2025年九年级 数学几何模型研究大讲堂 专题十五 “中位线”模型

初中数学几何模型研究大讲堂 专题十五：中位线模型 PART 1——模型认知. PART 2——模型思路. 这是一种极其常考的模型，题型多样，在今后的中点四边形、“脚拉脚”模型问题上都要用到该模型，许多题如果构造中位线就会达到事半功倍的效果，比常规做法更简便，中位线是中考常考点，也是同学们的难点，难度浮动大. 常见辅助线作法：如下表： 已知 图示 结论（性质） “中位线”模型 已知两中线，可连接两端点产生中位线 “中位线”模型 延长或双延长构造中线即可产生中位线 PART 3——模型练习. 题型01 中位线的性质（重点） 已知 图示 结论（性质） 在△ABC中，AD为中线.（“中位线”模型） 1） ； 2） ； 3） . 解题方法：运用中位线的性质解题，常在基础题根据中位线根据线段长、角度、周长、面积考察，在选择压轴题以结论判断考察，选填中有可能结合网格考察，同时会出现于几何证明题与计算题中. 证明过程：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC. 证明1： 延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE=EC，DE=EF ∴ 四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴ CF∥BD，CF=BD ∴ 四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 又∵ DE=DF ∴ DE∥BC，且DE=BC.（结论1、2） ， ， ∴.（结论3） 证明2：延长DE到F，使EF=DE，连接FC. ∵ AE=CE，∠AED=∠CEF ∴ △ADE≌△CFE (SAS) ∴ AD=CF，∠ADE=∠F ∴ AD∥CF ∴ BD∥CF，BD=CF ∴ 四边形BCFD是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC ， 又∵ DE=DF， ∴ DE∥BC，且DE=BC.（结论1、2） ， ， ∴.（结论3） 1．（2023·重庆一中期末）如图，平行四边形ABCD的周长是32cm，△ABC的周长是26cm，E、F分别是边AB、BC的中点，则EF的长为（　　） A．8cm B．6cm C．5cm D．4cm 2．（2023·云南）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ）.    A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 3.（2024·宁夏）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A． ①④ B．②③ C．①③ D．②④ 4.（2023·浙江金华）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ． 题型02 利用辅助线解决问题（难点） 已知 图示 结论（性质） B、C是AD、AE的中点. 1）DE是AB的中位线 AD平分∠BAF且AD⊥BC，连接BF，E是BF的中点，连接DE 2）CF是DE的中位线 证明过程1：连接DE. ∵B、C是AD、AE的中点. ∴DE是AB的中位线.（结论1） 证明过程2：延长AF、BD交于点C. ∵AD平分∠BAF且AD⊥BC. ∴∠BAD=∠CAD且∠ADB=∠ADC=90°. ∴. ∴AB=AC. ∴BD=CD. ∵E是BF的中点， ∴CF是DE的中位线.（结论1） 5.（2023·山东青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（　　）    A． B． C．2 D． 6.（2023·辽宁鞍山）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 7.（2024·重庆西附定时）如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 8.（2024·重庆南岸校级模拟）如图，在中，平分是的中点，若，则 ． 题型03 梯形中位线（选讲） 已知 图示 结论（性质） 在梯形中，，点E，点F分别为，的中点. 1） ， 解题方法：运用中线平分面积解题，常考求面积，有时只考查“中线”模型，而非“风车”模型. 证明过程：连接，并延长交的延长线于点， ， ， 点E为的中点， ， ， ， ，， 点E为的中点， 点F为的中点， ，， ，． 9.（2023·湖南益阳）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ． 10.（2024·山东潍坊三模）已知梯形中，，点E，点F分别为，的中点. (1)请直接写出与，之间的位置关系和数量关系； (2)请证明（1）的结论. 11.（2025·重庆南开期中模拟）如图，在平行四边形中，于点，点为中点，则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 12.（2023·江苏南通）如图，在中，、分别是、的中点，则 ．   13.（2024·重庆A）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 14.（2024·重庆八中定时）如图，在四边形中，P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，则的度数是____°. 15.（2025·四川南充三模）如图，在中，，，，分别是，的中点，则的长为 ． 16.（2024·四川成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    17.（2024·重庆西大附中期末）如图，在矩形中，，，平分，交于点E，交延长线于点F，连接，若点M是的中点，点N是的中点，连接，则的长为 ． 18.（2022·贵州毕节）图1，在四边形中，和相交于点O，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长． PART 4——模型变式. 19.（2025·重庆一外月考）如图，在四边形中，，，连接使平分，，E、F分别为、的中点，连接、、，则 ． 20.（2025·重庆八中期末）如图，在中，D、E是、的中点，连接． (1)在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是、的中点 ∴是的中位线 ∴且 ① ∵ ∴② ∴四边形是平行四边形 ∵E是中点 ∴ ③ 又∵ ∴ ④ ∴ ⑤ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题十五：中位线模型 PART 1——模型认知. PART 2——模型思路. 这是一种极其常考的模型，题型多样，在今后的中点四边形、“脚拉脚”模型问题上都要用到该模型，许多题如果构造中位线就会达到事半功倍的效果，比常规做法更简便，中位线是中考常考点，也是同学们的难点，难度浮动大. 常见辅助线作法：如下表： 已知 图示 结论（性质） “中位线”模型 已知两中线，可连接两端点产生中位线 “中位线”模型 延长或双延长构造中线即可产生中位线 PART 3——模型练习. 题型01 中位线的性质（重点） 已知 图示 结论（性质） 在△ABC中，AD为中线.（“中位线”模型） 1） ； 2） ； 3） . 解题方法：运用中位线的性质解题，常在基础题根据中位线根据线段长、角度、周长、面积考察，在选择压轴题以结论判断考察，选填中有可能结合网格考察，同时会出现于几何证明题与计算题中. 证明过程：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC. 证明1： 延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE=EC，DE=EF ∴ 四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴ CF∥BD，CF=BD ∴ 四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 又∵ DE=DF ∴ DE∥BC，且DE=BC.（结论1、2） ， ， ∴.（结论3） 证明2：延长DE到F，使EF=DE，连接FC. ∵ AE=CE，∠AED=∠CEF ∴ △ADE≌△CFE (SAS) ∴ AD=CF，∠ADE=∠F ∴ AD∥CF ∴ BD∥CF，BD=CF ∴ 四边形BCFD是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC ， 又∵ DE=DF， ∴ DE∥BC，且DE=BC.（结论1、2） ， ， ∴.（结论3） 1．（2023·重庆一中期末）如图，平行四边形ABCD的周长是32cm，△ABC的周长是26cm，E、F分别是边AB、BC的中点，则EF的长为（　　） A．8cm B．6cm C．5cm D．4cm 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出AB+BC=16cm，进而得出AC的长度，利用三角形中位线解答即可． 【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长是32cm， ∴AB+BC=16cm， ∵△ABC的周长是26cm， ∴AC=26-16=10cm， ∵E、F分别是边AB、BC的中点， ∴EF=0.5AC=5cm， 故选C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB+BC=16cm，进而得出AC的长度． 2．（2023·云南）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ）.    A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解∶∵的中点分别为， ∴是的中位线， ∴米， 故选∶B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 3.（2024·宁夏）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A． ①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】8 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键． 4.（2023·浙江金华）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ． 【答案】8 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键． 题型02 利用辅助线解决问题（难点） 已知 图示 结论（性质） B、C是AD、AE的中点. 1）DE是AB的中位线 AD平分∠BAF且AD⊥BC，连接BF，E是BF的中点，连接DE 2）CF是DE的中位线 证明过程1：连接DE. ∵B、C是AD、AE的中点. ∴DE是AB的中位线.（结论1） 证明过程2：延长AF、BD交于点C. ∵AD平分∠BAF且AD⊥BC. ∴∠BAD=∠CAD且∠ADB=∠ADC=90°. ∴. ∴AB=AC. ∴BD=CD. ∵E是BF的中点， ∴CF是DE的中位线.（结论1） 5.（2023·山东青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（　　）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可． 【详解】解：连接，，    ∵点E，F分别是，的中点， ∴四边形是矩形， ∴M是的中点， 在正方形中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 在中，M是的中点，N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键． 6.（2023·辽宁鞍山）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，圆周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位线定理，即可求出的长． 【详解】解：连接，    ∵的半径为2．， ∴， ∴， ∵D，G分别为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键． 7.（2024·重庆西附定时）如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，延长，交于点，证明，利用性质求出，最后用中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点，    ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 8.（2024·重庆南岸校级模拟）如图，在中，平分是的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据题意证明，得出，，结合已知得出，进而根据三角形中位线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 题型03 梯形中位线（选讲） 已知 图示 结论（性质） 在梯形中，，点E，点F分别为，的中点. 1） ， 解题方法：运用中线平分面积解题，常考求面积，有时只考查“中线”模型，而非“风车”模型. 证明过程：连接，并延长交的延长线于点， ， ， 点E为的中点， ， ， ， ，， 点E为的中点， 点F为的中点， ，， ，． 9.（2023·湖南益阳）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．      10.（2024·山东潍坊三模）已知梯形中，，点E，点F分别为，的中点. (1)请直接写出与，之间的位置关系和数量关系； (2)请证明（1）的结论. (1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查梯形中位线定理的证明，掌握全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据题干条件猜想出结论即可； （2）连接，并延长交的延长线于点，证明，得到，，再根据三角形中位线定理证明即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：连接，并延长交的延长线于点， ， ， 点E为的中点， ， ， ， ，， 点E为的中点， 点F为的中点， ，， ，． 11.（2025·重庆南开期中模拟）如图，在平行四边形中，于点，点为中点，则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：设与交于点O， ∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴点E是的中点， ∵点为中点， ∴是的中位线， ∴， 故选A． 12.（2023·江苏南通）如图，在中，、分别是、的中点，则 ． 【答案】/0.25 【分析】此题重点考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵分别是的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 13.（2024·重庆A）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 14.（2024·重庆八中定时）如图，在四边形中，P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，则的度数是____°. 【答案】30° 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识．利用三角形中位线定理得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：是的中点，点、分别是、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ， ， ， ， ． 故填：30°． 15.（2025·四川南充三模）如图，在中，，，，分别是，的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，勾股定理等知识，取的中点，连接，，由三角形中位线定理得，,可得，由勾股定理可计算． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵在中，，， ∴，， ∵，分别是，的中点，且为的中点， ∴，,． ． 故答案为：． 16.（2024·四川成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【答案】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 17.（2024·重庆西大附中期末）如图，在矩形中，，，平分，交于点E，交延长线于点F，连接，若点M是的中点，点N是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，作的中点，连接，过点作的垂线段，可得，再证明四边形是矩形，可得，利用勾股定理即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作的中点，连接，过点作的垂线段， 四边形是矩形，平分， ， ， 即三角形为等腰直角三角形， ， 分别是的中点， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 根据勾股定理可得， 故答案为：． 18.（2022·贵州毕节）图1，在四边形中，和相交于点O，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，E，F，G分别是的中点，连接，若，求的周长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)24 【分析】(1)由得到BC//AD，再证明△AOD≌△COB得到BC=AD，由此即可证明四边形ABCD为平行四边形； (2)由ABCD为平行四边形得到BD=2BO，结合已知条件BD=2BA得到BO=BA=CD=OD，进而得到△DOF与△BOA均为等腰三角形，结合F为OC中点得到∠DFA=90°，GF为Rt△ADF斜边上的中线求出；过B点作BH⊥AC于H，求出BH=9，再证明四边形BHGE为平行四边形得到GE=BH=9，最后将GE、GF、EF相加即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴BC∥AD， 在△AOD和△COB中：， ∴△AOD≌△COB(ASA)， ∴BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． （2）解：∵点E、F分别为BO和CO的中点， ∴EF是△OBC的中位线， ∴； ∵ABCD为平行四边形， ∴BD=2BO， 又已知BD=2BA， ∴BO=BA=CD=OD， ∴△DOC与△BOA均为等腰三角形， 又F为OC的中点，连接DF， ∴DF⊥OC， ∴∠AFD=90°， 又G为AD的中点， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：； 过B点作BH⊥AO于H，连接HG，如上图所示： 由等腰三角形的“三线合一”可知：AH=HO=AO=AC=4， ∴HC=HO+OC=4+8=12， 在Rt△BHC中，由勾股定理可知, ∵H为AO中点，G为AD中点， ∴HG为△AOD的中位线， ∴HG∥BD，即HG∥BE， 且， ∴四边形BHGE为平行四边形， ∴GE=BH=9， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，熟练掌握各图形的性质及定理是解决本题的关键． PART 4——模型变式. 19.（2025·重庆一外月考）如图，在四边形中，，，连接使平分，，E、F分别为、的中点，连接、、，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查直角三角形中线定理，中位线定理和勾股定理，熟悉掌握相关的判定和性质是解题的关键．因为，平分，求得，因为点E分别是的中点, 是直角三角形, 根据直角三角形中线定理求得：，，因为点E、F分别是、的中点,根据中位线定理求得，所以，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，平分， ， 点E是的中点, 是直角三角形， ， ∴ ， 点E、F分别是、的中点, ，， ∴， ， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 20.（2025·重庆八中期末）如图，在中，D、E是、的中点，连接． (1)在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是、的中点 ∴是的中位线 ∴且 ① ∵ ∴② ∴四边形是平行四边形 ∵E是中点 ∴ ③ 又∵ ∴ ④ ∴ ⑤ 【答案】(1)见解析 (2)，，，，四边形是菱形 【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角求解即可； （2）首先证明出四边形是平行四边形，然后推出，即可得到四边形是菱形． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）证明：∵D、E是、的中点 ∴是的中位线 ∴且 ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵E是中点 ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了尺规作一个角等于已知角，菱形的判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$