精品解析：河南省南阳市新野县2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

新野县2025春九年级期中质量评估试题 数学 注意事项： 1．共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值， 根据绝对值的定义直接解答，即一个数的绝对值就是其在数轴上对应的点到原点的距离． 【详解】解：． 故选：A． 2. 据网络平台数据显示，截至2025年3月19日，动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）突破151亿．数据“151亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：151亿； 故选C． 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则．根据同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、 ，计算正确，故A符合题意； B、不能合并，原计算错误，故B不符合题意； C、，原计算错误，故C不符合题意； D、，原计算错误，故D不符合题意． 故选：A． 5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射后与原光线平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行性质的性质，平角的定义，求出，平行线的性质得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵光线经过平面镜反射后与原光线平行， ∴； 故选C． 6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，求出不等式的解集． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸．问竿的长度是多少？（1丈尺，1尺寸）设竿的长度为尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质的应用， 根据同一时刻物体高度与影长成比例建立方程即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：B． 8. “河南博物馆”“嵩山少林寺”“郑州商代遗址”和“二七纪念塔”是郑州市内具代表性的四个历史文化景点．若小力从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“河南博物馆”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到这两个景点中有“河南博物馆”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设用A、B、C、D分别表示“河南博物馆”“嵩山少林寺”“郑州商代遗址”和“二七纪念塔”，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中这两个景点中有“河南博物馆”的结果数有6种， ∴这两个景点中有“河南博物馆”的概率为， 故选：D． 9. 如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，求得半径，再由垂径定理，可得，可知与等底等高，进而把阴影部分面积转化为扇形的面积，即可得出答案． 【详解】解：和都对着，， ， ， ， ， ， 是的直径，弦于点， ，， 与等底等高，即，， ， ， 故选：D． 10. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动．过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为．其中关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点可得：当时，则，结合图象可得：，当时，重合，当时，重合，可得，如图，当时，重合，记的交点为，则，证明，此时，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由点可得：当时，则， 结合图象可得：， 当时，重合，当时，重合， ∴，而， ∴， 如图，当时，重合，记的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴，， 此时， ∴，， ∴，即， 故选C 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质，理解函数图象的含义是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个大于1且小于2的无理数：___． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】大于1且小于2的无理数可以是等， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 一元一次不等式组的整数解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先利用解一元一次不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解为， ∴不等式组的整数解为， 故答案为：． 13. 某农科所试验田种有万株水稻．为了考查水稻稻穗长度的情况，有关人员于同一天从中随机抽取了株稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），数据整理如下： 稻穗长度 稻穗株数 根据以上数据，估计此试验田的万株水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为_____万株． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体，利用万株水稻乘以穗长在范围内的所占比，即可解题． 【详解】解：由题知，此试验田的2万株水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为（万株）， 故答案为：． 14. 如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据已知条件和平面直角坐标，求出的长度；再根据勾股定理求出的长度；最后根据等腰三角形两腰相等求出的长度．则计算出的长度，即可表示出点D的坐标． 【详解】解：∵A和B的坐标分别是和， ∴平行于x轴，， ∵等腰直角三角板， ∴， ∴， ∴， ，在直角三角形中，， 又∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 则， ∵点D在x轴负半轴上， ∴点D的坐标是， 故答案为：． 15. 如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为_____，最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，点到直线的距离，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．在上取一点，使，连接．证明，则．由点为定点，为线段上的一个动点，∴当时，有最小值，利用菱形性质知，则，即可得的最小值为；当点P运动到点B时，最大，即有最大值，先证明Q，C，D三点共线，过点B作．分别求出，，利用勾股定理求出，即可得的最大值． 【详解】解：如图1，在上取一点，使，连接． ∵四边形是菱形，，边长为， ∴，，，， ∴，，， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 由点为定点，为线段上的一个动点， ∴当时，有最小值， 此时， ∵， ∴， ∴最小值为， ∴的最小值为； 如图2，当点P运动到点B时，最大，即有最大值， ∵， ∴， ∴， 此时Q，C，D三点共线，过点B作． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂，立方根，绝对值，还考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用负整数指数幂，立方根，绝对值化简，再进行加减即可； （2）利用分式的混合运算的步骤进行化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 在某中学的科技创新大赛中，每位参赛者需要完成五轮比赛．评委对甲、乙、丙三位选手的表现进行了评分（单位：分）（满分10分），并得出了以下信息： 信息一：甲、丙两位选手的得分折线统计图． 信息二：选手乙五轮比赛的部分成绩：9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下． 选手 甲 乙 丙 平均数 9.1 9.1 中位数 9.0 9.1 根据以上信息，解答下列问题． （1）表中，_____，_____． （2）从甲、丙两位选手的得分折线统计图中可知，选手_____（填“甲”或“丙”）发挥的稳定性更好． （3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手？请说明理由． 【答案】（1）9.2；8.9 （2）甲 （3）甲，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数的计算以及数据稳定性的分析，解题的关键是掌握平均数和中位数的计算方法，并能根据数据特征分析稳定性． （1）根据平均数公式计算丙的平均数n，根据中位数定义确定甲的中位数m； （2）根据折线图波动幅度判断稳定性； （3）综合比较三位选手的平均数，中位数和稳定性来确定推荐人选． 小问1详解】 解：甲选手的得分从小到大排列为8.7，8.8， 9.2， 9.3， 9.5， ∴甲的中位数， 丙选手的得分分别为8.3，9.1，9.3，8.4，9.4， ∴丙的平均数， 故答案为：9.2；8.9； 【小问2详解】 解：从折线图看，甲选手成绩波动幅度比丙选手小，甲发挥的稳定性更好， 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：应该推荐甲，理由如下： 甲的平均数约为9.1，中位数是9.2；乙的平均数是9.1，中位数是9.0；丙的平均数是8.9，中位数是9.1，且甲的成绩波动小，发挥更稳定．综合来看，甲选手的平均成绩较高且发挥稳定， 所以推荐甲选手参加市级比赛． 18. 某学校组织棋类竞赛，准备购买五子棋和象棋．已知五子棋比象棋单价少8元，购买副五子棋与副象棋所需要的费用为元． （1）两种棋的单价分别是多少？ （2）该学校打算购买五子棋和象棋共副，根据学生的报名情况，购买五子棋的数量不超过象棋数量的两倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1）五子棋的单价为元，象棋的单价为元 （2）当购买五子棋副，象棋副时费用最低，最低费用为元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设五子棋的单价为元，象棋的单价为元，根据“五子棋比象棋的单价少8元”和“购买副五子棋与副象棋所需要的费用为元”列出方程组求解即可； （2）设购买五子棋副，则购买象棋副，总费用为元，根据购买五子棋的数量不超过象棋数量的两倍，列出不等式，求出的取值范围；再列出关于的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设五子棋的单价为元，象棋的单价为元． 由题意，得， 解得． 答：五子棋的单价为元，象棋的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买五子棋副，则购买象棋副，总费用为元． 由题意，可得． ∵购买五子棋的数量不超过象棋数量的两倍， ∴， 解得． ∵， ∴随的值增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时． 答：当购买五子棋副，象棋副时费用最低，最低费用为元． 19. 嫦娥五号搭载长征五号遥五运载火箭发射升空，为我国探月工程中“绕、落、回”三步战略画上完美句号．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°（所有结果取小数点后两位）． （1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离； （2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？ （参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin45.54°≈0.71，cos45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02） 【答案】（1）雷达站到发射处的水平距离为4.38km （2）这枚火箭从A到B的平均速度为0.39km/s 【解析】 【分析】（1）在Rt△ARL中，利用cos43°=可求出答案； （2）求出AL、BL、AB的长，即可求出移动的速度 【小问1详解】 解：在Rt△ARL中， RL=AR•cos43°≈4.38（km）； 小问2详解】 在Rt△ARL中，AL=AR•sin43°≈4.08（km）， 在Rt△BRL中，BL=RL•tan45.54°≈4.468（km）， ∴AB=BL-AL=0.388≈0.39（km）， ∴速度为0.39km/s， 答：雷达站到发射处的水平距离为4.38km，这枚火箭从A到B的平均速度为0.39km/s． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数和仰角、俯角的意义是解决问题的关键． 20. 如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点． （1）求证：平分． （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线性质，得，可得，得．根据，得，即得平分． （2）连接．求出．根据∽，得，得，即得的半径为． 【小问1详解】 解：（1）证明：如图，连接OC． ∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 如图，连接． ∵，，， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵，， ∴∽， ∴， 即， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆切线性质，等腰三角形性质，角平分线定义，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段向右平移1个单位长度，得到线段，此时点的对应点恰好落在反比例函数的图象上． （1）求该反比例函数表达式． （2）设是轴正半轴上的一点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）连接并延长，与（2）中所作的角平分线相交于点．求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平移的性质，求反比例函数解析式，角平分线的定义及其尺规作图，等角对等边等等，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据平移方式可得点C坐标，则可利用待定系数法求出对应的函数解析式； （2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （3）由平移可知，，且，则．再证明，得到，则． 【小问1详解】 解：∵将线段向右平移1个单位长度，得到线段，， ∴点C的坐标为． 把点代入中，得， ∴该反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，射线OQ即为所求． 【小问3详解】 证明：由平移可知，，且， ∴． ∵ON平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系． （1）当小球的飞行时间为时，小球的飞行高度是多少？ （2）若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． （3）在小球的飞行过程中，先后有两个时刻小球高度相同，这两个时刻的时间间隔为，求这两个时刻小球的飞行高度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由，则当时代入计算即可判断得解； （2）依据题意，由，可令，则，从而，进而可以判断得解； （3）的对称轴为直线．设其中一个时刻为，另一个时刻为．这两个时刻小球高度相同，结合二次函数对称性可得．又，求得，将代入，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入函数， 可得． 答：小球的飞行高度是； 【小问2详解】 解：令，即． 整理，得， 解得， ∴时，， ∴可被该设备清晰捕捉的时长为． 答：小球的可被该设备清晰捕捉的时长为； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线． 设其中一个时刻为，另一个时刻为． ∵这两个时刻小球高度相同， ∴． ∵， ∴联立方程组， 解得． 将代入， 得． 答：这两个时刻小球的飞行高度为． 23. 在中，，，是边上的一点，将沿折叠，得到，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当，落在直线上时，求证：． 【类比探究】 （2）如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．试探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，当，是边的中点时，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析 （2），探究见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，中位线的性质，三角函数，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）延长，交于点．由翻折得证明，结合．得出．结合，即可求证； （2）延长，交于点．同（1），知．证明，即可求解； （3）同（1）可知，，证明是的中位线，得出，得，．由（2）知，得出，，可知．设，则．由，求出，，得出．证明，求出．则可求出，结合，求出，即可求解． 【详解】解：（1）如图，延长，交于点． 由翻折得，， ∴垂直平分， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴． （2）如图，延长，交于点． 同（1），知． ∵， ∴， ∴． （3）同（1）可知，， ∵是边的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，． 由（2）知， ∴，， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， 解得或（舍去）， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新野县2025春九年级期中质量评估试题 数学 注意事项： 1．共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 5 2. 据网络平台数据显示，截至2025年3月19日，动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房（含预售）突破151亿．数据“151亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射后与原光线平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸．问竿的长度是多少？（1丈尺，1尺寸）设竿的长度为尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. “河南博物馆”“嵩山少林寺”“郑州商代遗址”和“二七纪念塔”是郑州市内具代表性的四个历史文化景点．若小力从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“河南博物馆”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动．过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为．其中关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个大于1且小于2的无理数：___． 12. 一元一次不等式组的整数解为_____． 13. 某农科所试验田种有万株水稻．为了考查水稻稻穗长度的情况，有关人员于同一天从中随机抽取了株稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），数据整理如下： 稻穗长度 稻穗株数 根据以上数据，估计此试验田的万株水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为_____万株． 14. 如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别是和，点在轴负半轴上．的平分线交轴于点，则点的坐标是_____． 15. 如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为_____，最大值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16 （1）计算：． （2）化简：． 17. 在某中学的科技创新大赛中，每位参赛者需要完成五轮比赛．评委对甲、乙、丙三位选手的表现进行了评分（单位：分）（满分10分），并得出了以下信息： 信息一：甲、丙两位选手的得分折线统计图． 信息二：选手乙五轮比赛的部分成绩：9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下． 选手 甲 乙 丙 平均数 91 9.1 中位数 9.0 9.1 根据以上信息，解答下列问题． （1）表中，_____，_____． （2）从甲、丙两位选手的得分折线统计图中可知，选手_____（填“甲”或“丙”）发挥的稳定性更好． （3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手？请说明理由． 18. 某学校组织棋类竞赛，准备购买五子棋和象棋．已知五子棋比象棋的单价少8元，购买副五子棋与副象棋所需要的费用为元． （1）两种棋的单价分别是多少？ （2）该学校打算购买五子棋和象棋共副，根据学生的报名情况，购买五子棋的数量不超过象棋数量的两倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 19. 嫦娥五号搭载长征五号遥五运载火箭发射升空，为我国探月工程中“绕、落、回”三步战略画上完美句号．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°（所有结果取小数点后两位）． （1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离； （2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？ （参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin45.54°≈0.71，cos45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02） 20. 如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点． （1）求证：平分． （2）若，求的半径． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段向右平移1个单位长度，得到线段，此时点的对应点恰好落在反比例函数的图象上． （1）求该反比例函数的表达式． （2）设是轴正半轴上的一点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）连接并延长，与（2）中所作的角平分线相交于点．求证：． 22. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系． （1）当小球的飞行时间为时，小球的飞行高度是多少？ （2）若小球的飞行高度不低于的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清晰捕捉的时长． （3）在小球的飞行过程中，先后有两个时刻小球高度相同，这两个时刻的时间间隔为，求这两个时刻小球的飞行高度． 23. 在中，，，是边上一点，将沿折叠，得到，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当，落在直线上时，求证：． 【类比探究】 （2）如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点．试探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，当，是边的中点时，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$