精品解析：福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第二十次质量检测数学试题

福州三中2024-2025学年第二学期高三第二十次质量检测 数学试卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】 因为集合， 则． 故选：C． 2. 已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义分析：互斥事件：满足，即两事件不能同时发生，对立事件：满足且（样本空间），不仅互斥，还“非此即彼”。 【详解】充分性：若是对立事件，必然满足互斥，即“对立事件”可推出“互斥事件”，充分条件成立， 必要性：互斥事件未必是对立事件，即“互斥事件”推不出“对立事件”，必要条件不成立， 综上，“ A, B 为对立事件”是“ A, B 为互斥事件”的充分不必要条件. 故选： A. 3. 函数取得最小值时，（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】整理可得，结合正弦函数性质分析求解即可. 【详解】因为，则， 可得：，当且仅当时，等号成立， 所以函数取得最小值时，. 故选：C. 4. 等差数列的公差为2，且，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式，即可求解. 【详解】由条件可知，等差数列的公差， 则. 故选：C 5. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，为奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求出即得解. 【详解】解：由已知，函数与函数互为反函数，则． 由题设，当时，，则． 因为为奇函数，所以. 故选：C． 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角的正切公式列式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，即， 则，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以当时，取得最小值9． 故选：C 7. 已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据模长关系可得，设，分类讨论点与直线的位置关系，结合圆的性质即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为， 即，则， 可得，且，所以， 设， 则， 由题意可知：， 若位于直线两侧，且，可知四点共圆， 且圆心为，半径，其中点优弧上，不包括点， 则的最大值即为圆的直径； 若位于直线同侧，且，可知四点共圆， 且圆心为，半径，其中点优弧上，不包括点，此时； 综上所述： 的最大值为2 故选：A. 8. 已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆，以椭圆右顶点为圆心，以长轴长为直径作圆，过两圆外的动点作直线与圆切于点，作直线与圆切于点，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程得到圆，方程，作图，由切线得到直角三角形，由切线长的倍数关系以及半径的倍数关系得到与的关系，从而建立方程，整理后得到点的轨迹方程.又由过点作圆的切线得到点在圆，外面，从而求得实数的取值范围． 【详解】由题意得圆，圆，设圆，的圆心分别为，．直线与圆切于点，作直线与圆切于点， 在和中， ，，则得，，整理得， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆落在圆，外面的部分． 利用得， 故实数的取值范围为． 故选：A． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知离散型随机变量X分布列如下，则下列选项中正确的是（ ） X 0 1 2 P 0.36 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由分布列的性质可得，再由期望的求法及方差与期望的关系判断各项的正误. 【详解】A，由可得，正确； B，因为，正确； C，因为，错误； D，因为，正确． 故选：ABD 10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（     ） A. B. C. D. 与之间的距离为4 【答案】BC 【解析】 【分析】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线，代入，由韦达定理得，进而求得，可判断B；先求点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断A；根据抛物线的定义可知，可判断C；由于与平行，所以与之间的距离，可判断D. 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，设直线， 代入得，则，所以， 所以，故B正确； 点与均在直线上，则点的坐标为，由得， 则点的坐标为，则，故A错误； 由抛物线的定义可知，，故C正确； 与平行，与之间的距离，故D错误. 故选：BC. 11. 已知正方体的棱长为，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（ ） A. 当时，则直线与所成角的正切值范围是 B. 当，时，则的最小值为 C. 当时，线段AP的长度最小值为 D. 当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，当时，点在线段上动，即为直线与所成角；对于选项B，当，时，点在线段上动，故将三角形与四边形沿展开到同一个平面上即可求解；对于选项C，当时，点在内部及边界上动，线段AP的长度最小值即点A到平面的距离，由等体积法即可求解；对于选项D，当时，记点的轨迹为平面，故平面截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面积. 【详解】对A，当时，点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，设， 则在中，， ，故A正确； 对于B，当，时，点在线段上动， 故将三角形与四边形沿展开到同一个平面上， 由图可知，线段长度即为的最小值， 在中，，故B错误； 对于C，当时，点在内部及边界上动， 则线段AP的长度最小值即点A到平面的距离，由得线段AP的长度最小值为，故C正确； 对于D，当时，记点的轨迹为平面， 故平面截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面积，如图所示： 当点分别为对应棱的中点时，连结， 可得平面平行于平面，且为正六边形，此时该截面是最大截面， 由于正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为，则面积为，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 12. 已知复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解. 【详解】由复数是纯虚数，可得，解得． 故答案为：. 13. 在的展开式中，的项的系数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】六个因式中五个提供，剩余一个因式提供常数即可得出含的项. 【详解】因为六个因式中五个提供，剩余一个因式提供常数，可得出含的项， 合并同类项即可得出展开式中项的系数为． 故答案为：． 14. 已知曲线在A，B两点处的切线垂直于y轴．若直线AB的斜率为，则实数c的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，求得，再由平均变化率的计算公式，化简得到，得到，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得， 令，可得，设, 则，可得， 故 ， 化简得：， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的角的对边分别为分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知． （1）求角B； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用面积公式结合已知条件可得，再利用余弦定理可得， 再应用面积公式可得，从而可求得角； （2）利用正弦定理结合已知条件可得，从而可求解，再利用余弦定理即可求得，即可求得周长. 【小问1详解】 由题意得， 则，即， 由余弦定理得，整理得， 又因为，所以， 可得，因为，所以 【小问2详解】 由可得， 由正弦定理得：，则． 则，故， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的周长为． 16. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处与轴相切，求的值； （2）若3是函数的极小值点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案. （2）对求导，分，和，讨论的单调性，结合极小值的定义即可得出答案. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 因为曲线在点处与轴相切， 所以，所以， 则，解得：. 【小问2详解】 因为的定义域为， 所以， 当时，不是的解，不合题意； 若，则， 令，可得：或， 令，可得：， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取的极小值，所以； 若，则， 令，可得：，令，可得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取的极小值，所以，不符合题意； 若，则在上单调递增，无极小值， 综上：. 17. 下图是某校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图，评分在区间，上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，假设每名学生复评结果相互独立． （1）若初评中甲获得C等级，乙、丙获得D等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为C等级人数为，求的分布列和数学期望； （2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是B等级的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）先判断的所有可能取值为0，1，2，3，然后利用独立和互斥事件概率公式，结合独立重复试验概率公式得到分布列，然后根据期望定义计算期望值；（2）利用条件概率公式，全概率公式和贝叶斯公式计算. 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，3， ， ∴的分布列如下： 0 1 2 3 P . 【小问2详解】 记“该学生复评晋级”，“该学生初评是B”，“该学生初评是C”，“该学生初评是D”， 则，且两两互斥， 根据题意得：， ， 由全概率公式可得： 所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求的长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）依据平面得，结合，利用线面垂直判定定理，证得结果； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设，依据异面直线所成角公式求解后结合长度得； （ⅱ）设求出平面法向量，计算线面角正弦值表达式，结合参数范围求取值范围． 【小问1详解】 因为平面，平面PAD， 所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． 【小问2详解】 （i）由（1）可知平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直， 故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意可得， 所以， 设， 则， 因为异面直线AF与PB所成角为60°， 所以， 解得，所以． （ⅱ）设， 则， ， 设平面AEF的法向量为，则，即， 取，得， 因为，所以，即，解得， 所似所以 因为M在线段PB上，所以， 则， 设平面MAD的法向量，则即 取，得， 设EG与平面MAD所成角为， 则， 由于，所以，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为 19. 已知直线，直线，动点M到x轴的距离小于它到y轴的距离，过M分别作和的垂线，垂足分别为D，E，O为坐标原点，若四边形的面积为，设动点M的轨迹为曲线C．根据上述运算回答下面问题： （1）求C的方程； （2）若C交x轴正半轴于点A，C上一点B和直线上一点Q满足是以为底的等腰直角三角形． （ⅰ）求直线的斜率： （ⅱ）若B在第一象限，记点B关于的对称点为K，点B关于原点的对称点为，若动点M不与，B重合，设动直线与直线相交于点P，动直线与直线相交于点，求证：成等比数列． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，得到四边形为矩形，求得和，进而得到，即可求解； （2）（ⅰ）解法一：设，求得，①当B在第一象限时，作轴，求得，求得直线BQ的斜率；②当B在第二象限时，作轴，求得，得到直线BQ的斜率③当B在第三象限时，由对称性，得到直线的斜率；④当B在第四象限时，由对称性，得到直线的斜率，进求得的斜率； 解法二：设直线AB的方程为，则直线的方程为，联立方程组，求得，根据，求得的值，进而求得的斜率； 解法三：设，根据，求得，结合，求得，所以，分类讨论，进而求得的斜率； （ⅱ）证明：设，求得直线OK的方程为，分和，以及且，三种情况讨论，求得的坐标，化简得到，结合P，K，，O四点共线，得到，即可得证. 【小问1详解】 解：如图所示1，设， 因为M到x轴的距离小于它到y轴的距离，所以，故， 又因为的斜率为1，的斜率为，故，四边形为矩形， 因为到直线的距离，故，同理， 所以四边形的面积为，所以， 所以，所以C的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）解法一：设，令，代入，得， ①当B在第一象限时，如图2所示，由于是以为底的等腰直角三角形， 易知Q在x轴上方，， 作轴，垂足为S，则，故，故， 又因为则，即， 从而，故，直线的斜率． ②当B在第二象限时，如图3所示，由于是以为底的等腰直角三角形， 易知Q在x轴下方，， 作轴，垂足为S，则，故，故， 又，则，即， 从而，故，直线的斜率； ③当B在第三象限时，由对称性知，直线的斜率3； ④当B在第四象限时，由对称性知，直线的斜率； 综上可知，直线的斜率为或． 解法二：令，代入，可得， 易知直线AB的斜率存在且不为零，故可设直线AB的方程为， 则直线的方程为，则， 联立方程组，整理得，故， 所以， 由，得， 即，故，所以或， 当时，，所以， 直线斜率 当时，，所以， 直线的斜率 当时，，所以，直线的斜率 当时，，所以， 直线的斜率 综上可知，直线的斜率为或． 解法三：令，代入，可得， 设，则， 由，可得，故， 由，可得，所以， 所以， 即，易知，所以，即，所以， 当时，，所以， 直线的斜率 当时，，所以， 直线的斜率： 当时，，所以， 直线的斜率； 当时，，所以， 直线的斜率， 综上可知，直线的斜率为或． （ⅱ）证明：设，依题意可得，所以直线OK的方程为， ①若，则直线MB的方程为，直线的方程为， 此时点，所以， 因为P，K，，O四点共线，所以，所以成等比数列； ②若，则直线的方程为，直线MB的方程为， 此时点，所以， 因为P，K，，O四点共线，所以，所以成等比数列； ③若且，， 直线MB的方程为， 联立方程组，解得， 同理可得直线的方程为， 联立方程组，解得 因为在双曲线上，所以， 所以， 所以， 因为P，K，，O四点共线，所以， 所以成等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2024-2025学年第二学期高三第二十次质量检测 数学试卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知事件A，B为随机事件，则“A，B为对立事件”是“A，B为互斥事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数取得最小值时，（ ） A. B. C. 0 D. 4. 等差数列的公差为2，且，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 5. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，为奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 7. 已知向量都是单位向量，且向量满足向量的夹角为，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆，以椭圆右顶点为圆心，以长轴长为直径作圆，过两圆外的动点作直线与圆切于点，作直线与圆切于点，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项中正确的是（ ） X 0 1 2 P 0.36 A. B. C. D. 10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（     ） A. B. C. D. 与之间的距离为4 11. 已知正方体的棱长为，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（ ） A. 当时，则直线与所成角的正切值范围是 B. 当，时，则最小值为 C. 当时，线段AP的长度最小值为 D. 当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 12. 已知复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则_____． 13. 在的展开式中，的项的系数为_____． 14. 已知曲线在A，B两点处的切线垂直于y轴．若直线AB的斜率为，则实数c的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的角的对边分别为分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知． （1）求角B； （2）若，求的周长． 16. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处与轴相切，求的值； （2）若3是函数的极小值点，求的值. 17. 下图是某校高三学生“运动与健康”评价结果频率分布直方图，评分在区间，上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，假设每名学生复评结果相互独立． （1）若初评中甲获得C等级，乙、丙获得D等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为C等级人数为，求的分布列和数学期望； （2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是B等级的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知直线，直线，动点M到x轴的距离小于它到y轴的距离，过M分别作和的垂线，垂足分别为D，E，O为坐标原点，若四边形的面积为，设动点M的轨迹为曲线C．根据上述运算回答下面问题： （1）求C的方程； （2）若C交x轴正半轴于点A，C上一点B和直线上一点Q满足是以为底的等腰直角三角形． （ⅰ）求直线的斜率： （ⅱ）若B在第一象限，记点B关于对称点为K，点B关于原点的对称点为，若动点M不与，B重合，设动直线与直线相交于点P，动直线与直线相交于点，求证：成等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $