精品解析：浙江省台州市玉环市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024学年第二学期八年级期中测试 数学 一、选择题（每小题3分共30分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，若，则的长是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 2 3. 如图，菱形中，，则（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 4. 已知是正整数，则自然数n的最小值为（ ） A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 5. 如图所示的是小杰使用微信告诉小宇从小宇家到小杰家的方式，根据小杰所说的，最后应向东走（ ） 你家距离我家千米，你先从家向北走千米，然后向东走一定的距离就到我家了． A 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 6. 矩形的一条对角线与一边的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角是（　　） A B. C. D. 7. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 9. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，，则正方形的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，以斜边为边，在的同侧作正方形，正方形的对角线、交于点，连结，若，，则的长为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分共18分） 11. 写出一个的整数值：_____，使二次根式有意义． 12. 在平行四边形中，若，则的度数为________． 13. 命题“若，则”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 14. 如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是______． 15. 如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为_____________ 16. 如图，在菱形中，，，交对角线于点，点E、F分别在线段和射线上，且，连接、，则的最小值为_____． 三、解答题（7大题，共72分） 17. 计算：． 18. 已知，，求的值． 19. 如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A、B两个凉亭之间的距离． 20. 小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 21. 如图是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． （1）找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； （2）过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 22. 如图，在中，点D，E分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点F落在上． （1）如图1，若点E是的中点，求证： （2）如图2，若，且点F是的中点．，，求的长． 23. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． （1）如图1，在邻余四边形中，，则_____； （2）如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； （3）如图3，在邻余四边形中，为中点，，，时，求的长． 24. 在矩形中，，，分别在，上． （1）若，． ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； （2）如图3，若为的中点，．求的值（结果用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级期中测试 数学 一、选择题（每小题3分共30分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 【详解】解：A、不能合并，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 2. 在中，，若，则的长是（ ） A. 5 B. C. 7 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为，斜边为，那么．根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：B． 3. 如图，菱形中，，则（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对边平行，对角线平分一组对角，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对边平行，对角线平分一组对角． 4. 已知是正整数，则自然数n的最小值为（ ） A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，理解“被开方数是平方数，那么二次根式的值为整数”是解题的关键． 因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3． 【详解】解：∵，且是整数； ∴是整数，即是完全平方数； ∴n的最小正整数值为3． 故选：D． 5. 如图所示的是小杰使用微信告诉小宇从小宇家到小杰家的方式，根据小杰所说的，最后应向东走（ ） 你家距离我家千米，你先从家向北走千米，然后向东走一定的距离就到我家了． A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，小宇家到小杰家的直线距离为千米，小宇先向北走千米，再向东走一定距离，构成直角三角形的两条直角边，直线距离为斜边，利用勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【分析】解：如图， 设向东走的距离为千米， 由勾股定理得， 解得：， ∴最后应向东走千米， 故选：． 6. 矩形的一条对角线与一边的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据矩形的性质和等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：如图，矩形， 则：，， ∴， ∴， ∴两条对角线相交所成的锐角的度数为， 故选：D． 7. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 9. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．若，，则正方形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据全等三角形的性质得出，，求出，根据勾股定理得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：A 10. 如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，正方形的对角线、交于点，连结，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再构造三角形全等，得，，然后再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在上截取，使，设与交于点F， 由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（每小题3分共18分） 11. 写出一个的整数值：_____，使二次根式有意义． 【答案】9（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可求得的范围，即可写出的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：9（答案不唯一）． 12. 在平行四边形中，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形中，得到，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：65． 13. 命题“若，则”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查的是真假命题的判断，写命题的逆命题，先写出逆命题为：若，则；再举反例说明逆命题是假命题即可． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是：若，则； 当时，，而， ∴这个逆命题是假命题； 故答案为：假． 14. 如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出，即可得的值． 【详解】解：由图可得，， 表示的数比表示的数小， ， ， ， ， 的值最接近的整数是， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作交于点，交于点，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是矩形，得出，根据角平分线和平行线性质得出，是等腰直角三角形，即可得，根据三角形是等腰直角三角形，得出，证明，从而得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 16. 如图，在菱形中，，，交对角线于点，点E、F分别在线段和射线上，且，连接、，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质易得点A与点关于所在直线对称，连接、，则与相等，将的最小值转化为的最小值，以、为一组邻边作平行四边形，则，因此当点在线段上的点时，取得最小值，此时点在点的位置． 【详解】解：∵在菱形中， ， ∴是等边三角形，，，点A与点关于所在直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 以、为一组邻边作平行四边形， ∴， ∴， ∴当点在线段上的点时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本体考查菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是以、为一组邻边作平行四边形，找到最小距离和点． 三、解答题（7大题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减混合运算法则． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】将所求式子变形为的形式，然后代入数值计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确对所求式子进行变形是关键． 19. 如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A、B两个凉亭之间的距离． 【答案】A、B两个凉亭之间的距离为20m 【解析】 【分析】在和中，根据勾股定理先分别计算出和的长，然后由线段的差求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 答：A、B两个凉亭之间的距离为． 20. 小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】赞成小洁的说法，补充，见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定以及线段垂直平分线的性质，赞成小洁的说法，补充：，由四边相等的四边形是菱形即可判断． 【详解】赞成小洁的说法，补充：． 证明：，， ，． 又∵． ∴， ∴四边形是菱形． 21. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． （1）找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； （2）过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 【答案】（1） 如图，点为所求： （2）如图，直线为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和网格的特点，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点找到点使得平行且等于即可． （2）利用平行四边形的对称性，找到对角线、的交点，过点、作直线交于点即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，点D，E分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点F落在上． （1）如图1，若点E是的中点，求证： （2）如图2，若，且点F是的中点．，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，折叠的性质及勾股定理，解题的关键是结合图形，熟练运用相关的判定和性质求解； （1）由折叠及点是的中点得到，得到，利用三角形外角性质即可得到，继而得证； （2）取的中点M，连接，则，则由中位线定理得到，长，设，由勾股定理得长，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵点是的中点， ． ∵将沿直线折叠得到， ∴． ， ． 是的一个外角， ． ， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，取的中点M，连接，则是的中位线， ∴，，， ， 设， ∵将沿直线折叠得到， ∴， 在，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 23. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． （1）如图1，在邻余四边形中，，则_____； （2）如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； （3）如图3，在邻余四边形中，为中点，，，时，求的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识． （1）根据邻余四边形的定义即可求解； （2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【小问1详解】 解：在邻余四边形中，，且，， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 证明：垂直平分，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形． 【小问3详解】 解：如图，延长到点，使，连接，， 为中点，， 是的垂直平分线， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ，， 在邻余四边形中，， 可分两种情况讨论： 当时， 则， ； 当时， 则， ，与矛盾， 此种情况不存在； 综上，的长为． 24. 在矩形中，，，分别在，上． （1）若，． ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； （2）如图3，若为的中点，．求的值（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）①由“”可证； ②过点作交于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，可得，即可得结论； （2）过点作于，连接，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 证明：①四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，且，， ； ②如图，过点作交于点， 由（1）可知， ，， ， ∵， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，连接， 为的中点， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $