精品解析：山东省淄博市高青县（五四学制）2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷

2024—2025学年度第二学期期中复习测试八年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义“被开方数中不含字母或开得尽方的整数或整式，这样的二次根式即为最简二次根式”依次进行判断即可得，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； C、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； D、是最简二次根式，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 2. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． 由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故选：D． 3. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次方程的定义．利用二次方程的定义列方程及不等式解题即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选：C 4. 下列各式中与是同类二次根式的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：A、，与不是同类二次根式，本选项错误； B、与是同类二次根式，本选项正确； C、与不是同类二次根式，本选项错误； D、与不是同类二次根式，本选项错误． 故选B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则B点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，在中，利用勾股定理求出，进而即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴ ∴B点的坐标为． 故选：D． 6. 对于实数a， b， 定义运算“※” ∶ 例如： 若， 则x的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 1或-1 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了新定义下实数的运算，解方程，乘方等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】根据定义，得，整理得， 解方程，得， 故选A． 7. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【详解】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选B． 8. 已知方程__________，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数是（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，设，根据配方法可得，即可求解． 【详解】解：设， ∴， 即， ∵将其配方成的形式， ∴， ∴， 即印刷不清楚的数是2． 故选：D 9. 如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是(　　) A. B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：设当点P与点Q重合时t的值是x秒，由题意得：3x﹣x=10，解得：x=5，故选C． 点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用．解答本题的关键是，找出等量关系： 点P与点Q重合时，P、Q的路程之差等于AB． 10. 如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于点F，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理的应用等，解题的关键是构造正方形． 作，构造正方形，设，易证，由此列出比例式可求解a的值，然后在中，利用勾股定理即可求得的长度． 【详解】过点F作于点M，作于点N，如图所示． ∵四边形为正方形，， ∴ ∵， ∴四边形为矩形． ∵平分， ∴． ∴四边形为正方形． ∴， 设，则 ∵， ∴ 即， 解得： 在中，， 由勾股定理，得 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 若是方程的根，则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程解的定义得到关于a的方程，解方程即可得到答案.此题考查了方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故答案为：2 12. 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的周长，由菱形可得，进而得到为等边三角形，得到，即可求出菱形的周长，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 13. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和混合运算，先分解因式，再代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到，再由进行整体代入计算即可．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，正方形，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及旋转性质、三角形全等的判定与性质等知识，根据题意，将绕点顺时针旋转，使与重合，如图所示，结合旋转性质及三角形全等判定与性质即可得到，从而得到答案，熟练掌握旋转性质构造两个三角形全等是解决问题的关键． 详解】解：将绕点顺时针旋转，使与重合，如图所示： ， ，，， 正方形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共90分，请写出必要的解答过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、菱形的性质， （1）根据菱形性质得出，再根据矩形的判定证明即可； （2）利用矩形和菱形的性质及勾股定理得出与的长即可； 掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：． 18. 用适当的方法解下列方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ∴或 解得，； 【小问2详解】 ，， ∴ 解得，． 19. 在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． （1）求证：． （2）延长交于F，当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0， （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）16或22 【解析】 【分析】（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论． （2）运用求根公式得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，将两个根代入计算，分情况讨论求出等腰三角形的周长． 【详解】（1）证明：=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k) =k2-2k+1 =( k-1)2， ∵无论k取什么实数值，(k-1)2≥0， ∴≥0， 所以无论k取什么实数值，方程总有实数根； （2）x2-(3k+1)x+2k2+2k=0， 因式分解得：(x-2k)( x-k-1)=0， 解得：x1=2k，x2=k+1， b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1， 分三种情况讨论： 第一种情况： ∵若c为等腰三角形的底边，a、b为腰，则a=b=2k=6， ∴k=3，c=k+1， ∴c=4， 检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，a-b＜c，a-c＜b，b-c＜a， ∴a=b=6，c=4，可以构成等腰三角形， 此时等腰三角形的周长为：6+6+4=16； 第二种情况： ∵若b为等腰三角形的底边，a、c为腰，则a=c=k+1=6， ∴k=5，b=2k， ∴b=10， 检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，b-a＜c，a-c＜b，b-c＜a， ∴a=c=6，b=10，可以构成等腰三角形， 此时等腰三角形的周长为：6+6+10=22； 第三种情况： ∵若a为等腰三角形的底边，b、c为腰，则b=c， ∴即：2k=k+1，解得k=1， ∴a=6，b=2，c=2， 检验：b+c＜a， ∴a=6，b=2，c=2，不能构成等腰三角形； 综上，等腰三角形的周长为16或22． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，根据一元二次方程根的情况求参数，分类讨论是解题关键． 21. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： … （1）求的倒数； （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）； （3）利用上面的结论，求下列式子的值： 【答案】（1） （2） （3）2024 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是∶ （1）根据题目中例子进行分母有理化求解即可； （2）按照所给等式的变化规律写出第n个等式即可； （3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解∶ ， 的倒数是； 【小问2详解】 解：观察已知式子可得，； 小问3详解】 解∶ 原式 ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，过点D作轴交x轴于点F，交对角线于点E． （1）求证：； （2）判断、的数量关系，并说明理由； （3）若点A，B坐标分别为，则的周长为 　 　． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）24 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）设交于点H，根据三角形内角和定理得出，根据得出，进而得出，等量代换即可求解； （3）过点D作轴于点G，证明，得出，．，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图所示，设交于点H， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点D作轴于点G， 则四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A，B坐标分别为， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 23. 若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 【答案】（1）否，是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可． （2）根据是“差根方程”，解方程求得得到，从而得到； （3）设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根，根据根与系数的关系得到，整理即可得到． 【小问1详解】 解：①设是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴方程不是差根方程； ②设是一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴， ∴方程是差根方程； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 解得：， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴，即； 【小问3详解】 解：设是一元二次方程（是常数，）的两个实数根， ∴，， ∵关于x的方程（是常数，）是“差根方程”， ∴， ∴=1，即， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期中复习测试八年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 4. 下列各式中与是同类二次根式的是 A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则B点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 对于实数a， b， 定义运算“※” ∶ 例如： 若， 则x的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 1或-1 7. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 8. 已知方程__________，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数是（ ） A B. C. 3 D. 2 9. 如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是(　　) A. B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于点F，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 若是方程的根，则_________. 12. 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为______． 13 已知，，则_____． 14. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为_______． 15. 如图，正方形，，则的值为______． 三、解答题（共8小题，共90分，请写出必要的解答过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形面积． 18. 用适当的方法解下列方程． （1） （2） 19. 在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． （1）求证：． （2）延长交于F，当时，求的度数． 20. 已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0， （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 21. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： … （1）求的倒数； （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）； （3）利用上面的结论，求下列式子的值： 22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，过点D作轴交x轴于点F，交对角线于点E． （1）求证：； （2）判断、的数量关系，并说明理由； （3）若点A，B坐标分别为，则的周长为 　 　． 23. 若是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程否是“差根方程”： ①______； ②______；（填是或否） （2）已知关于的方程是“差根方程”，求a的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差根方程”，请写出与之间的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$