率为， 所以对应切线方程为. 令，故， 由，令，则，故， 所以， 所以，即，所以. （ⅱ）如图，连接，由（i）得，， 则又，所以轴，即四边形为平行四边形， 所以 ， 若四边形的面积为3，则， 整理得. 令且， 则. 令，则，故在上单调递增. 又，所以使， 在上，在上单调递减， 在上，在上单调递增， 而，，存在使得， 所以在上有两个零点，为和， 即在上有2个根， 所以，四边形的面积为3的直线有2条. 【解析】 【分析】（1）根据已知有点在抛物线上，代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设，，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，导数的几何意义求点处切线方程，且，进而得到、，易得，即可证； （ii）连接，由（i）得，则有四边形为平行四边形，再由且，结合已知及导数研究根的个数，即可得. 【小问1详解】 当直线轴时， 则点在抛物线上，故， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $