精品解析：湖北省孝感市汉川市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度下学期期中质量测评 八年级数学试卷 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在试卷上指定的位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 如果二次根式有意义，那么的值可以是（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 4，5，8 3. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 16 7. 如图，在中，，点为边的中点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 3 10. 如图，矩形中，E为的中点，连结，过E作交点F，连结，若，则的度数为（　　） A. α B. C. D. 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 写一个比大的数______． 12. 在中，，，，的对边分别为，，．若，，则______． 13. 命题“有两边相等的平行四边形是菱形”是______．（填“真命题”或“假命题”） 14. 如图，有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．剩余木料（即阴影部分）的面积为______． 15. 如图，有一张矩形纸片，，，点E是的中点．连接，将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，则（1）____，（2）的长为____． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上） 16. 计算： （1） （2）． 17. 如图是由7×6的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都在格点上，是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）边的长＝______； （2）在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使． 18. 先化简，再求值；，其中． 19. 已知：如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． （1）台风中心经过多长时间从点移到点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 21. 如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 23. 在和中，．，交于点，延长交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）若． ①如图2，已知，，求线段的长； ②如图3，连接，，延长交于点，判断是否为线段的中点？并说明理由． 24. 如图1，矩形的顶点、分别在轴，轴的正半轴，已知点，且，满足．若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交，于点，，交轴于点． （1）求，的值； （2）求线段的长度； （3）如图2，连接，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期中质量测评 八年级数学试卷 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在试卷上指定的位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 如果二次根式有意义，那么的值可以是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 故满足的数值为1， 故选：D． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 4，5，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； B、，是勾股数，符合题意，选项正确； C、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； D、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 故选：B． 3. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 先把各各式化为最简二次根式，进而可得出结论． 【详解】解：A、被开方数不一样，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理逆定理可得是以、为腰的等腰直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图，连， 则，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质． 6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质可得、互相垂直平分，，根据中位线性质可得，继而即可求解． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A． 7. 如图，在中，，点为边的中点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵，点为边的中点， ∴， ∴， 故选：A． 8. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于，分母的被开方数大于，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：∵成立， ∴， 解得， 故选：D． 9. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质结合勾股定理可求出，从而求出．再根据三角形中位线的性质即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∵点E、F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 10. 如图，矩形中，E为的中点，连结，过E作交点F，连结，若，则的度数为（　　） A. α B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长，交的延长线于点G，根据矩形的性质可得，，，可证，根据全等三角形的性质可得，可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可得，根据，可得，可表示出的度数，进一步可得的度数，再根据，可得的度数． 【详解】解：如图：延长，交的延长线于点G， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∵E为边中点， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 写一个比大的数______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较，解题的关键是熟练掌握实数比较大小，根据实数的大小比较即可求出答案． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在中，，，，的对边分别为，，．若，，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理得：． 故答案为：13． 13. 命题“有两边相等的平行四边形是菱形”是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，命题真假的判定，根据菱形的判定方法，进行求解即可．解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【详解】解：因为有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，有两边相等的平行四边形不一定是菱形， 因此原命题是假命题． 故答案为：假命题． 14. 如图，有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．剩余木料（即阴影部分）的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式可得到结论． 【详解】解：剩余木料的面积为： ． 故答案为：10． 15. 如图，有一张矩形纸片，，，点E是的中点．连接，将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，则（1）____，（2）的长为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、折叠的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 通过折叠和点E是的中点可得，则、易得；在运用勾股定理可得，进而得到，然后在中运用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图：设与相交于点O， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，点E是的中点， ∴， ∴，， 又∵三内角之和为， ∴， ∴， ∴， 解得：； 在中，由可得：， ∵， ∴，解得：， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接， ∴点是点B关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， 在中，． 故答案为：． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1）10 （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，算术平方根定义，立方根定义，化简绝对值，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握相关的定义和运算法则． （1）根据算术平方根定义进行求解即可； （2）先计算立方根，化简绝对值，进行二次根式化简，然后从左到右进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图是由7×6的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都在格点上，是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）边的长＝______； （2）在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使． 【答案】（1） （2）如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质． （1）过点作于点，构造直角，利用勾股定理可以求出； （2）作格点使且，连接，四边形是平行四边形；连接、交于点，连接并延长，交于点，则有． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作于点， 由网格图可知，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：理由如下： 四边形是平行四边形， ∴，， ， 在和中，， ， ． 18. 先化简，再求值；，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，二次根式的混合运算等知识，掌握相关法则和公式是解题的关键．运用整式的加减运算方法化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 19. 已知：如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 解：如下图，连接， 是的中位线， ，， 同理，，， ，， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】由E，F，G，H分别是四边形各边的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 20. 如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离． （1）台风中心经过多长时间从点移到点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】（1） （2）游人在小时内撤离才可脱离危险 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算即可； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【小问1详解】 解：，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 则台风中心经过从移动到点； 【小问2详解】 解：如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在内撤离才可脱离危险． 21. 如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】 （1）证明：∵DE∥AC,CE∥BD ∴DE∥OC,CE∥OD ∴四边形ODEC是平行四边形 ∵四边形ODEC是矩形 ∴OD=OC ∴四边形ODEC是菱形 ∴OE⊥DC （2）4 【解析】 【分析】(1)要证OE⊥DC，可先证四边形OCED是菱形．由DE∥AC，CE∥BD，可得四边形OCED是平行四边形；又因为ABCD是矩形，所以OC=OD．有一组邻边相等的平行四边形是菱形． (2)由(1)得出△ODC是等边三角形,所以DC=OD=OC=2,由四边形ABCD是矩形,得到AC=2CO=4,在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2，再利用矩形面积公式即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：∵DE=2,由（1）知，四边形ODEC是菱形 ∴OD=OC=DE=2 ∵∠AOD=120° ∴∠DOC=60° ∴△ODC是等边三角形 ∴DC=OD=OC=2 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=2CO=4 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2 ∴S矩形ABCD=2×2=4． 【点睛】此题主要考查菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，综合利用了矩形和菱形的性质．还考查了等边三角形的判定和性质. 22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 （3）4 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 故答案为： 【小问2详解】 解：原式＝ ； 【小问3详解】 ， a−2＝， ∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5． ∴a2−4a＝1． ∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3 ＝a2×1−4a＋3 ＝a2−4a＋3 ＝1＋3 ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 23. 在和中，．，交于点，延长交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）若． ①如图2，已知，，求线段的长； ②如图3，连接，，延长交于点，判断是否为线段的中点？并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴； （2） ①6； ②是线段的中点 理由如下， 延长和交于点H，如图， 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（）， ∴，即F是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明； （2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ②先判断F是线段的中点，再说理，利用等角对等边证明，利用证明，据此即可证明F是线段的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， ∵，，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 如图1，矩形的顶点、分别在轴，轴的正半轴，已知点，且，满足．若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交，于点，，交轴于点． （1）求，的值； （2）求线段的长度； （3）如图2，连接，若点P为射线上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8；6 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据两个非负数的和等于0，则每个都是0，即可求出a，b的值； （2）连接，先证明四边形为菱形，再利用勾股定理求出的长，即可利用等面积法得到的长； （3）分P在线段上或射线上两种情况，取的中点M，过点P作于点N，分别构造全等三角形进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ，， ∴， ，； 故答案为：8，6； 【小问2详解】 解：如图1，连接， ，， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ， ， ， 四边形是菱形， 由（1）得， ∴， 在中，， ， 设，， 在中，，， ， 解得， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：存在点Q，使得以为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形； 分两种情况，①当P在线段上时，取的中点M，连接并延长，过点P作于点N，如图4， 由题可得：，，为的中位线， ∴，， ∴， 当为边，四边形为菱形时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O， ∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q， ∴； ②当P在射线上时，当P在线段延长线上时，取的中点M，连接，过点P作于点N，如图5， 当为边，四边形为菱形时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点O， ∴点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，坐标与图形，非负数的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $