精品解析：山东省菏泽市东明县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中测试八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求，请把正确的序号涂在答题卡的相应位置） 1. 以下历届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形， 故此选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选∶C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、∵， ∴ 故C不符合题意； D、∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 3. 下列生活现象中，属于平移的是（ ）． A. 钟摆的摆动 B. 拉开抽屉 C. 足球在草地上滚动 D. 投影片的文字经投影转换到屏幕上 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的定义，对选项进行分析，排除错误答案． 【详解】A选项：为旋转，故A错误； C选项：滚动，故C错误； D选项：缩放，投影，故D错误． 只有B选项为平移． 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状大小和方向，注意平移是沿着一条直线方向移动，熟练运用平移的性质是解答本题的关键． 4. 满足－1<x≤2的数在数轴上表示为（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】-1＜x≤2表示不等式x＞-1与不等式x≤2的公共部分．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：由于x＞-1，所以表示-1的点应该是空心点，折线的方向应该是向右． 由于x≤2，所以表示2的点应该是实心点，折线的方向应该是向左． 所以数轴表示的解集为 故选B． 【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集，有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 5. 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， ∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 6. 如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 分腰长为和两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、， ∵ ∴不满足三角形的三边关系，不能围成三角形； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、， ∵，满足三角形的三边关系 ∴此时它的周长是． 故选：B． 7. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象过点 ，且 ， 即可确定不等式的解集 【详解】根据函数图象可知，不等式 的解集是：， 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键 8. 如图，将绕点O逆时针旋转，得到．若，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，由三角形内角和定理可求，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费850元，已知羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒，若该校购买了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，则下列不等式列式正确的是（ ） A. ≤850 B. C. ≤850 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出关于x的不等式即可． 【详解】根据题意：可得：≤850， 故选C． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，根据题意，找到不等量关系，列出不等式，是解题的关键． 10. 如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由可证明是等边三角形，故可判定①；证明 ，根据全等三角形的性质得到，由多边形内角和定理求出，由直角三角形的性质即可得出，故可判定②； 由面积关系可求出四边形的面积，故可判定③；证明，，可得到，故可判断④． 【详解】解：, 是等边三角形， 故结论①正确； , , ,, , , , 故结论②正确； 是等边三角形，， 垂直平分, , 故结论③错误； 如图，延长到，使，连接， , , , 在和中, , ,, , , 在和中, , , , 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角的直角三角形，三角形的面积等知识点．理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，请把结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步_____． 【答案】这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】假设命题的结论不成立，推出矛盾即可． 【详解】解：用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设这个三角形是等腰三角形． 故答案为：这个三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 12. 命题：“若，，则”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题，进行求解即可． 【详解】解：“若，，则”的逆命题为：“若，则，”，这是一个假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题主要考查了判定命题的真假和命题的逆命题，解题的关键在于能够熟练掌握逆命题的定义． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝9，AB＝15，则DE＝_____． 【答案】4.5． 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据三角形的面积公式求出DE． 【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15， 由勾股定理，得BC═12， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ×AC×CD+ ×AB×DE＝×AC×BC， 即×9×DE+ ×15×DE＝×9×12， 解得：DE＝4.5． 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 14. 三角形ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+5，y0+3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，若A（﹣2，3），则A1的坐标为_____． 【答案】（3，6） 【解析】 【分析】根据点P平移前后的坐标，可得出坐标平移规律：横坐标加5，纵坐标加3，从而得到A₁的坐标． 【详解】解：∵三角形ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+5，y0+3）， ∴坐标平移规律是：横坐标加5，纵坐标加3， ∴将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，若A（﹣2，3），则A1的坐标为（﹣2+5，3+3），即（3，6）． 故答案为：（3，6）． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，平移规律为：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减。掌握这一规律是解题的关键． 15. 如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、不等式组的整数解，得到关于m的不等式组是解答的关键．先求得已知不等式组的解集，进而得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可求解． 【详解】解：解不等式组，得， ∵已知不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式（组） （1）； （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 ， 移项得：， 合并得：， 解得：； 【小问2详解】 ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 17. 解不等式组 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 第1步 第2步 第3步 第4步 任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：， 【解析】 【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论； 任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可． 【详解】解：任务一：∵， ∴； ∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是； 故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，； 任务二：， ， ， ； 又， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变． 18. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．根据旋转的性质，推出是等腰三角形，进而求出的度数，利用即可求出的度数． 【详解】解：绕点B逆时针旋转，得到， ，，， ． ， ， ， ． 19. 如图，已知中，，（保留作图痕迹） （1）尺规作图：作 的角平分线，交与点； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）图见详解 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用尺规作出 的角平分线即可． （2）过点作于点．利用角平分线的性质定理解决问题即可． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求． 【小问2详解】 解：过点作于点． ， ， 平分 ， ， ∵， ∴ 【点睛】本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点O旋转 得到，画出； （2）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点P旋转可得到，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 画图如下： （2） 画图如下： ． （3）（2，－4） 【解析】 【分析】本题考查了坐标的平移，中心对称，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键． （1）根据中心对称规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，借助中点坐标公式解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，其中心对称坐标分别为 【小问2详解】 解：根据题意，得，且平移，使点A的对应点的坐标为，得到平移规律是向右平移4个单位，向下平移8个单位，于是得到． 【小问3详解】 解：根据旋转作图，得，， 根据中点坐标公式，得， 同理可得，，它们的中点的坐标也为． ． 21. 根据下列信息，探索完成任务： 信息一 穆李村位于山东省菏泽市牡丹区马岭岗镇内北境，北依万福河，南靠外贸路，西接大杜庄，东连解元集，距菏泽城10公里，菏泽穆李村素有“中国苹果第一村”之称，这里所产的穆李苹果有“天果”之称，果大核小，酸甜可口，营养丰富，具有润肺、消食、健胃、止泻等功效，是菏泽传统的出口商品．某水果商为了解穆李村苹果的市场销售情况，购进特级苹果和一般苹果两种进行试销． 信息二 在试销中，水果商将两种苹果搭配销售，若购买特级苹果4千克，一般苹果3千克，共需19.2元；若购买特级苹果3千克，一般苹果4千克，共需17.2元． 信息三 杨杰用不超过260元购买这两种共100千克． 解决问题 任务一 求特级苹果和一般苹果每千克各多少元？ 任务二 杨杰要求特级苹果尽量多，他最多能购买特级苹果多少千克？ 【答案】（1）3.6、1.6（2）50 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设特级苹果每千克 元，一般苹果每千克 元，购买特级苹果4千克，一般苹果3千克，共需19.2元,购买特级苹果3千克，一般苹果4千克，共需17.2元，再建立方程组即可； （2）设最多能购买特级苹果 千克，根据顾客用不超过260元购买这两种苹果共100千克，再建立不等式即可． 【详解】解：（1）设特级苹果每千克 元，一般苹果每千克 元，则 ， 解得：， 答：特级苹果千克3.6元，一般苹果每千克1.6元； （2）设最多能购买特级苹果 千克，则 ， ， 解得：， 答：最多能购买特级苹果50千克． 22. 如图，，是的高，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的高． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由“”可证，可得，再根据等腰三角形的定义即可求解； （）由直角三角形的性质可求的长，最后由勾股定理可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． （1）例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； （2）类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； （3）拓展：如图3，，，，试探索线段 ，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】（1）， （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， 【小问2详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中测试八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求，请把正确的序号涂在答题卡的相应位置） 1. 以下历届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列生活现象中，属于平移的是（ ）． A. 钟摆的摆动 B. 拉开抽屉 C. 足球在草地上滚动 D. 投影片的文字经投影转换到屏幕上 4. 满足－1<x≤2的数在数轴上表示为（　　）． A. B. C. D. 5. 如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 6. 如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点O逆时针旋转，得到．若，则的度数是（） A. B. C. D. 9. 某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费850元，已知羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒，若该校购买了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，则下列不等式列式正确的是（ ） A. ≤850 B. C. ≤850 D. 10. 如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，请把结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步_____． 12. 命题：“若，，则”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝9，AB＝15，则DE＝_____． 14. 三角形ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+5，y0+3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，若A（﹣2，3），则A1的坐标为_____． 15. 如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 __________． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式（组） （1）； （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 17. 解不等式组 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 第1步 第2步 第3步 第4步 任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 18. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．若，求的度数． 19. 如图，已知中，，（保留作图痕迹） （1）尺规作图：作的角平分线，交与点； （2）若，，求的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点O旋转得到，画出； （2）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点P旋转可得到，请直接写出点P的坐标． 21. 根据下列信息，探索完成任务： 信息一 穆李村位于山东省菏泽市牡丹区马岭岗镇内北境，北依万福河，南靠外贸路，西接大杜庄，东连解元集，距菏泽城10公里，菏泽穆李村素有“中国苹果第一村”之称，这里所产的穆李苹果有“天果”之称，果大核小，酸甜可口，营养丰富，具有润肺、消食、健胃、止泻等功效，是菏泽传统的出口商品．某水果商为了解穆李村苹果的市场销售情况，购进特级苹果和一般苹果两种进行试销． 信息二 在试销中，水果商将两种苹果搭配销售，若购买特级苹果4千克，一般苹果3千克，共需19.2元；若购买特级苹果3千克，一般苹果4千克，共需17.2元． 信息三 杨杰用不超过260元购买这两种共100千克． 解决问题 任务一 求特级苹果和一般苹果每千克各多少元？ 任务二 杨杰要求特级苹果尽量多，他最多能购买特级苹果多少千克？ 22. 如图，，是的高，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的高． 23. 我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． （1）例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； （2）类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； （3）拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $