精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二下学期6月学业阶段性评价考试数学试卷

哈尔滨市第九中学2024—2025学年度下学期 六月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知随机事件A，B，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的乘法公式进行求解 【详解】. 故选：C 2. 已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求出，根据等比数列通项列方程求解即可. 【详解】由题意得，， 又 设公比为，则，解得或. 故选：C. 3. 甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有（ ） A. 480 B. 360 C. 240 D. 144 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊元素优先排列，再用分步计数乘法原理解题即可. 【详解】优先甲、乙、丙进行排列，先从6个位置中选出3个位置，共有种， 根据甲、乙均在丙同侧，有甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙、丙乙甲共4种排法， 剩下3人共有种排法， 根据分步计数乘法原理，所求不同的排法共有种. 故选:A. 4. 函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原不等式等价于或，结合函数单调性及原函数的图象可得不等组的解. 【详解】即为或， 故或， 由图可知当时，，当时，， 故解为；的解为， 所以的解集为. 故选：D. 5. 设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【详解】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 6. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列与的项找到它们公共项的规律，即得数列的各项的规律，确定其通项公式，再用裂项求和的方法即可求得答案. 【详解】数列是以1为首项的奇数列，即， 数列是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即， 故数列与的公共项所构成的新数列为，即首项为，公差为的等差数列，即， . 故选：A. 7. 第届夏季奥林匹克运动会于年月日在法国巴黎开幕，某观赛团在现场为中国运动健儿加油助威，观赛团中有名女性观众和名男性观众，计划观看在个不同场地同时举行的个比赛项目，要求每个项目都要有男性观众前往观赛，则不同的分配方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】首先应用分步计数求出将名女性观众分配到个项目，再应用分组分配，将男性分成各组人数分别为，，或，，，结合排列组合数求不同的分配方法数，即可得. 【详解】先将名女性观众分配到个项目，有种分配方法． 每个项目都要有男性观众，将男性观众分成三组，各组人数分别为，，或，，． 当男性观众分成三组的人数为，，时，此时共有种 当男性观众分成三组的人数为，，时，此时共有种． 所以不同的分配方法共有种． 故选：C 8. 已知，函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数将函数的单调性问题转化为恒成立问题，从而挖掘出与之间的等量关系．要比较与，与之间的大小关系，可以作差构造函数，再利用导数来判断. 【详解】由题意，得对任意恒成立， 因为和在上都单调递增，则有唯一零点， 所以它们有相同的零点，故， 设函数，则， 由，得；由，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，即， 设函数， 因为，， 所以的正负不确定，即与的大小关系不确定． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：对于这样的双参数问题，根据条件挖掘出两个参数之间的等量关系是解题的关键． 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若、、成等差数列，则、、成等差数列 B. 若、、成等差数列，则、、成等比数列 C. 若、、成等比数列，则、、成等差数列 D. 若、、成等比数列，则、、成等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差中项法可判断A选项；利用等比中项法可判断BD选项；利用特殊值法可判断C选项. 【详解】对于A选项，若、、成等差数列，则， 所以，， 所以，、、成等差数列，A对； 对于B选项， 若、、成等差数列，则， 所以，、、均为正数，且， 所以，、、成等比数列，B对； 对于C选项，若、、成等比数列，如取， 则、、均无意义，C错； 对于D选项，若、、成等比数列，则、、均不为零，且， 所以，，即、、成等比数列，D对. 故选：ABD. 10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B. 由“第行所有数之和”猜想： C. 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”,结合组合数公式，二项式定理，组合数的性质，判断选项. 【详解】A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，故A正确； B.因为,令得，故B正确； C. 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为 ，故C错误； D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为, 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数有1个零点 C. 对任意，，都有 D. 若函数在区间上有且只有一个零点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】求导，根据导数符号可判断A；根据单调性结合极值可判断B；利用二阶导数可判断C；转化为的图象与直线只有一个交点可判断D. 【详解】函数的定义域为R，则， 对于A，当时，，则在单调递减； 当或时，，则在，单调递增，故A错误； 对于B，由A可知，在处取极大值，在处取极小值， 极大值为且； 又当，，故在R上只有一个零点，故B正确； 对于C，代表该函数为凹函数， 记，则， 又，当时，恒成立，函数为凹函数，故C正确； 对于D，由上知在单调递减，在单调递增， 又，， 所以在区间上有且仅有一个根等价于函数在上的图象与直线只有一个交点， 所以或，故D错误． 故选：BC． 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 的展开式中的系数为20，求正整数的值________． 【答案】1 【解析】 【分析】由，故只需求出中项和项，列方程求解即可. 【详解】， 中项为， 中项为， 因为的展开式中的系数为20， 所以或， 又为正整数，所以， 故答案为：1. 13. 如图，将一张8cm×5cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积最大为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到长方体容积与小正方形边长的函数关系，通过求导得到最大值. 【详解】设剪下的小正方形的边长为，则折成的长方体以长为，宽为的长方形为底，以为高， 所以长方体容积，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故答案为：. 14. 已知数列满足，且，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可. 【详解】法一：因为，所以. 设，则，所以. 设，则. 因为，，所以，， 所以，即，即，所以. 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，. 法二：因为，所以， 由，，得，， 所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列， 当奇数时，，即； 当为偶数时，，即. 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：由递推关系式求数列通项公式的方法， 方法 适用类型 要点 累加法 变形为，利用求解.注意根据累加法求出之后，要检验时是否成立. 累乘法 变形为，利用求解.注意根据累乘法求出之后，要检验时是否成立. 构造法 （且，，） 变形为（其中，，可用待定系数法求），可得以为公比的等比数列的通项公式，进而可求得. 取倒数法 （是常数，） 变形为.①若，则是等差数列，且公差为，可用公式法求通项；②若，则转化为型，再利用构造法求解. 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． （1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； （2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，结合条件概率和全概率公式，即可求解； （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，得到可能取值为，求得相应的概率，列出分布列. 【小问1详解】 解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， “随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”， 则，且， 由全概率公式，可得. 【小问2详解】 设在一轮比赛中的得分为随机变量，则可能取值为， 则，， ， 所以得分的分布列为： 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入m个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用前项和与项的一般关系计算求解； （2）求 ，即新数列前 18 项的和，需确定前 18 项包含哪些原数列项和插入的 1，然后求和即可. 【小问1详解】 已知数列  的前  项和 ，当  时，. 当  时，. 验证： 时，若直接代入 ，故需分段表示， 故数列  的通项公式为：. 【小问2详解】 设原数列有 项时，插入的 1 的个数如下： 在  与  间有 1 个，在  与  间有 2 个，…，在  与  间有  个， 令，则，而， 故之间，故. 17. 已知函数． （1）判断在区间的单调性； （2）求的最小值； （3）证明：当时，． 【答案】（1）在和单调递增，在和单调递减 （2）1 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，判断导函数在上的正负，进而可得单调性； （2）利用导数研究函数的单调性，进而可求最小值； （3）构造函数，利用三角函数有界性以及（2）的结论即可判断的单调性，进而可知的最值，进而可证不等式. 【小问1详解】 由题可得， 当时，，当时，，当时，，当时，， 所以在和单调递增，在和单调递减. 【小问2详解】 ，令，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 【小问3详解】 当时，令， 则， 因为，所以 由（2）知，故， 所以，故在上单调递减， 所以，所以． 18. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. （1）若a=3，b=4，求S₆的值; （2）若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; （3）三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“隙积术”， 代入公式直接计算. （2）用表示，再利用公式建立方程并求出正整数解即可. （3）求出第所放物体数，再将各层物体数乘以2，利用“隙积术”求解即可. 【小问1详解】 依题意，，则， 所以. 【小问2详解】 依愿意，， 由给出的公式，得， 即，整理得， 而为正整数，又，则， 而，则是30的正约数，因此或， 或，所以. 【小问3详解】 依题意，第所放物体个数为， 从上往下n层三角垛，将每层所放物体数乘以2， 从上往下各层物体数依次为：，物体总数为， 此时，项数为， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：正确理解“隙积术”的意义，确定公式中的各量是求解的关键. 19. 已知函数. （1）若，判断函数的单调性； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数有两个极值点，求证： 【答案】（1）在上单调递增； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导可得，可得结论； （2）通过函数的导数，对a分类讨论，分别求解函数的单调性，求出满足条件的实数a的取值范围． （3）根据（2）的结论把转化为，然后利用换元法求出关于t的函数，利用导函数求出最值即可. 【小问1详解】 若，则，函数的定义域为， 所以， 所以在上单调递增； 【小问2详解】 由，可得 ①若，易知在上恒成立， 所以在是减函数，又，所以，不符合题意，  ②若，令，则，， 故时，，又， 所以时，，不符合题意， ③若，易知，故在是增函数， 又，所以，综上，； 【小问3详解】 由（2）知，，所以，且， 当时，，所以在上是减函数， 故要证，即证， 即， 又，所以，又， 代入化简得：，所以， 令，则，即证， 设，则， 所以在上是减函数，所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第九中学2024—2025学年度下学期 六月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知随机事件A，B，若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 3. 甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙同侧，则不同的排法种数共有（ ） A. 480 B. 360 C. 240 D. 144 4. 函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 01 0.3 m A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 6. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 第届夏季奥林匹克运动会于年月日在法国巴黎开幕，某观赛团在现场为中国运动健儿加油助威，观赛团中有名女性观众和名男性观众，计划观看在个不同场地同时举行的个比赛项目，要求每个项目都要有男性观众前往观赛，则不同的分配方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知，函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若、、成等差数列，则、、成等差数列 B. 若、、成等差数列，则、、成等比数列 C. 若、、成等比数列，则、、成等差数列 D. 若、、成等比数列，则、、成等比数列 10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B. 由“第行所有数之和为”猜想： C. 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 11. 已知，则下列说法正确是（ ） A. 函数在上单调递增 B 函数有1个零点 C. 对任意，，都有 D. 若函数在区间上有且只有一个零点，则 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 的展开式中的系数为20，求正整数的值________． 13. 如图，将一张8cm×5cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的容积最大为_______. 14. 已知数列满足，且，，则数列通项公式为______. 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． （1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； （2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入m个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值． 17. 已知函数． （1）判断在区间的单调性； （2）求的最小值； （3）证明：当时，． 18. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. （1）若a=3，b=4，求S₆的值; （2）若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; （3）三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 19. 已知函数. （1）若，判断函数的单调性； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数有两个极值点，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $