精品解析：河南省驻马店市遂平县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年春季学期八年级期中调研测试卷 数学 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 一项工作由甲单独做，需要a天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独做每天可以完成这项工作的（ ） A. B. C. D. 5. 若 则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限 8. 如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 9. 阳光中学举行学生运动会，小汪和小勇参加了800米跑．路程S（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，两位同学在跑步中均保持匀速，则下列说法错误的是（　　） A. 小勇的平均速度为160米/分 B. 到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快80米/分 C. 小勇和小汪同时达到终点 D. 小汪和小勇的平均速度相等 10. 已知一列均不为的数，，，，满足如下关系：，，，，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 12. 若，则的值为__________． 13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 14. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为__________． 15. 如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为_____． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. （1）计算：． （2）解分式方程：． 17. 阅读理解 【提出问题】已知，求分式的值； 【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数，得出，，与的关系，然后再代入待求的分式化简即可； （1）【解决问题】设，则，，，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为________； （2）【拓展应用】已知，求分式的值． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式： （2）点为轴上一点，若的面积为12，求点的坐标． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求点C的坐标和的面积． （3）直接写出不等式的解集． 21. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 22. 在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点为点的“级关联点”，如点的“级关联点”点B的坐标为，即 （1）已知点的“级关联点”为，求点的坐标，并写出点到轴的距离； （2）已知点的“级关联点”为，求点的坐标及所在象限； （3）如果点的“级关联点”在轴上，求点的坐标． 23. 【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ， ，即． （2）由（1）我们可猜想：若，，则与的大小关系是______（填“>”或“<”），请用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期八年级期中调研测试卷 数学 （本试卷共八页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件为分母不为零，分子为零． 2. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式（其中为整数）以及的确定方法． 要将用科学记数法表示，需确定和的值，根据科学记数法规则，要满足由原数绝对值与1的大小关系确定，然后得出结果． 【详解】解：对于，要使满足，则，此时小数点向右移动了4位，因为原数绝对值，所以，那么用科学记数法表示为米． 故选：B． 3. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．将方程的第二个分母提取变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为，即可求出的值． 【详解】解：方程变形得：， 去分母得：， 解得： ∵方程有增根， ∴，即， 解得：， 故选：A． 4. 一项工作由甲单独做，需要a天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独做每天可以完成这项工作的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式以及分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的计算法则及工程问题中“工作效率工作时间工作总量”的等量关系．记总工作量为单位“1”，由工作效率工作总量工作时间，可求得甲乙两人的合作效率，然后求得乙的工作效率，从而求解． 【详解】解： 由题知，记工作总量为， ∵一项工作由甲单独做，需a天完成， ∴甲的工作效率为， 又∵由甲、乙两人合作，则可提前2天完成， ∴甲、乙的合作效率为， ∴乙的工作效率为， 则乙单独做每天可以完成这项工作的， 故选：D． 5. 若 则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂的性质、零指数幂的性质及有理数大小比较，正确化简各数是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴它们的大小关系是：， 故选：A． 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出、、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：点，，在反比例函数的图象上， ，，， ． 故选：C． 7. 已知一次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据图示可得中，，由此即可求解 【详解】解：根据图象，中，， ∴的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 8. 如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换的综合．根据一次函数图象分别求出，，的长，根据平移可算出的长，根据点在一次函数图象上可算出点F的坐标，即求出的长，再根据，可得，求出梯形的面积即可． 【详解】解：直线交坐标轴于点A，B， 令，；令，； ，，即，， 向x轴负半轴平移4个单位长度得， ，，， 设、交于点F， 点F在直线的图象上，且点F的横坐标与点D的横坐标相同， 当时，， ，即， ， ， ，即图中阴影部分面积为18， 故选：C． 9. 阳光中学举行学生运动会，小汪和小勇参加了800米跑．路程S（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，两位同学在跑步中均保持匀速，则下列说法错误的是（　　） A. 小勇的平均速度为160米/分 B. 到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快80米/分 C. 小勇和小汪同时达到终点 D. 小汪和小勇的平均速度相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， A．小勇的平均速度为：（米/分），故说法正确，本选项不合题意； B．到终点前2分钟，小汪的速度为：（米/分），（米/分）， 所以到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快90米/分，故说法错误，本选项符合题意； C．小勇和小汪同时达到终点，故说法正确，本选项不合题意； D．小勇和小汪的用时和距离相等，即两人平均速度相等，故说法正确，本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 已知一列均不为的数，，，，满足如下关系：，，，，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了数字规律的探索，首先根据计算出、、、的值，从中发现数字的变化规律是、、、循环出现，根据规律得出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 又， ． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂，零次幂的含义，先分别计算负整数指数幂，零次幂，再计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入求值是解决本题的关键．由，可得，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 14. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，用反比例函数比例系数k的代数式分别表示的面积，利用求解即可． 【详解】解：如图设与y轴交于点C， 由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：6． 15. 如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由解为负整数，求出的范围，不等式组整理后，根据解集确定出的范围，进而求出整数的值即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程有负整数解，得到且， 即，且， 不等式组整理得：， 由解集为，得到，即， ∴，且， ∴整数， ∵由分式方程有负整数解， ∴取整数， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答下列各题（本大题共8个小题，满分共75分） 16. （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 17. 阅读理解 【提出问题】已知，求分式的值； 【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数，得出，，与的关系，然后再代入待求的分式化简即可； （1）【解决问题】设，则，，，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为________； （2）【拓展应用】已知，求分式的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）用k表示出，，，再代入分式进行化简即可； （2）设，用含m的式子表示出，，，再代入分式进行化简即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 设， 则，，， ∴ 【点睛】本题主要分式的化简求值以及乘法公式在代数式求值中的综合运用，熟练掌握相关公式是解题关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式： （2）点为轴上一点，若的面积为12，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式并且求出点坐标是解决本题的关键． （1）待定系数法求出的解析式即可； （2）先求出点坐标得到，设点的坐标为，利用三角形面积公式流程关于的方程求出值即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：点在直线上， ，解得， ， 点，在直线上， ∴，解得， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由直线解析式可知点即， 设点的坐标为，则， 解得：或14， ∴或． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求点C的坐标和的面积． （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式：，一次函数解析式： （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求出m的值，然后求出点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入一次函数利用待定系数法求解即可； （2）令一次函数即可求出点C的坐标，利用代入数据求解即可； （3）根据题意得到不等式的解集即为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围，根据A，B两点的横坐标求解即可． 【小问1详解】 将代入，得到， ∴反比例函数解析式为； 将代入，得， ∴ 将，代入 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 在，令，即， 解得， ∴点， ∴ ； 【小问3详解】 由图象可得，的解集为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围， ∴或； 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积问题，图象法解不等式问题等知识，解题的关键是正确利用数形结合思想解题． 21. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元 （2）该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元，根据题意可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5000元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴， 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； 【小问2详解】 设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最小值为67， 答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器． 22. 在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点为点的“级关联点”，如点的“级关联点”点B的坐标为，即 （1）已知点的“级关联点”为，求点的坐标，并写出点到轴的距离； （2）已知点的“级关联点”为，求点的坐标及所在象限； （3）如果点的“级关联点”在轴上，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，点到轴的距离为； （2），第三象限； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标，一元一次方程的应用，二元一次方程组，正确写出“级关联点”是解题的关键． （1）根据定义即可作答； （2）设点的坐标为，根据定义列出方程，即可作答； （3）设点的坐标为，根据定义列出方程，即可作答． 【小问1详解】 点的“级关联点”的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为，点到轴的距离为； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 点的“级关联点”为， ，， 解得：，， 点的坐标为， 点所在的象限为第三象限； 【小问3详解】 解：点的坐标为， 点的“级关联点”为， ， ， ， ， 点的坐标为 23. 【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：，，，，…对于真分数（分子比分母小的分数）．当分子、分母同时加上一个正数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ， ，即． （2）由（1）我们可猜想：若，，则与的大小关系是______（填“>”或“<”），请用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否仍然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】 (2)；证明如下： ， ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． (3)不成立，； (4)解：的大小，甲船先返回A港，理由如下： 由题意可得， ， ． ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴甲船先返回A港． 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2）略 （3）若，时，（2）中的不等式不成立． ∵，， ∴，， ∴，即， ∴, 正确的式子为． （4）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $